中考数学常考易错点解析：全等三角形

全等三角形 易错清单 1. 两边和一角对应相等的两个三角形全等吗? 【例 1】　已知△A1B1C1 与△A2B2C2 的周长相等,现有两个判断: ①若 A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2; ②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2. 对于上述的两个判断,下列说法正确的是(　　). A. ①正确, ②错误 B. ①错误, ②正确 C. ①、②都错误 D. ①、②都正确 【解析】　由于△A1B1C1 与△A2B2C2 的周长相等,若 A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则 B1C1=B2C2,根据 “边边边”定理,易得△A1B1C1≌△A2B2C2 故①正确;若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则∠C1=∠C2,根 据相似三角形的判定定理,易得△A1B1C1∽△A2B2C2.又因为△A1B1C1 与△A2B2C2 的周长相等, 所以△A1B1C1≌△A2B2C2,故②正确. 【答案】　D 【误区纠错】　在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等, 判定两 个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 2. 如何说明一条线段等于另两条线段之和. 【例 2】　如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点 G 在 AD 上,且∠GCE=45°,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么? 　　【解析】　(1)由 DF=BE,四边形 ABCD 为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出 CE=CF. (2)由(1),得 CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以 可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ ECG≌△FCG,即 EG=FG=GD+DF.又因为 DF=BE,所以可证出 GE=BE+GD 成立. 【答案】　(1)在正方形 ABCD 中, ∵　BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴　△CBE≌△CDF(SAS). ∴　CE=CF. (2)GE=BE+GD 成立.理由如下: ∵　由(1),得△CBE≌△CDF, ∴　∠BCE=∠DCF. ∴　∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, 即　∠ECF=∠BCD=90°. 又　∠GCE=45°, ∴　∠GCF=∠GCE=45°. ∵　CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴　△ECG≌△FCG(SAS). ∴　GE=GF. ∴　GE=DF+GD=BE+GD. 【误区纠错】　在第(2)问中不能通过截长或补短找出和 GE 相等的线段,从而通过全等证出 关系是不是成立. 名师点拨 弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断. 2. 会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全 等思想来说明线段(或角)相等. 提分策略 1. 全等三角形开放性问题. 由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添 加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的 牢固与灵活程度. 【例 1】　如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,作射线 AD,在线段 AD 及其延长线上分别取 点 E,F, 连 接 CE,BF. 添 加 一 个 条 件 , 使 得 △ BDF ≌ △ CDE, 并 加 以 证 明 . 你 添 加 的 条 件是　　　　.(不添加辅助线) 【解析】　由已知可证∠EDC=∠BDF,又 DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并 且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF 或(CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠ DFB). 【答案】　(1)添加的条件是:DE=DF(或 CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等). (2)在△BDF 和△CDE 中, 　　∴　△BDF≌△CDE. 2. 全等三角形性质与判定的综合应用. (1)解决全等三角形问题的一般思路:①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三 角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全 等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系; (2)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等; (3)利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等. 【例 2】　如图,△ABO 与△CDO 关于点 O 中心对称,点 E,F 在线段 AC 上,且 AF=CE. 求证:FD=BE. 【解析】　∵　△ABO 与△CDO 关于点 O 中心对称, ∴　△ABO≌△CDO. ∴　OA=OC,OB=OD. ∵　AF=CE, ∴　OA-AF=OC-CE,即 OF=OE. ∵　∠FOD=∠EOB, ∴　△FOD≌△EOB. ∴　FD=BE. 专项训练一、 选择题 1. (2014·湖南益阳二模)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是 CD 边上一点,连接 AE,交对角线 BD 于点 F,连接 CF,则图中全等三角形共有(　　). (第 1 题) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 2. (2014·江苏南京二模)在△ ABC 中,∠ ABC=30°,AB 边长为 6,AC 边的长度可以在 1,3,5,7 中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(　　　). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (2013·江苏南京六合一模)如图,直线上有三个正方形 a,b,c,若 a,c 的面积分别为 3 和 4,则 b 的面积为(　　). (第 3 题) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 二、 填空题 4. (2013·安徽一模)如图,△ABC 为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB 于点 R,PS⊥AC 于点 S, 则四个结论正确的是　　　　.(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①AP 平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP. (第 4 题)三、 解答题 5. (2014·山东泰安地区三模)如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是各边的中点,AH 是边 BC 上的 高.那么,图中的∠DHF 与∠DEF 相等吗?为什么? (第 5 题) 6. (2014·山西大同二模)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形 纸片摆放成如图所示的形式,使点 B,F,C,D 在同一条直线上. (1)求证:AB⊥ED. (2)若 PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明. (第 6 题) 7. (2013·浙江锦绣育才教育集团一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点 D 是 AC 的中点,将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与 A,D 重 合,连接 BE,EC.试猜想线段 BE 和 EC 的关系,并证明你的猜想. (第 7 题)【答案】 1. C　[解析]由正方形对称性知:△ABD≌△CBD;△AFD≌△CFD;△ABF≌△CBF. 2. B　[解析] 根据三角形构成的条件知AC 取 1,3,5,7 均可以构成△ABC, 且这些三角形互不 全等. 3. D　[解析]根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE,从而得到 b 的面积=a 的面 积+c 的面积. 4. ①②③④　[解析]首先根据角平分线上点的性质,推出①正确,然后通过求证△ARP 和△ ASP 全等,推出②正确,再根据 AQ=PQ,推出相关角相等,通过等量代换即可得∠QPA=∠PAR,即 可推出③正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B,便可推出结论④正确. 5. ∠DHF=∠DEF.理由如下: ∵　AH⊥BC 于点 H, 又　D 为 AB 的中点, ∴　∠DAH=∠DHA,同理可证:∠FAH=∠FHA. ∴　∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF, 即∠DHF=∠DAF. ∵　E,F 分别为 BC,AC 的中点, 即　EF∥AD 且 EF=AD. ∴　四边形 ADEF 是平行四边形. ∴　∠DAF=∠DEF. ∴　∠DHF=∠DEF. 6. (1)由已知,得 Rt△ABC≌Rt△DEF. ∴　∠A=∠D. ∵　AC⊥BD, ∴　∠ACD=90°. 又　∠DNC=∠ANP, ∴　∠APN=90°. ∴　AB⊥ED.(2)△ABC≌△DBP.理由如下: 由(1),得∠A=∠D,∠BPD=∠ACB=90°. 又　PB=BC, ∴　△ABC≌△DBP. 7. 数量关系为 BE=EC,位置关系是:BE⊥EC.理由如下: ∵　△AED 是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是 45°, ∴　∠EAD=∠EDA=45°. ∴　AE=DE. ∵　∠BAC=90°, ∴　∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°, ∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°. ∴　∠EAB=∠EDC. ∵　D 是 AC 的中点,AC=2AB,∴　AD=AB=DC. ∴　△EAB≌△EDC. ∴　EB=EC,且∠AEB=∠CED. ∴　∠DEC+∠BED=∠AED=∠BEC=90°.