中考数学常考易错点解析：分式方程

分式方程 易错清单 1. 解分式方程时为什么容易出错? 【例 1】　(2014·新疆)解分式方程:+=1. 【解析】　先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程 解的情况. 【答案】　方程两边都乘以(x+3)(x-3),得 3+x(x+3)=x2-9, 去括号,得 3+x2+3x=x2-9, 解得 x=-4. 检验:把 x=-4 代入(x+3)(x-3)≠0, ∴　x=-4 是原分式方程的解. 【误区纠错】　最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最 简公分母,不要漏乘. 【例 2】　(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0. 【解析】　先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是 x(x+2)(x-2). 【答案】　去分母,得 3x-6-x-2=0, 解得 x=4, 经检验,x=4 是原方程的根, 故 x=4 是原方程的解. 【误区纠错】　解分式方程产生增根,忘记验根. 【例 3】　(2014·贵州黔西南州)解方程:=. 【解析】　将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公 分母中即可. 【答案】　方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 x+2=4, 解得 x=2, 经检验,x=2 不是分式方程的解,故原分式方程无解. 【误区纠错】　增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方 程无解”. 2. 运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例 4】　(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用 3000 元购进第一批盒装 花,上市后很快售完,接着又用 5000 元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是 第一批所购花盒数的 2 倍,且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元.求第一批盒装花每盒的 进价是多少元? 【解析】　设第一批盒装花的进价是 x 元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再 根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程. 【答案】　设第一批盒装花的进价是 x 元/盒, 由题意,得 2×=, 解得 x=30. 经检验,x=30 是原方程的根. 故第一批盒装花每盒的进价是 30 元. 【误区纠错】　题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得 到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系. 名师点拨 　1. 会利用分式方程的定义判断分式方程. 2. 能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程. 3. 会利用检验思想判断分式是否存在增根. 4. 会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义. 提分策略 1. 分式方程的解法. 解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符 号的变化. 【例 1】　解方程:+=1. 【解析】　根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可. 【答案】　方程两边都乘以(x+2)(x-2),得 2+x(x+2)=x2-4, 去括号,得 2+x2+2x=x2-4, 解得 x=-3. 检验:把 x=-3 代入(x+2)(x-2)≠0, ∴　x=-3 是原分式方程的解. 2. 利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知 数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要 相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否 符号题意. 　　【例 2】　几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用 360 元购买门票.下面是两 个小伙伴的对话: 根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数. 【解析】　设票价为 x 元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不 变,列方程求解. 【答案】　设票价为 x 元, 由题意,得=+2, 解得 x=60, 经检验,x=60 是原方程的根, 则小伙伴的人数为=8. 故小伙伴们的人数为 8 人. 专项训练 一、 选择题 1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程 共 10 千米,自行车队的速度是长跑队速度的 2.5 倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发, 结果长跑队比自行车队晚到了 2 小时,如果设长跑队跑步的速度为 x 千米/时,那么根据题意 可列方程为(　　). A. +2=+0.5 B. -=2-0.5 C. -=2-0.5 D. -=2+0.5 2. (2013·广西钦州四模)将分式方程 1-=去分母,整理后得(　　). A. 8x+1=0 B. 8x-3=0 C. x2-7x+2=0 D. x2-7x-2=0二、 填空题 3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成,乙队单独完成 这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 2 倍少 10 天.甲、乙两队单独完成这 项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需 x 天,根据题意列出的方程是　　　　. 4. (2014·北京平谷区模拟)A,B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比 B 型机器 人每小时多搬运 20 千克,A 型机器人搬运 1000 千克所用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所 用时间相等,则 A 型机器人每小时搬运　　　　千克化工原料. 5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为 0,那么 x 的值为　　　　. 6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是　　　　. 7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于 x 的方程=5 的解是正数,则 m 的取值范 围为　　　　. 三、 解答题 8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=. 9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时 间比甲队单独完成多 5 天,若先由甲、乙两队合作 4 天后,余下的工程再由乙队单独完成,一 共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天? 10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带 回来两条信息: 信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用 320 元,如果参加的人数能够增加到原来人数 的 2 倍,就可以享受优惠,此时只需交费用 480 元; 信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少 4 元. 根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2. 12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=. 13. (2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程 80km, 由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了 15 分钟,求原计 划的行驶速度是多少. 14. (2013·安徽芜湖一模)2012 年 3 月 25 日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件 后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4 月初某种药品的价格大幅度下调,下调后 每盒价格是原价格的,原来用 60 元买到的药品下调后可多买 2 盒.4 月中旬,各部门加大了 对胶囊生产监管力度,因此,药品价格 4 月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒 14.4 元. (1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少? (2)问 5,6 月份药品价格的月平均增长率是多少? 参考答案与解析 1. C　[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D　[解析]去分母,得 x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得 x2+x-5x-2=3x,整理,得 x2-7x-2=0. 3. +=　[解析]若甲队单独完成需 x 天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效 率等于,可列出方程. 4. 100　[解析]设 A 型机器人每小时搬运化工原料 x 千克,则 B 型机器人每小时搬运(x-20) 千克. 依题意,得=, 解得 x=100. 经检验,x=100 是方程的解且符合实际意义. 5. -1　[解析]根据题意,得 x2+3x+2=0,解得 x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去). 6. x=　[解析]化为整式方程,得 5(2-x)=3(x+2),解得 x=. 经检验,x=是原方程的根. 7. m>-10 且 m≠-4　[解析]原方程化为整式方程,得 2x+m=5x-10,解得 x=(10+m),因为解为正 数,所以(10+m)>0,解得 m>-10. 同时要保证分母不为零,所以 m≠-4. 8. 去分母,得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1), 整理,得 2x2-3x-2=0, 解得 x1=-,x2=2. 检验:把 x1=-,x2=2 代入(x-1)(x+2)≠0, ∴　原方程的根是 x1=-,x2=2. 9. (1)设甲队单独完成此项任务需要 x 天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天. 根据题意,得 4+=1, 去分母,得 4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5). 解得 x=20. 经检验,x=20 是原方程的解, 则 x+5=25(天). 所以甲队单独完成此项任务需要 20 天,乙队单独完成此项任务需要 25 天. 10. 设原来报名参加的学生有 x 人, 依题意,得-=4. 解得 x=20. 经检验,x=20 是原方程的解且符合题意. 故原来报名参加的学生有 20 人. 11. 去分母,得 x-1=2(x-3),去括号,得 x-1=2x-6, 解得 x=5. 经检验,x=5 是原方程的根. 12. 去分母,得 3(x+1)-(x-1)=x(x+5), 整理,得 x2+3x-4=0, 解得 x1=1,x2=-4. 经检验,x1=1 是原方程的增根,x2=-4 是原方程的根, ∴　x=-4 是原方程的根. 13. 设原计划的行驶速度为 x 千米/小时. 根据题意,得-=. 解得 x=80. 经检验,x=80 是原方程的解. 故原计划的行驶速度为 80 千米/小时. 14. (1)设该药品的原价格是 x 元/盒,则下调后每盒价格是 x 元/盒. 根据题意,得=+2,解得 x=15. 经检验,x=15 是原方程的解. ∴　x=15,x=10. 故该药品的原价格是 15 元/盒,则下调后每盒价格是 10 元/盒. (2)设 5,6 月份药品价格的月平均增长率是 a. 根据题意,得 10(1+a)2=14.4, 解得 a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去). 故 5,6 月份药品价格的月平均增长率是 20%.