中考数学常考易错点解析：梯形

梯形 易错清单 1. 要明确等腰梯形与一般梯形的性质上的区别,如等腰梯形的对角线相等,而一般梯形则不 具备此性质. 【例 1】　(2014·湖南怀化)如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,AC 与 BD 相交于点 O,则下列判断不正确的是(　　). A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC 【解析】　由等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,可得∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA,易证得△ ABC≌△DCB,△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO,则可证得△ABO≌△DCO. 【答案】　A.∵　等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC, ∴　∠ABC=∠DCB. 在△ABC 和△DCB 中, ∴　△ABC≌△DCB(SAS),故正确; B. ∵　AD∥BC, ∴　△AOD∽△COB. ∵　BC>AD, ∴　△AOD 不全等于△COB,故错误; C. ∵　△ABC≌△DCB, ∴　∠ACB=∠DBC. ∵　∠ABC=∠DCB, ∴　∠ABO=∠DCO. 在△ABO 和△DCO 中,∴　△ABO≌△DCO(AAS).故正确; D. ∵　等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC, ∴　∠BAD=∠CDA. 在△ADB 和△DAC 中, ∴　△ADB≌△DAC(SAS).故正确. 故选 B. 【误区纠错】　此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,注意掌握数形 结合思想的应用.等腰梯形的对角线相等. 2. 解决梯形问题时,添加辅助线要从构造基本图形着眼,不可随意强加条件. 【例 2】　如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD+BC,E 是 CD 的中点. 求证:EA,EB 分别是∠A 和∠B 的平分线. 【解析】　本题延长线 AE 交 BC 延长线于点 F 时,试图构造等腰三角形“三线合一”的基本 图形. 要将条件“AB=AD+BC”转化为“AB=BF”. 【答案】　如图,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. ∵　AD∥BC, ∴　∠DAE=∠F. 又　∠AED=∠FEC,DE=CE, ∴　△ADE≌△FCE. ∴　AD=CF,AE=EF. 又　AB=AD+BC, ∴　AB=BF. ∴　BE 是等腰三角形 BAF 底边上中线. ∴　BE 平分∠B. 同理可证 AE 平分∠A. 【误区纠错】　添加辅助线要从题目的条件入手,不可随意强加条件论证结论.所以做这类 题要恰当的添加辅助线,不要自己加上一些想当然的条件,认真分析已知条件才能正确解答. 名师点拨 1. 掌握梯形的概念和等腰梯形的性质及判定方法. 2. 掌握解决梯形问题时,常见添加辅助线的方法,体会转化的思想方法. 提分策略 1. 利用梯形的基本概念及性质解决问题,渗透转化的数学思想方法. 梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决.常用添加辅助线的方 法有:(1)平移一腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰;(5)连接 一腰并延长. 【例 1】　我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位 线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段 叫做梯形的中位线.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,那么 EF 就是 梯形 ABCD 的中位线.通过观察、测量,猜想 EF 和 AD,BC 有怎样的位置和数量关系?并证明你 的结论. 【解析】　连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G,则△ADF≌△GCF,可以证得 EF 是△ABG 的 中位线,利用三角形的中位线定理即可证得. 【答案】　结论为:EF∥AD∥BC, . 证明如下:连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. 在△ADF 和△GCF 中, ∴　△ADF≌△GCF. ∴　AF=FG,AD=CG. 又　AE=EB,∴　EF∥BG,EF=(BC+CG). 即 EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC). 2. 利用等腰梯形和其他知识相结合解题. 利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行,而且可证明两边相等或两个角相等. 【例 2】　如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AB=CD,延长线段 CB 到点 E,使 BE=AD,连接 AE,AC. (1)求证:△ABE≌△CDA; (2)若∠DAC=40°,求∠EAC 的度数. 【解析】　(1)由等腰梯形的性质可得∠ABE=∠CDA,从而得到两个三角形全等.(2)由(1)得 到∠AEB=∠CAD,AE=AC,进而利用三角形的内角和求得. 【答案】　(1)在梯形 ABCD 中,∵　AD∥BC,AB=CD, ∴　∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA. ∴　∠ABE=∠CDA. 在△ABE 和△CDA 中, ∴　△ABE≌△CDA. (2)由(1)得∠AEB=∠CAD,AE=AC, ∴　∠AEB=∠ACE. ∵　∠DAC=40, ∴　∠AEB=∠ACE=40°. ∴　∠EAC=180°-40°-40°=100°. 3. 解梯形与函数、方程等知识的综合运用问题. 【例 3】　如图,等腰梯形 ABCD 放置在平面坐标系中,已知 A(-2,0),B(6,0),D(0,3),反比例 函数的图象经过点 C. (1)求点 C 的坐标和反比例函数的解析式; (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后,点 B 是否落在双曲线上?　　【解析】　本题是反比例函数与梯形的综合题,以及待定系数法求函数的解析式,利用 数形结合解决此类问题,是非常有效的方法. (1)点 C 的纵坐标与点 D 的纵坐标相同,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则△AOD≌△BEC,即可求得 BE 的长度,则 OE 的长度即可求得,即可求得点 C 的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反 比例函数的解析式. (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后,点 B 向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标,代 入函数解析式判断即可. 【答案】　(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵　四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴　AD=BC,DO=CE. ∴　Rt△AOD≌Rt△BEC. ∴　AO=BE=2. ∵　BO=6, ∴　DC=OE=4. ∴　C(4,3). (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后得到梯形 A'B'C'D'的点 B'(6,2), 即点 B'恰好落在双曲线上.专项训练 一、 选择题 (第 1 题) 1. (2014·黑龙江大庆模拟)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,DC⊥BC,将梯形沿对角线 BD 折叠, 点 A 恰好落在 DC 边上的点 A'处,若∠A'BC=20°,则∠A'BD 的度数为(　　). A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 2. (2013·湖北荆州中考模拟)把长为 8cm 的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯 形,打开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为 6cm2,则打开后梯形的周长是(　　). (第 2 题) 二、 填空题 3. (2014·山西晋中模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 是梯形的中位线,对角线 AC 交 EF 于点 G,若 BC=10cm,EF=8cm,则 GF 的长等于　　　　cm. (第 3 题) 4. (2014·陕西名校模拟)如图,梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°, 且DC=2AB,分别以 DA,AB,BC 为 边 向 梯 形 外 作 正 方 形 , 其 面 积 分 别 为 S1,S2,S3, 则 S1,S2,S3 之 间 的 关 系 是　　　　. (第 4 题) 三、 解答题 5. (2014·北京房山区二模)如图,梯形 ABCD 中,AD=BC,F 为 BC 的中点,AB=2,∠A=120°,过 点 F 作 EF⊥BC 交 DC 于点 E,且 EF=3 ,求 DC 的长. (第 5 题) 6. (2013·上海浦东新区中考预测)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD 平分∠ABC,∠BAD 的平 分线交 BC 于点 E,连接 ED. (1)求证:四边形 ABED 是菱形; (2)当∠ABC=60°,EC=BE 时,证明:梯形 ABCD 是等腰梯形. (第 6 题) 参考答案与解析 1. C　[解析]因为∠A'BC=20°,则∠BA'C=70°,∠DA'B=110°,∠DAB=110°,∠ABC=70°,则 ∠A'BD=25°. 2. A　[解析]剪掉部分的面积为 6cm2,求得原矩形宽为 2cm,所以打开后梯形的腰长是 cm, 上底长 2cm,下底长 8cm. 3. 3　[解析]由中位线定理得 EG=5cm,EF=8cm,则 GF=EF-EG=3cm. 4. S2=S1+S3　[解析]过 A,B 二点作 AE⊥CD, BF⊥CD, 则△ADE∽△CBF, ∴　DE×CF=AE2, 再利用勾股定理以及 CD=2AB 即可求出 S2=S1+S3.5. 连接 BE, ∵　EF⊥BC,且平分 BC, ∴　BE=CE. ∵　梯形 ABCD 中,AD=BC, ∴　∠D=∠C=60. ∴　△BEC 是等边三角形. ∴　∠BEC=60°. ∴　BE∥AD. ∴　ADEB 为平行四边形. ∴　DE=AB=2. ∵　EF=3,∠C=60°, ∴　EC=2. (第 5 题) 6. (1)∵　AD∥BC, ∴　∠ADB=∠DBC. 又　∠ABD=∠DBC, ∴　∠ABD=∠ADB. ∴　AB=AD.同理有 AB=BE. ∴　AD=BE. 又　AD∥BE, ∴　四边形 ABED 为平行四边形. 又　AB=BE, ∴　▱ABED 为菱形. (2)∵　AB=BE,∠ABC=60°, ∴　△ABE 为等边三角形.∴　AB=AE. 又　AD=BE=EC, AD∥EC, ∴　四边形 AECD 为平行四边形. ∴　AE=DC. ∴　AB=DC. ∴　梯形 ABCD 是等腰梯形.