中考数学常考易错点解析：平面直角坐标系及函数的图象

平面直角坐标系及函数的图象 易错清单 1. 能确定较复杂函数的自变量取值范围吗? 【例 1】　(2014·山东济宁)函数 中的自变量 x 的取值范围是(　　). A. x≥0 B. x≠-1 C. x>0 D. x≥0 且 x≠-1 【解析】　根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于 0,分母不等于 0,可以 求出 x 的范围. 【答案】　根据题意,得 x≥0 且 x+1≠0, 解得 x≥0. 故选 A. 【误区纠错】　本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当 函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 2. 能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律. 【例 2】　(2014·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ ABO 绕点 A 顺时针旋转到△ AB1C1 的位置,点 B,O 分别落在点 B1,C1 处,点 B1 在 x 轴上,再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到 △A1B1C2 的位置,点 C2 在 x 轴上,将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置,点 A2 在 x 轴上,依次进行下去….若点 ,B(0,4),则点 B2014 的横坐标为　　　　. 【解析】　首先利用勾股定理得出 AB 的长,进而得出三角形的周长,进而求出 B2,B4 的横坐 标,进而得出变化规律,即可得出答案. 【答案】　∵ ,BO=4,故答案为 10070. 【误区纠错】　此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出 B 点横坐标变化规 律是解题关键.由特殊总结一般性. 3. 借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系. 【例 3】　(2014·山东烟台)如图,点 P 是 ABCD 边上一动点,沿 A→D→C→B 的路径移动,设 P 点经过的路径长为 x,△BAP 的面积是 y,则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是 (　　). 【解析】　分三段来考虑点 P 沿 A→D 运动,△BAP 的面积逐渐变大;点 P 沿 D→C 移动,△ BAP 的面积不变;点 P 沿 C→B 的路径移动,△BAP 的面积逐渐减小,据此选择即可. 【答案】　点 P 沿 A→D 运动,△BAP 的面积逐渐变大;点 P 沿 D→C 移动,△BAP 的面积不变; 点 P 沿 C→B 的路径移动,△BAP 的面积逐渐减小.故选 A. 【误区纠错】　本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑. 名师点拨 1. 会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置. 2. 能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限. 3. 理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的 图象. 4. 能列举函数的三种表示方法. 5. 会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等. 6. 能利用代入法求函数的值.7. 能利用函数变化规律进行准确猜想、判断. 提分策略 1. 函数的概念及函数自变量的取值范围. 函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑: (1)当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是第三种情形,考虑被开方数必 须大于等于 0. 【解析】　根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解. 【答案】　C 2. 函数解析式的求法. 具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数 量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需 的代数式,从而列出两个变量之间的关系式. 【例 2】　某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱. 供应这种纸箱有两种方案可供选择: 方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为 4 元; 方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂 需要一次性投入机器安装等费用 16000 元,每加工一个纸箱还需成本费 2.4 元. (1)若需要这种规格的纸箱 x 个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用 y1(元)和蔬菜加工厂 自己加工制作纸箱的费用 y2(元)关于 x(个)的函数关系式; (2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由. 【答案】　(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用 y1=4x. 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用 y2=2.4x+16000. (2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x, 由 y1=y2,得 16 000-1.6x=0,解得 x=10000. ∴　当 xy2. 选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低. ∴　当 x=10000 时,y1=y2. 两种方案都可以,两种方案所需的费用相同. 3. 坐标系中的图形的平移与旋转. 求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:一是根据图形变换的性质, 二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限. 【例 3】　在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着 x 轴翻折,再向右平移 2 个单位 长度称为 1 次变换.如图,已知等边三角形 ABC 的顶点 B,C 的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1), 把△ABC 经过连续 9 次这样的变换得到△A'B'C',则点 A 的对应点 A'的坐标是　　　　. 4. 运用函数的图象特征解决问题. (1)由函数图象的定义可知图象上任意一点 P(x,y)中的坐标值 x,y 是解析式方程的一个解, 反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.(2)注意方程与函数的结合,抓住“方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质”这个 网,结合数学知识,用数形结合法来解题. 【例 4】　小刚上午 7:30 从家里出发步行上学,途经少年宫时走了 1200 步,用时 10 分钟, 到达学校的时间是 7:55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学 的步行速度,走完 100 米用了 150 步. (1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程 分别是多少米? (2)下午 4:00,小刚从学校出发,以 45 米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年 宫 300 米处与同伴玩了半小时后,赶紧以 110 米/分的速度回家,中途没有再停留.问: ①小刚到家的时间是下午几时? ②小刚回家过程中,离家的路程 s(米)与时间 t(分)之间的函数关系如图,请写出点 B 的坐标, 并求出线段 CD 所在直线的函数解析式. ②小刚从学校出发,以 45 米/分的速度行走到离少年宫 300 米处时实际走了 900 米,用时 分,此时小刚离家 1100 米,所以点 B 的坐标是(20,1100). 点 C 的坐标是(50,1100),点 D 的坐标是(60,0), 设线段 CD 所在直线的函数解析式是 s=kt+b,将点 C,D 的坐标代入,得所以线段 CD 所在直线的函数解析式是 s=-110t+6600. 5. 分段函数的应用 自变量在不同的范围内取值时,函数 y 和 x 有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决 分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题. 【例 5】　如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,动点 P 从点 B 出发,沿路线 B→C→D 作匀速运 动,那么△ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是(　　). 【答案】　B 专项训练 一、 选择题 1. (2014·四川中江县一模)已知点 A(a,1)与点 A'(-5,b)是关于原点 O 的对称点,则 a+b 的 值为(　　). A. 1 B. 5 C. 6 D. 4 2. (2014·深圳模拟)已知点 A(a+2,a-1)在平面直角坐标系的第四象限内,则 α 的取值范围 为(　　). A. -2