中考数学常考易错点解析：统计

6.1 统计 易错清单 1. 对统计相关概念的理解不当导致出错. 【例 1】　(2014·四川巴中)今年我市有 4 万名学生参加中考,为了了解这些考生的数 学成绩,从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法: ①这 4 万名考生的数学中考成绩的全体是总体; ②每个考生是个体; ③2000 名考生是总体的一个样本; ④样本容量是 2000. 其中说法正确的有(　　). A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【解析】　总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总 体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样 本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据 的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量. 这 4 万名考生的数学中考成绩的全体是总体;每个考生的数学中考成绩是个体;2000 名 考生的中考数学成绩是总体的一个样本,样本容量是 2000.故正确的是①④. 【答案】　C 【误区纠错】　从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,而样本中个体的数目 叫做样本容量.对“样本”与“样本容量”这两个概念的混淆,是较为常见的错误. 2. 涉及有关统计量的计算问题,因计算方法不当导致出错. 【例 2】　(2014·湖南怀化)某中学随机调查了 15 名学生,了解他们一周在校参加体 育锻炼时间,列表如下: 锻炼时间(小 时) 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 　　则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是(　　) A. 6,7 B. 7,7C. 7,6 D. 6,6 【解析】　此题考查了中位数和众数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新 排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数;众数是一组数据 中出现次数最多的数. ∵　共有 15 个数,最中间的数是第 8 个数, ∴　这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是 6. 6 出现的次数最多,出现了 6 次,则众数是 6. 【答案】　D 【误区纠错】　求一组数据的中位数时,千万别忘了先将数据按从小到大(或从大到小) 的顺序排列. 3. 求加权平均数失误. 【例 3】　(2014·山东临沂)某中学随机抽查了 50 名学生,了解他们一周的课外阅读 时间,结果如下表所示: 时间(小 时) 4 5 6 7 人数 10 20 15 5 　　则这 50 名学生一周的平均课外阅读时间是　　　　小时. 【解析】　平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数. 该组数据的平均数为(4×10+5×20+6×15+7×5)÷50=265÷50=5.3(小时). 【答案】　5.3 【 误 区 纠 错 】　一 般 的 , 如 果 一 组 数 据 x1,x2 … ,xn 的 权 分 别 为 w1,w2 … ,wn, 那 么 为这 n 个数的加权平均数.本题易出现的错误是求 4,5,6,7 这四 个数的平均数,对平均数的理解不正确. 4. 统计图的综合使用时方法不当导致出错. 【例 4】　(2014·山东枣庄)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的 小球,小球除颜色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出 一球记下颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统 计图.根据以上信息解答下列问题: (1)求实验总次数,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度? (3)已知该口袋中有 10 个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量. 【解析】　(1)用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数,用总次数减去红、 黄、绿球的次数和即为摸蓝球的次数,再补全条形统计图即可; (2)用摸到黄色小球次数除以实验总次数,再乘以 360°即可得摸到黄色小球次数所在 扇形的圆心角度数; (3)先得出摸到绿色小球次数所占的百分比,再用口袋中有 10 个红球除以红球所占的百 分比得出口袋中小球的总数,最后乘以绿色小球所占的百分比即可. 【答案】　(1)50÷25%=200(次), 所以实验总次数为 200 次. 补全条形统计图如下: 故口袋中绿球有 2 个. 【误区纠错】　本题主要考查了条形统计图,用样本估计总体,弄清题意读懂图是解本 题的关键. 名师点拨 　1. 牢固掌握概念,并能掌握概念间的区别和联系,以及在实际问题中的应用. 2. 统计是与数据打交道,解题时计算较繁琐,所以要有意识培养认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 3. 要关注统计知识与方程、不等式相结合的综合性试题,会读频数分布直方图,会分析 图表.注重能力的培养,加大训练力度. 4. 在统计中数据的集中趋势与离散程度是中考热点,应分清众数、中位数、平均数的区 别,分清方差、极差、标准差的联系,例如众数一定存在于一组数据中,众数不唯一;中位数不 一定存在一组数据中,中位数唯一;能用统计数据来解决生产生活中的问题. 提分策略 1. 统计的方法. (1)下面的情形常采用抽样调查:①当受客观条件限制,无法对所有个体进行普查时,如 考查某市中学生的视力.②当调查具有破坏性,不允许普查时,如考查某批灯泡的使用寿命是 抽样调查.③当总体的容量较大,个体分布较广时,考查多受客观条件限制,宜用抽样调查. (2)抽样调查的要求:①抽查的样本要有代表性;②抽查样本的数目不能太少. 【例 1】　为了了解某市 120000 名初中学生的视力情况,某校数学兴趣小组,并进行整 理分析. (1)小明在眼镜店调查了 1000 名初中学生的视力,小刚在邻居中调查了 20 名初中学生 的视力,他们的抽样是否合理?并说明理由; (2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了 1000 名学生进行调查,整理 他们的视力情况数据,得到如下的折线统计图. 某市七、八、九年级各抽取的 1000 名学生视力不良率折线图 请你根据抽样调查的结果,估计该市 120000 名初中学生视力不良的人数是多少? 【解析】　(1)根据学生全部在眼镜店抽取,不具有代表性;只抽取 20 名初中学生,样本 的容量过小,样本不具有广泛性; (2)用 120000 乘以初中学生视力不良的人数所占的百分比,即可得出答案. 【答案】　(1)他们的抽样都不合理.因为如果 1000 名初中学生全部在眼镜店抽取,那么该市每个学生被抽到的机会不相等, 样本不具有代表性, 如果只抽取 20 名初中学生,那么样本的容量过小,样本不具有广泛性. (2)根据题意,得 故该市 120000 名初中学 生视力不良的人数约是 72000 名. 2. 统计图的特点. 【例 2】　(2014·湖南张家界)要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势,宜采 用(　　) A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布统计图 【解析】　根据统计图的特点进行分析可得:扇形统计图表示的是部分在总体中所占的 百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况;条形 统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目. 【答案】　据题意,得要求直观反映台州市一周内每天的最高气温的变化情况,结合统 计图各自的特点,应选择折线统计图.故选 C. 3. 条形统计图、折线统计图、扇形统计图的应用. 【例 3】　“中国梦”是中华民族每一个人的梦,也是每一个中小学生的梦,各中小学开 展经典诵读活动,无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符,学校在经典诵读活动中, 对全校学生用 A,B,C,D 四个等级进行评价,现从中抽取若干个学生进行调查,绘制出了两幅 不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题: (1)共抽取了多少个学生进行调查? (2)将图甲中的折线统计图补充完整; (3)求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数.甲 乙 【解析】　(1)用 C 等级的人数除以 C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数; (2)先用总数分别减去 A,C,D 等级的人数得到 B 等级的人数,然后画出折线统计图; (3)用 360°乘以 B 等级所占的百分比即可得到 B 等级所占圆心角的度数. 【答案】　(1)10÷20%=50, 所以抽取了 50 个学生进行调查. (2)B 等级的人数为 50-15-10-5=20(人), 补充折线统计图如图. (3)图乙中 B 等级所占圆心角的度数为 4. 方差与标准差的计算. 【例 4】　我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛, 组织了选拔测试,两人分别进行了五次射击,成绩(单位:环)如下: 甲 10 9 8 9 9 乙 10 8 9 8 10 则应选择　　　　运动员参加省运动会比赛. 【解析】　先分别计算出甲和乙的平均数,再利用方差公式求出甲和乙的方差,最后根 据方差的大小进行判断即可.甲的平均数是 (10+9+8+9+9)=9, 乙的平均数是 (10+8+9+8+10)=9, 甲的方差= [(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=0.4; 乙的方差= [(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(9-9)2]=0.8. ∵ ∴　甲的成绩稳定. ∴　应选择甲运动员参加省运动会比赛. 【答案】　甲 　　5. 利用样本估计总体. 统计的核心思想是用样本去估计总体,本题的命题就体现了这一思想.对于一组数据来 说,出现次数最多的那个数据就是这组数据的众数;按从小到大(或从大到小)的顺序排列后, 处于最中间的一个数(共有奇数个数据)或中间两个数的平均数(共有偶数个数据)就是这组 数据的中位数;极差是这组数据中最大数与最小数的差;平均数是所有数据的和除以数据个 数.当然,本题求平均数的方法是利用加权平均数的计算公式进行计算的. 【例 5】　为提高居民的节水意识,向阳小区开展了“建设节水型社区,保障用水安全” 为主题的节水宣传活动,小莹同学积极参与小区的宣传活动,并对小区 300 户家庭用水情况 进行了抽样调查,他在 300 户家庭中,随机调查了 50 户家庭 5 月份的用水量情况,结果如图 所示. (1)试估计该小区 5 月份用水量不高于 12t 的户数占小区总户数的百分比; (2)把图中每组用水量的值用该组的中间值(如 0~6 的中间值为 3)来替代,估计该小区 5 月份的用水量. 【解析】　(1)用用水量不高于 12t 的户数除以抽查的总的户数即可求出该小区 5 月份 用水量不高于 12t 的户数占小区总户数的百分比; (2)用该组的中间值乘以户数,求出总的用水量,再除以抽查的户数求出每户的平均用水 量,最后乘以该小区总的户数即可得出答案.【答案】　(1)根据题意,得 ×100%=52%. 故该小区 5 月份用水量不高于 12t 的户数占小区总户数的百分比是 52%. (2)根据题意,得 300×(3×6+9×20+15×12+21×7+27×5)÷50=3960(t). 故估计该小区 5 月份的用水量是 3960t. 专项训练 一、 选择题 1. (2014·四川峨眉山二模)某班对全体同学上学的方式作一个调查,画出乘车、步行、骑车 人数分布的条形统计图和扇形统计图(两图均不完整),如图,则下列结论中错误的是(　　). (第 1 题) A. 该班总人数为 50 人 B. 骑车人数占总人数的 20% C. 乘车人数是骑车人数的 2.5 倍 D. 步行人数为 30 人 2. (2014·湖北襄阳模拟)我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的 人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是(　　). 班级 1 班 2 班 3 班 4 班 5 班 6 班 人数 52 60 62 54 58 62 A. 平均数是 60 B. 中位数是 59 C. 极差是 40 D. 众数是 58 3. (2014·江苏常州模拟)为了帮助本市一名患“白血病”的高中生,某班 15 名同学积极捐 款,他们捐款数额如下表: 捐款的数额/元 5 10 20 50 100 人数/人 2 4 5 3 1 关于这 15 名学生所捐款的数额,下列说法正确的是(　　).A. 众数是 100 B. 平均数是 30 C. 极差是 20 D. 中位数是 20 4. (2014·江苏南通海安县模拟)一组数据按从小到大排列为 2,4,8,x,10,14.若这组数据的 中位数为 9,则这组数据的众数为(　　). A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. (2014·四川简阳模拟)某校九年级一、二班学生参加同一次数学测验,经统计计算后得到 下表: 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 一班 55 78 135 75 二班 55 81 126 75 小亮根据上表分析得出如下结论:①一、二两班学生的平均水平相同;②二班的优秀人数多于 一班的优秀人数(成绩≥80 分为优秀);③一班成绩波动情况比二班成绩波动大.上述结论正 确的是(　　). A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 6. (2013·河南西华县王营中学一模)某中学数学兴趣小组 12 名成员的年龄情况如下: 年龄 (岁) 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 2 2 则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是(　　). A. 15,16 B. 13,15 C. 13,14 D. 14,14 7. (2013·浙江温州一模)在 50,20,50,30,50,25,35 这组数据中,众数和中位数分别是 (　　). A. 50,20 B. 50,30 C. 50,35 D. 35,50 8. (2013·河北三模)以下四种说法: ①为检测酸奶的质量,应采用抽查的方式; ②甲、乙两人打靶比赛,平均各中 5 环,方差分别为 0.15,0.17,所以甲稳定;③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形; ④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件. 其中正确的个数是(　　). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、 填空题 9. (2014·江苏常熟二模)九(1)班同学为了解 2012 年某小区家庭月均用水情况,随机调查了 该小区部分家庭,并将调查数据整理如下: 月均用水量 x(t)频数(户) 频率 0