高中数学考点《椭圆、抛物线、双曲线》专项训练题

1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点； 2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题； 3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一． 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d 为 M 点到准线的距离). 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)； (2)双曲线： x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2－ x2 b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝ c a＝ 1－b2 a2. ②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为 e＝ c a＝ 1＋b2 a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± b ax；焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0). ②双曲线 y2 a2－ x2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± a bx，焦点坐标 F1(0，－c)，F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F(p 2，0 )，准线方程 x＝－ p 2. ②抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点 F(0， p 2 )，准线方程 y＝－ p 2. 4.弦长问题 专题四 第 2 讲　椭圆、抛物线、双曲线 解析几何 考向预测 知识与技巧的梳理(1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2. (2)过抛物线焦点的弦长 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝ p2 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋ p. 热点一　圆锥曲线的几何性质 【例 1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 ＝2py(p＞0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：{x2 a2－y2 b2＝1， x2＝2py， 消去 x 得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 由根与系数的关系得 y1＋y2＝ 2b2 a2 p， 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋ p 2＋y2＋ p 2＝4× p 2，即 y1＋y2＝p， ∴ 2b2 a2 p＝p，即 b2 a2＝ 1 2⇒ b a＝ 2 2 . ∴双曲线渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 答案　y＝± 2 2 x 探究提高　1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根 据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式.建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双 曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3.求双曲线渐近线方程关键在于求 b a或 a b的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 【训练 1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为 直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为(　　) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 (2)(2016·北京卷)双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该 双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝________. 解析　(1)以线段 A1A2 为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切， 热点题型所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝ 2ab a2＋b2＝a，整理为 a2＝3b2，即 b a＝ 1 3. ∴e＝ c a＝ a2－b2 a ＝ 1－(b a )2 ＝ 1－( 1 3 )2 ＝ 6 3 . (2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示. ∵四边形 OABC 为正方形且边长为 2，∴c＝|OB|＝2 2，又∠AOB＝π 4， ∴ b a＝tanπ 4＝1，即 a＝b.又 a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案　(1)A　(2)2 热点二　直线与圆锥曲线 【例 2】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求 |OH| |ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 解　(1)如图，由已知得 M(0，t)，P( t2 2p，t)， 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N(t2 p ，t)， 故直线 ON 的方程为 y＝ p tx， 将其代入 y2＝2px 整理得 px2－2t2x＝0， 解得 x1＝0，x2＝ 2t2 p ，因此 H(2t2 p ，2t). 所以 N 为 OH 的中点，即 |OH| |ON|＝2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝ p 2tx，即 x＝ 2t p (y－t). 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点.探究提高　1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一 元二次方程的判别式来确定； 2.弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2， 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率. 3.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交. 【训练 2】 (2017·北京卷)已知抛物线 C：y 2＝2px 过点 P(1，1)，过点(0， 1 2 )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的 两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点. 解　(1)把 P(1，1)代入 y2＝2px，得 p＝ 1 2，所以抛物线 C 的方程为 y2＝x， 焦点坐标为(1 4，0 )，准线方程为 x＝－ 1 4. (2)证明　当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN(也就 是直线 l)斜率存在且不为零. 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋ 1 2(k≠0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2). 由{y＝kx＋1 2， y2＝x， 消去 y 得 4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 考虑 Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k< 1 2. 则 x1＋x2＝ 1－k k2 ，x1x2＝ 1 4k2. 因为点 P 的坐标为(1，1)，所以直线 OP 的方程为 y＝x，点 A 的坐标为(x1，x1). 直线 ON 的方程为 y＝ y2 x2x，点 B 的坐标为(x1， y2x1 x2 ). 因为 y1＋ y2x1 x2 －2x1＝ y1x2＋y2x1－2x1x2 x2 ＝ (kx1＋1 2)x2＋(kx2＋1 2)x1－2x1x2 x2 ＝ （2k－2）x1x2＋1 2（x2＋x1） x2 ＝ （2k－2） × 1 4k2＋1－k 2k2 x2 ＝0. 所以 y1＋ y2x1 x2 ＝2x1.故 A 为线段 BM 的中点.1.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程 x2 m2＋n－ y2 3m2－n＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围 是(　　) A.(－1，3) B.(－1， 3) C.(0，3) D.(0， 3) 2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C： x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，且与椭圆 x2 12＋ y2 3 ＝1 有公 共焦点，则 C 的方程为(　　) A. x2 8 － y2 10＝1 B. x2 4 － y2 5 ＝1 C. x2 5 － y2 4 ＝1 D. x2 4 － y2 3 ＝1 3.(2017·全国Ⅱ卷)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________. 4.(2017·全国Ⅱ卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： x2 2 ＋y2＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满 足NP→ ＝ 2NM→ . (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP→ ·PQ→ ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 1.(2016·全国Ⅱ卷)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，曲线 y＝ k x(k>0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k＝(　　) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C：x2－ y2 3 ＝1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1，3)，则△APF 的面积为(　　) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 3.(2017·邯郸质检)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点. （45 分钟）限时训练 经典常规题 高频易错题若FP→ ＝4FQ→ ，则|QF|等于________. 4.(2017·佛山调研)已知椭圆 E： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，右焦点为 F(1，0). (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OM⊥ON，求直线 l 的方程. 1.(2017·新乡模拟)已知双曲线 C： x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BF 与 双曲线 C 的右支交于点 A，若BA→ ＝2AF→ ，且|BF→ |＝4，则双曲线 C 的方程为(　　) A. x2 6 － y2 5 ＝1 B. x2 8 － y2 12＝1 C. x2 8 － y2 4 ＝1 D. x2 4 － y2 6 ＝1 2.(2017·石家庄三模)已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1 与双曲线 C2 在第一象限 内的一个公共点，设椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率分别为 e1，e2，且 e1 e2＝ 1 3，若∠F1PF2＝ π 3 ，则双曲线 C2 的渐 近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x± 3 3 y＝0 C.x± 2 2 y＝0 D.x±2y＝0 3.(2017·潍坊三模)已知抛物线 y 2＝2px(p>0)上的一点 M(1，t)(t>0)到焦点的距离为 5，双曲线 x2 a2－ y2 9 ＝1(a>0)的 左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行.则实数 a 的值为________. 4.(2017·郴州三模) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b≥1)过点 P(2，1)，且离心率 e＝ 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 的斜率为 1 2，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求△PAB 面积的最大值. 精准预测题参考答案 1.【解题思路】方程 x2 m2＋n－ y2 3m2－n＝1 表示双曲线，根据一元二次不等式可知 m，n 之间的不等关系，进而分 别确定 m2＋n 和 3m2－n 的正负，当然也可以分类讨论处理. 【答案】∵方程 x2 m2＋n－ y2 3m2－n＝1 表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2