中考数学常考易错点解析：特殊四边形

4.5 特殊的四边形 易错清单 1. 矩形的性质. 【解析】　连接 BE,设 AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出 AE=4x,DE=x,求出 x 的值,求出 AB,BC,即可求出答案. 【答案】　如图,连接 BE,则 BE=BC. 设 AB=3x,BC=5x, ∵　四边形 ABCD 是矩形, ∴　AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°. 由勾股定理,得 AE=4x, 则 DE=5x-4x=x, 【误区纠错】　本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出 x 的值. 2. 菱形面积的计算.【 例 2 】　(2014 · 甘 肃 兰 州 ) 如 果 菱 形 的 两 条 对 角 线 的 长 为 a 和 b, 且 a,b 满 足 那么菱形的面积等于　　　　. 【解析】　根据非负数的性质列式求出 a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式 计算即可得解. 【答案】　由题意,得 a-1=0,b-4=0, 解得 a=1,b=4, ∵　菱形的两条对角线的长为 a 和 b, ∴　菱形的面积 【误区纠错】　本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线 乘积的一半. 　　3. 正方形的性质. 【例 3】　(2014·广东梅州)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点, 且 DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点 G 在 AD 上,且∠GCE=45°,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么? 【解析】　(1)由 DF=BE,四边形 ABCD 为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出 CE=CF. (2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可 得 ∠GCE=∠GCF, 故 可 证 得 △ECG≌ △FCG, 即 EG=FG=GD+DF.又 因 为 DF=BE, 所 以 可 证 出 GE=BE+GD 成立. 【答案】　(1)在正方形 ABCD 中, ∵　BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, ∴　△CBE≌△CDF(SAS). ∴　CE=CF. (2)GE=BE+GD 成立.理由如下: ∵　由(1),得△CBE≌△CDF, ∴　∠BCE=∠DCF.∴　∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°, 又　∠GCE=45°, ∴　∠GCF=∠GCE=45°. ∵　CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴　△ECG≌△FCG(SAS). ∴　GE=GF. ∴　GE=DF+GD=BE+GD. 【误区纠错】　本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等 的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和 GE 相等的线段,从而证出关系是不是成立. 名师点拨 　重点:特殊平行四边形的性质和判定的应用. 难点:以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、 方程综合应用的问题. 提分策略 1. 在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题. 以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解 决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题. 　　【例 1】　如图,将矩形 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH=12 厘米,EF=16 厘米,则边 AD 的长是(　　). A. 12 厘米 B. 16 厘米 C. 20 厘米 D. 28 厘米 【解析】　本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键 是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出 △EFH 是直角三角形,再根据勾股定理求出 FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.【答案】　设斜线上两个点分别为 P,Q,如图. ∵　点 P 是点 A 对折过去的, ∴　∠EPH 为直角,△AEH≌△PEH. ∴　∠HEA=∠HEP. 同理∠PEF=∠BEF. ∴　∠PEH+∠PEF=90°. ∴　四边形 EFGH 是矩形. ∴　△DHG≌△BFE,△HEF 是直角三角形. ∴　BF=DH=PF. ∵　AH=HP, ∴　AD=HF. ∵　EH=12cm,EF=16 cm, ∴　FH===20(cm). ∴　FH=AD=20cm. 故选 C. 2. 以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题. 以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问 题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形 的形状. 【例 2】　如图,已知△ABC,按如下步骤作图: ①分别以 A,C 为圆心,以大于 AC 的长为半径在 AC 两边作弧,交于两点 M,N; ②连接 MN,分别交 AB,AC 于点 D,O; ③过 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E,连接 AE,CD. (1)求证:四边形 ADCE 是菱形; (2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC 的周长为 18 时,求四边形 ADCE 的面积.【解析】　此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ ADO∽△ABC,进而求出 AO 的长是解题关键. (1)利用直线 DE 是线段 AC 的垂直平分线,得出 AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△ AOD≌△COE,即可得出四边形 ADCE 是菱形. (2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出 AC 和 DE 的长即可得出四边 形 ADCE 的面积. 【答案】　(1)由题意,知 直线 DE 是线段 AC 的垂直平分线, ∴　AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°, 且　AD=CD,AO=CO. 又　CE∥AB, ∴　∠ADO=∠CEO. ∴　△AOD≌△COE. ∴　OD=OE. ∴　四边形 ADCE 是菱形. (2)当∠ACB=90°时, ∵　OD∥BC, ∴　△ADO∽△ABC. 又　BC=6, ∴　OD=3. 又　△ADC 的周长为 18, ∴　AD+AO=9, 即　AD=9-AO.∴　AO=4. ∴　DE=6,AC=8. 3. 利用菱形、正方形的对称性进行解题. 求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称 点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时, 就是利用了菱形、正方形的对称性. 【例 3】　如图,菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,点 M,N 分别是边 AB,BC 的中点,则 PM+PN 的最小值是　　　　. 【解析】　由对角线是 6 和 8,知菱形边长为 5,作 M 关于 AC 的对称点 M',连接 M'N 交 AC 于 点 P,则此时 PM+PN 和最小为线段 M'N 的长,此时 M'N=AB=5. 【答案】　5 4. 与正方形相关的综合性问题. 由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可 以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题. 【例 4】　已知,正方形 ABCD 中,∠MAN=45°, ∠MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB,DC(或它们的延长线)于点 M,N,AH⊥MN 于点 H. (1) 如 图 (1), 当 ∠ MAN 绕 点 A 旋 转 到 BM=DN 时 , 请 你 直 接 写 出 AH 与 AB 的 数 量 关 系:　　　　; (2)如图(2),当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时,(1)中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗? 如果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN 于点 H,且 MH=2,NH=3,求 AH 的长.(可利用(2)得到的 结论)【解析】　(1)由三角形全等可以证明 AH=AB. (2)延长 CB 至 E,使 BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到 AH=AB. (3)分别沿 AM,AN 翻折△AMH 和△ANH,得到△ABM 和△AND,然后分别延长 BM 和 DN 交于点 C, 得正方形 ABCD,设 AH=x,则 MC=x-2,NC=x-3,在 Rt△MCN 中,由勾股定理,解得 x. 【答案】　(1)AH=AB. (2)数量关系成立.如图(4),延长 CB 至 E,使 BE=DN. ∵　ABCD 是正方形, ∴　AB=AD,∠D=∠ABE=90°. ∴　Rt△AEB≌Rt△AND. ∴　AE=AN,∠EAB=∠NAD. ∴　∠EAM=∠NAM=45°. ∵　AM=AM, ∴　△AEM≌△ANM. ∵　AB,AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高, ∴　AB=AH. (4) (5) (3)如图(5)分别沿 AM,AN 翻折△AMH 和△ANH,得到△ABM 和△AND. ∴　BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°. 分别延长 BM 和 DN 交于点 C,得正方形 ABCD. 由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 设 AH=x,则 MC=x-2,NC=x-3. 在 Rt△MCN 中,由勾股定理,得 MN2=MC2+NC2. ∴　52=(x-2)2+(x-3)2. 解得 x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去). ∴　AH=6. 专项训练 一、 选择题 1. (2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为 6cm, 8cm,AE⊥ BC 于点 E,则 AE 的长是(　　). (第 1 题) (第 2 题) 2. (2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片 ABCD 中,AD=4,CD=3,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,折痕为 AE,记与点 B 重合的点为 F,则△CEF 的面积与矩形纸片 ABCD 的面积的比为 (　　).3. (2013·江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开, 剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是(　　). (第 3 题) A. 2+ B. 2+2 C. 12 D. 18 4. (2013·山西中考模拟六)在下列命题中,正确的是(　　). A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 二、 填空题 5.(2014·广东深圳模拟)如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 上,且 AB∥x 轴, 点 C,D 在 x 轴上,若四边形 ABCD 为矩形, 且它的面积为 3,则 k=　　　　. (第 5 题) (第 6 题) 6. (2013·辽宁铁岭模拟)如图,直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A,分别过顶点 B,D 作 DE⊥a 于点 E,BF⊥a 于点 F,若 DE=4,BF=3,则 EF 的长为　　　　. 三、 解答题 7. (2014·安徽安庆一模)如图,n×n 的正方形网格. 请按图形的规律,探索以下问题: (第 7 题)　… (1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为　　　　; (2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的 ?如果存在,是哪 个图形,如果不存在,请说明你的理由. 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案与解析 1. D　[解析] AC,BD 的长分别为 6cm, 8cm, 2. B　[解析] AF=AB=3, CF=AC-AF=5-3=2, 设 BE=x, 则 CE=4-x, EF=x, ∴　x2+22=(4-x)2. 3. B　[解析]可以自己动手折一下得出正确的答案. 4. C　[解析]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 6. 7　[解析]可证△ABF≌△DAE,则 AF=DE,BF=AE,所以 EF=AF+AE=3+4=7. 7. (1)22 个 (2)存在. 解得 n1=10,n2= (舍去). 所以第⑩个图形存在.