高中数学考点《数列》专项训练题

1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现； 2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 3.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下. 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝ n（a1＋an） 2 ＝na1＋ n（n－1） 2 d； (3)性质： ①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn-1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝ a1（1－qn） 1－q ＝ a1－anq 1－q ； (3)性质： ①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn-m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列. 3.数列求和 (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变 成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项 相消法适用于形如{ c anan＋1}(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 专题二 第 4 讲　数列 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 知识与技巧的梳理热点一　等差(比)数列的性质 【例 1】 (1)(2017·汉中模拟)已知等比数列{an}的前 n 项积为 Tn，若 log2a2＋log2a8＝2，则 T9 的值为(　　) A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024 (2)(2017·北京海淀区质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2an－2，若数列{bn}满足 bn＝10－log2an， 则使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为________. 解析　(1)由 log2a2＋log2a8＝2，得 log2(a2a8)＝2，所以 a2a8＝4，则 a5＝±2， 等比数列{an}的前 9 项积为 T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512. (2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1 时，a1＝2a1－2，解得 a1＝2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，∴an＝2an－1. ∴数列{an}是公比与首项都为 2 的等比数列，∴an＝2n. ∴bn＝10－log2an＝10－n.由 bn＝10－n≥0，解得 n≤10. ∴使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10. 答案　(1)A　(2)9 或 10 探究提高　1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手 选择恰当的性质进行求解. 2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解 题. 【训练 1】 (1)设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A.d>0 B.d0 D.a1d0， 由 a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上 1，1，3 成等比数列，得(2＋d)2＝2(4＋2d)， 因为 d>0，所以 d＝2，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又因为 an＝－1－2log2bn， 所以 log2bn＝－n 即 bn＝ 1 2n. (2)Tn＝ 1 21＋ 3 22＋ 5 23＋…＋2n－1 2n ，① 1 2Tn＝ 1 22＋ 3 23＋ 5 24＋…＋ 2n－1 2n＋1 ，② ①－②，得 1 2Tn＝ 1 2＋2×( 1 22＋ 1 23＋ 1 24＋…＋ 1 2n)－ 2n－1 2n＋1 ＝ 1 2＋2× 1 22(1－ 1 2n－1) 1－1 2 － 2n－1 2n＋1 ＝ 1 2＋1－ 1 2n－1－ 2n－1 2n＋1 ＝ 3 2－ 2n＋3 2n＋1 . 所以 Tn＝3－ 2n＋3 2n . 热点四　an 与 Sn 的关系问题 【例 4】 (2017·济南模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an＝5Sn＋1 成立，bn＝－1－ log2|an|，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，cn＝ bn＋1 TnTn＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{cn}的前 n 项和 An，并求出 An 的最值. 解　(1)因为 an＝5Sn＋1，n∈N*，所以 an＋1＝5Sn＋1＋1，两式相减，得 an＋1＝－ 1 4an， 又当 n＝1 时，a1＝5a1＋1，知 a1＝－ 1 4， 所以数列{an}是公比、首项均为－ 1 4的等比数列. 所以数列{an}的通项公式 an＝(－1 4 ) n . (2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝n2， cn＝ bn＋1 TnTn＋1＝ 2n＋1 n2（n＋1）2＝ 1 n2－ 1 （n＋1）2， 所以 An＝1－ 1 （n＋1）2.因此{An}是单调递增数列， ∴当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－ 1 4＝ 3 4；An 没有最大值. 探究提高　1.给出 Sn 与 an 的递推关系求 an，常用思路是：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 2.形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列. 【训练 4】 (2017·北京海淀区质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝3，Sn＝an＋1＋2n－3，n∈N*. (1)求证：{an－2}是等比数列； (2)设 bn＝ an－2 anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (1)证明　∵a1＝3，且 Sn＝an＋1＋2n－3，n∈N*，① 当 n≥2 时，Sn－1＝an＋2n－5，② ①－②得：an＝an＋1－an＋2，整理可得：an＋1－2＝2(an－2)， 又当 n＝1 时，S1＝a2＋2－3，所以 a2＝4，所以 a2－2＝2(a1－2)，又 a1－2＝1， 综上可知，数列{an－2}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. (2)解　由(1)知，an－2＝2n－1，则 an＝2n－1＋2， 所以 bn＝ an－2 anan＋1＝ 2n－1 （2n－1＋2）（2n＋2）＝ 1 2n－1＋2－ 1 2n＋2 所以 Tn＝ 1 1＋2－ 1 2＋2＋ 1 2＋2－ 1 4＋2＋…＋ 1 2n－2＋2－ 1 2n－1＋2＋ 1 2n－1＋2－ 1 2n＋2＝ 1 3－ 1 2n＋2.1.(2017·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层 灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯(　　) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 3.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则 ∑ n k＝1 1 Sk＝________. 4.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝ 31 32，求 λ. 5.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝[an]，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝(　　) A.100 B.99 C.98 D.97 2.(2017·模拟)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a3＝8a6，则 S4 S2的值为(　　) A. 1 2 B.2 C. 5 4 D.5 3.(2017·唐山模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝－4，S6＝6，则 S5＝(　　) A.1 B.0 C.－2 D.4 4.(2017·沈阳二模)已知数列{an}满足 an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A.9 B.15 C.18 D.30 5.(2017·成都诊断)已知等比数列{an}的各项均为正数，且 a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6. （45 分钟）限时训练 经典常规题 高频易错题(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 b1＝2，且 bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式； (3)设 cn＝ an bnbn＋1，求数列{cn}的前 n 项和为 Tn. 1.(2017·沈阳二模)等比数列{a n}中各项均为正数，Sn 是其前 n 项和，且满足 2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则 S4＝ ____________. 2.(2017·清远一中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项 am，an，使得 aman＝4a1，则 1 m＋ 4 n的最小值为________. 3.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式. 4.(2017·成都调研)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且 a1，a2＋1，a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{ 1 an }的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn－1|< 1 1 000成立的 n 的最小值. 5.(2017·衡水中学质检)若数列{an}是公差为 2 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝2，且 anbn＋bn＝nbn＋1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足 cn＝ an＋1 bn＋1 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，若不等式(－1)nλ