中考数学常考易错点解析：解直角三角形

4.8 解直角三角形 易错清单 1. 涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形” 中. 【例 1】　(2014·广东广州)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点 均在格点上,则 tanA 等于(　　). 【解析】 【答案】　D 【误区纠错】　本题容易出错的是 ,而错选 C. 2. 实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错. 【例 2】　(2014·广东深圳)小明去爬山,在山脚看山顶角度为 30°,小明在坡比为 5∶12 的山坡上走 1 300 米,此时小明看山顶的角度为 60°,求山高(　　). 【解析】　 ,即 tanα(α 为坡角)的值.坡度为 5∶12,则 tanα= , 通过构造两个直角三角形△ABE 与△BDF,分别求解可得 DF 与 EB 的值,再利用图形关系,进 而可求出答案. 【答案】　∵　BE∶AE=5∶12,∴　BE∶AE∶AB=5∶12∶13. ∵　AB=1 300 米, ∴　AE=1 200 米,BE=500 米. 设 EC=x 米, ∵　∠DBF=60°, 【误区纠错】　 解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误. 名师点拨 掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值. 提分策略 1. 求锐角三角函数值的问题. 解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角 三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解. 【例 1】　如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sinA 的值为(　　).【解析】　利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.如图,连接 CO. 根据网格的特点,CO⊥AB. 在 Rt△AOC 中, 【答案】　B 2. 特殊锐角的三角函数值的应用. 【 例 2 】 　 在 △ ABC 中 , 若 ∠ A, ∠ B 满 足 , 则 ∠ C=　　　　. 【解析】　 得∠A=60°,∠B=45°, 则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°. 【答案】　75°. 3. 解直角三角形的问题. 作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法. 【例 3】　(2014·四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题: (1)(2) (3) (4) sin2A1+sin2B1=　　　　;sin2A2+sin2B2=　　　　;sin2A3+sin2B3=　　　　. (1)观察上述等式,猜想:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,都有 sin2A+sin2B=　　　　; (2)如图(4),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,利用三角函数的定 义和勾股定理,证明你的猜想. (3)已知:∠A+∠B=90°,且 sinA= ,求 sinB. 【解析】　(1)由前面的结论,即可猜想出:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,都有 sin2A+sin2B=1. (2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°.利用锐角三角函数的定义得出 sinA=,sinB=,则 sin2A+sin2B= ,再根据勾股定理得到 a2+b2=c2,从而证明 sin2A+sin2B=1. (3)利用关系式 sin2A+sin2B=1,结合已知条件 sinA=,进行求解. 【答案】　(1)14. 利用解直角三角形解决实际问题. 【例 4】　(2014·甘肃白银)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图(1) 所示的是一辆自行车的实物图.图(2)是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 和 60cm,且它们互相垂直,座杆 CE 的长为 20cm.点 A,C,E 在同一条直线上, 且∠CAB=75°.(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732) (1) (2) 　(1)求车架档 AD 的长; (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离(结果精确到 1cm). 【解析】　(1)在 Rt△ACD 中利用勾股定理求 AD 即可. (2)过点 E 作 EF⊥AB,在 Rt△EFA 中,利用三角函数求 EF=AEsin75°,即可得到答案. 【答案】　(1)∵　在 Rt△ACD 中,AC=45cm,DC=60cm, ∴　车架档 AD 的长是 75cm.(2)过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F, ∵　AE=AC+CE=(45+20)cm, ∴　EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63(cm), ∴　车座点 E 到车架档 AB 的距离约是 63cm. 【例 5】　(2014·四川内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了 舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点 A 俯 角为 30°方向的点 F 处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察,飞机继续 向前飞行了 800 米到达 B 点,此时测得点 F 在点 B 俯角为 45°的方向上,请你计算当飞机飞 临点 F 的正上方点 C 时(点 A,B,C 在同一直线上),竖直高度 CF 约为多少米?(结果保留整数, 参考数值:≈1.7) 【解析】　此题考查了考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角 形.注意方程思想与数形结合思想的应用. 【答案】　∵　∠BCF=90°,∠FBC=45°, ∴　BC=CF. ∵　∠CAF=30°, 解得 CF=400+400≈400(1.7+1)=1 080(米). 故竖直高度 CF 约为 1080 米. 专项训练 一、 选择题 1. (2014·安徽芜湖模拟)已知 a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,以 a,b,c 为边 组成的三角形面积等于(　　).A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (第 2 题) 2. (2013·吉林镇赉县一模)如图,O 为原点,点 A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(0,4),☉D 过 A,B,O 三点,点 C 为优弧 AO 上的一点(不与 O,A 两点重合),则 cosC 的值为(　　). 二、 填空题 3. (2014·江苏如皋地区模拟)如图,∠ABC=60°,半径为 1cm 的☉O 切 BC 于点 C,若将☉O 在 BC 上向右滚动,则当☉O 滚动到与 AC 也相切时,圆心 O 移动的水平距离是　　　　cm. (第 3 题) (第 4 题) 4. (2014·江苏扬州树人集团学校模拟)如图,△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则 sinA=　　　　. 5. (2014·河南信阳三模)如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为 20cm,深为 30cm. 为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为 A,斜坡的起始点为 C,现将斜坡的坡度 设计为 i=1∶4.5,则 AC 的长为　　　　cm. (第 5 题) 三、 解答题 6. (2014·安徽安庆二模)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种 是从 A 沿直线步行到 C;另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有 甲,乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 45m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘 缆车到 B,在 B 处停留 5min 后,再从 B 匀速步行到 C,二人同时到达.已知缆车匀速直线运动 的速度为 180m/min,山路 AC 长为 2 430m,且测得∠CAB=45°,∠CBA=105°.求: (1)索道 AB 的长; (2)乙的步行速度. (第 6 题) 7. (2014·河南洛阳一模)如图,在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站,A 在 B 的正东方 向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点 P 处,从 A 测得小船在北偏西 60°的方向,从 B 测得小 船在北偏东 45°的方向. (1)求点 P 到海岸线 l 的距离; (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后,到点 C 处,此时,从 B 测得小船在北偏西 15°的方向.求点 C 与点 B 之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)(第 7 题) 8. (2013·吉林中考模拟)已知,如图,在坡顶 A 处的同一水平面上有一座古塔 BC,数学兴趣 小组的同学在斜坡底 P 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 45°,然后他们沿着坡度为 1∶2.4 的 斜坡 AP 攀行了 26 米,在坡顶 A 处又测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76°.求: (1)坡顶 A 到地面 PQ 的距离; (2)古塔 BC 的高度.(结果精确到 1 米) (参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01) (第 8 题) 参考答案与解析 1. A　[解析]由已知条件得 b=4,c=5,由于 a=3,所以这个三角形是直角三角形,且两条直角边 分别是 3,4,所以面积是 6. 2. D　[解析]连接 AB,利用同弧所对的圆周角相等求解. 5. 210　[解析]由题意,知(20+20+20)∶(AC+30+30)=1∶4.5,解得 AC=210(cm).(第 6 题) 7. (1)如图,过点 P 作 PD⊥AB 于点 D, 设 PD=x, 由题意,知 PBD=45°,∠PAD=30°, ∴　在 Rt△BDP 中,BD=PD=x. 在 Rt△PDA 中,AD=PD=x. ∵　AB=2, (第 7 题) 8. (1)过点 A 作 AH⊥PQ,垂足为 H. ∵　斜坡 AP 的坡度为 1∶2.4, 设 AH=5k,则 PH=12k,由勾股定理,得 AP=13k. ∴　13k=26.解得 k=2. ∴　AH=10. 故坡顶 A 到地面 PQ 的距离为 10 米. (2)延长 BC 交 PQ 于点 D. ∵　BC⊥AC,AC∥PQ, ∴　BD⊥PQ. ∴　四边形 AHDC 是矩形,CD=AH=10,AC=DH. ∵　∠BPD=45°, ∴　PD=BD. 设 BC=x,则 x+10=24+DH. ∴　AC=DH=x-14.