1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；
3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工
具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换
是三角恒等变换的核心．
1．常用三种函数的图象性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
递增
区间
递减
区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称
中心
(kπ，0)
对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ
周期性 2π 2π π
2．三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当 φ＝kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ
＋ (k∈Z)求得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋ (k∈Z)时为奇函数；当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ(k
∈Z)求得．
专题二
第 1 讲 三角函数
三角函数、解三角形、平面向量与数列
考向预测
知识与技巧的梳理
2 22 2k k
π π π − π + ， [ ]2 2k kπ − π π，
2 2k k
π π π − π + ，
2 22 2k k
π 3π π + π + ， [ ]2 2k kπ π + π，
02k
π π + ， 02
kπ
，
2
π
2
π
2
π
2
π
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
3．三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin x
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
4．三角函数公式
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1， ．
(2)诱导公式：对于“ ，k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变
偶不变，符号看象限．
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
；
；
．
(4)二倍角公式： ， ．
(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 ．
热点一 三角函数的图象
【例 1】(1)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填
入了部分数据，如下表：
( ) ( )0 0ϕ ϕ
ϕ
> 0)个单位长度，得到 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)图象的一个对称中
心为 ，求 θ 的最小值．
(2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( )
A． B．
C． D．
(1)解 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2， ．数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x 13
12π
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数表达式为 ．
(2)由(1)知 ，根据图象平移变换，得 ．
因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
令 2x＋2θ－ ＝kπ，k∈Z，
解得 ，k∈Z．
由于函数 y＝g(x)的图象关于点 成中心对称，令 ，k∈Z，解得 ，k∈Z．
由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值 ．
2
π
2
3π
π
3
5π
6
5 ,012
π
0, 0, 2A ω ϕ π > > 0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或
特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突
破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
【训练 1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，00)
上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值．
解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋ 3(2sin2ωx－1)＝sin 2ωx－ 3cos 2ωx＝2sin(2ωx－π
3)．
由最小正周期为 π，得 ω＝1，
所以 f(x)＝2sin(2x－π
3)，
由 2kπ－π
2≤2x－π
3≤2kπ＋π
2，k∈Z，
5 ,12 12B x k x k k
π π − + π + π ∈
≤ ≤ Ζ
整理得 kπ－ π
12≤x≤kx＋5π
12，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间是[kπ－ π
12，kπ＋5π
12]，k∈Z．
(2)将函数 f(x)的图象向左平移π
6个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y＝2sin 2x＋1 的图象；
所以 g(x)＝2sin 2x＋1．
令 g(x)＝0，得 x＝kπ＋7π
12或 x＝kπ＋11π
12 (k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若 y＝g(x)在[0，b]上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即
可．
所以 b 的最小值为 4π＋11π
12 ＝59π
12 ．
探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的
形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ 2π
|ω|．应特别注意 y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期
为 T＝ π
|ω|．
【训练 3】 (2017·山东卷)设函数 f(x)＝sin(ωx－π
6)＋sin(ωx－π
2)，其中 0＜ω＜3，已知 f (π
6 )＝0．
(1)求 ω；
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π
4个单位，
得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在[－π
4，3π
4 ]上的最小值．
解 (1)因为 f(x)＝sin(ωx－π
6)＋sin(ωx－π
2)，
所以 f(x)＝ 3
2 sin ωx－1
2cos ωx－cos ωx
＝ 3
2 sin ωx－3
2cos ωx＝ 3(1
2sin ωx－ 3
2 cos ωx)
＝ 3sin(ωx－π
3)．
由题设知 f (π
6 )＝0，
所以ωπ
6 －π
3＝kπ，k∈Z，故 ω＝6k＋2，k∈Z．
又 0＜ω＜3，所以 ω＝2．
(2)由(1)得 f(x)＝ 3sin(2x－π
3)，
所以 g(x)＝ 3sin(x＋π
4－π
3)＝ 3sin(x－ π
12)．
因为 x∈[－π
4，3π
4 ]，所以 x－ π
12∈[－π
3，2π
3 ]，
当 x－ π
12＝－π
3，即 x＝－π
4时，g(x)取得最小值－3
2．
热点四 三角恒等变换及应用
【例 4】 (1)(2015·重庆卷)若 tan α＝2tan π
5，则
cos(α－3π
10)
sin(α－π
5 )
＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析
cos(α－3π
10)
sin(α－π
5 )
＝
sin(π
2＋α－3π
10)
sin(α－π
5 )
＝
sin(α＋π
5 )
sin(α－π
5 )
＝
sin αcosπ
5＋cos αsinπ
5
sin αcosπ
5－cos αsinπ
5
＝
tan α
tanπ
5
＋1
tan α
tanπ
5
－1
＝2＋1
2－1＝3．
答案 C
探究提高 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值．
2．解决条件求值问题的三个关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出
角的大小．
【训练 4】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对
称．若 sin α＝1
3，则 cos(α－β)＝________．
(2)(2017·石家庄质检)若 cos(2α－β)＝－11
14，sin(α－2β)＝4 3
7 ，0
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