中考数学常考易错点解析：三角形的有关概念

三角形的有关概念 易错清单 1. 三角形的角平分线、中线和高的意义及画法. 【例 1】　如图所示的△ABC 中,线段 BE 是△ABC 边 AC 上的高的是(　　). 【解析】　根据三角形高的定义,过顶点作对边的垂线,顶点与垂足之间的线段叫做这个三 角形的高,对各选项分析判断后利用排除法求解. 【答案】　B 【误区纠错】　本题主要考查了三角形的高的定义,注意高是过顶点与对边垂直的线段. 2. 求三角形边长时,不要忘记三角形两边之和应大于第三边等. 【例 2】　有 5 根小木棒,长度分别为 2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,任意取其中的 3 根小木棒首尾 相接搭三角形,可搭出不同的三角形的个数为(　　). A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 【 解 析 】 　 可 搭 出 不 同 的 三 角 形 为:2cm,3cm,4cm;2cm,4cm,5cm;2cm,5cm,6cm;3cm,4cm,5cm;3cm,4cm,6cm;3cm,5cm,6cm;4cm, 5cm,6cm,共 7 个. 【答案】　C 【误区纠错】　考查三角形的边时,要注意三角形形成的条件;当题目指代不明时,一定要分 情况讨论,把符合条件的保留下来,不符合的舍去. 3. 能利用反例证明一个命题是错误的. 【例 3】　对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是(　　). A. ∠α=60°,∠α 的补角∠β=120°,∠β>∠αB. ∠α=90°,∠α 的补角∠β=90°,∠β=∠α C. ∠α=100°,∠α 的补角∠β=80°,∠β∠α,符合假命题的 结论,故 A 错误;B.∠α 的补角∠β=∠α,符合假命题的结论,故 B 错误;C.∠ α 的补角∠ β180° B. ∠2+∠5∠1, ∴　∠6+∠1180°,故本选项错误; C. ∵　DG∥EF, ∴　∠3+∠4=180°,故本选项错误; D. ∵　DG∥EF,∴　∠2=∠7. ∵　∠3+∠2=180°+∠A>180°, ∴　∠3+∠7>180°,故本选项正确. 【答案】　D 【误区纠错】　本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理的应用,主要考查学生运用 定理进行推理的能力, 【例 5】　(2014·山东威海)如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点 E 在 BC 的延长 线上,∠ABC 的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD 相交于点 D,连接 AD,下列结论中不正确的是 (　　). A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDC=35° D. ∠DAC=55° 【解析】　根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°,再根据角平分线的定义 求出∠ABO,然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB 再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB, 根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO,再利用三角形的内角和定理列式计算即可 ∠BDC,判断出 AD 为三角形的外角平分线,然后列式计算即可求出∠DAC. 【答案】　∵　∠ABC=50°,∠ACB=60°, ∴　∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°,故 A 选项结论正确. ∵　BD 平分∠ABC, 在△ABO 中,∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°, ∴　∠DOC=∠AOB=85°,故 B 选项结论错误. ∵　CD 平分∠ACE, ∴　∠ACD=(180°-60°)=60°. ∴　∠BDC=180°-85°-60°=35°,故 C 选项结论正确. ∵　BD,CD 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线, ∴　AD 是△ABC 的外角平分线. ∴　∠DAC=(180°-70°)=55°,故 D 选项结论正确.故选 B. 【误区纠错】　本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记定 理和概念是解题的关键,容易忘记三角形三个内角和是 180°这个隐含条件而出错. 名师点拨 1. 能利用三角形概念判断三角形的形状. 2. 会作不同三角形的高、中线、角平分线. 3. 能利用三角形稳定性解释生活现象. 4. 能证明并会运用三角形内角和定理及其推论. 5. 会作三角形的中位线并掌握中位线的性质. 6. 能区分定义、命题、定理的区别与联系;能正确说出命题的条件与结论;掌握逆命题与原 命题. 7. 了解反证法,利用反例证明一个命题是错误的. 8. 能用综合法证明一些简单的问题 提分策略 1. 三角形的重要线段的应用. 三角形的中线、角平分线、高线、中位线都是三角形中重要的线段.特别提醒:三角形的中位 线常用来证明线段的倍分问题,题目中有中点,就要想到三角形的中位线定理. 【例 1】　(2014·江苏盐城)如图,A,B 两地间有一池塘阻隔,为测量 A,B 两地的距离,在地 面 上 选 一 点 C, 连 接 CA,CB 的 中 点 D,E. 若 DE 的 长 度 为 30m, 则 A,B 两 地 的 距 离 为 　　　　 m. 【解析】　根据三角形中位线求出 AB=2DE,代入求出即可. 【答案】　∵　D,E 分别是 AC,BC 的中点,DE=30m, ∴　AB=2DE=60m. 2. 三角形内角与外角的应用. 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质,灵活地运用这些基础知识,合 理地推理,可以灵活地解决内、外角的关系,得到结论. 【例 2】　如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP=　　　　. 【解析】　过点 P 作 PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为 D,E,F.因为 PB 是∠ABC 的平分线, 所 以 PE=PD, 同 理 PD=PF, 所 以 PE=PF, 所 以 AP 是 ∠ EAC 的 平 分 线 . 利 用 【答案】　50° 3. 三角形二边之和必须大于第三边. 【例 3】　(2014·广西玉林)在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,其周长为 20cm,则边 AB 的取值范 围是(　　). A. 1cm