高中数学考点《空间中位置关系的判断与证明》专项训练题

1．以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小； 2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透． 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α． (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b． (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β． (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b． 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α． (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β． (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 热点一　空间点、线、面位置关系的判定 【例 1】　(2017·成都诊断)已知 m，n 是空间中两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 m⊂α，n⊂β．有 下列命题： ①若 α∥β，则 m∥n； ②若 α∥β，则 m∥β； ③若 α∩β＝l，且 m⊥l，n⊥l，则 α⊥β； ④若 α∩β＝l，且 m⊥l，m⊥n，则 α⊥β． 其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①若 α∥β，则 m∥n 或 m，n 异面，不正确； ②若 α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得 m∥β，正确； ③若 α∩β＝l，且 m⊥l，n⊥l，则 α 与 β 不一定垂直，不正确； ④若 α∩β＝l，且 m⊥l，m⊥n，l 与 n 不一定相交，不能推出 α⊥β，不正确． 答案　B 专题三 第 2 讲 空间中位置关系的判断与证明 立体几何 考向预测 知识与技巧的梳理 热点题型探究提高　判断与空间位置关系有关的命题真假的方法： (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定 或否定． (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出 判断． 【训练 1】 (2017·广东省际名校联考)已知 α，β 为平面，a，b，c 为直线，下列命题正确的是(　　) A．a⊂α，若 b∥a，则 b∥α B．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则 b⊥β C．a⊥b，b⊥c，则 a∥c D．a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β 解析　选项 A 中，b⊂α 或 b∥α，不正确． B 中 b 与 β 可能斜交，B 错误． C 中 a∥c，a 与 c 异面，或 a 与 c 相交，C 错误． 利用面面平行的判定定理，易知 D 正确． 答案　D 热点二　空间平行、垂直关系的证明 【例 2】　如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD． 证明　(1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA⊂平面 PAD， ∴PA⊥底面 ABCD． (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点， ∴AB∥DE，且 AB＝DE． ∴四边形 ABED 为平行四边形． ∴BE∥AD． 又∵BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD． (3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形． ∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA⊥底面 ABCD． ∴PA⊥CD，且 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD， ∴CD⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， ∴CD⊥PD． ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， ∴PD∥EF． ∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD， ∴平面 BEF⊥平面 PCD． 探究提高　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直． 【训练 2】 (2017·成都诊断)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且DG GH＝BR RH．将△AED，△CFD， △BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示． 图 1　　　　　　　图 2 (1)求证：GR⊥平面 PEF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 P－DEF 的内切球的半径． (1)证明　在正方形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C 为直角． ∴在三棱锥 P－DEF 中，PE，PF，PD 两两垂直． 又 PE∩PF＝P，∴PD⊥平面 PEF． ∵DG GH＝BR RH，即DG GH＝PR RH， ∴在△PDH 中，RG∥PD． ∴GR⊥平面 PEF． (2)解　正方形 ABCD 边长为 4． 由题意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2 2，DF＝2 5． ∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4． S△DEF＝1 2×2 2× （2 5）2－（ 2）2＝6． 设三棱锥 P－DEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积为 VP－DEF＝1 3×PD·S△PEF＝1 3(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得 r＝1 2． ∴三棱锥 P－DEF 的内切球的半径为1 2．1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则 在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(　　) 2．(2016·全国Ⅱ卷)α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β． ②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n． ③如果 α∥β，m⊂α，那么 m∥β． ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等． 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)． 3．(2016·全国Ⅰ卷)平面 α 过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为(　　) A． 3 2 B． 2 2 C． 3 3 D．1 3 4．(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P－ABCD 的体积为8 3，求该四棱锥的侧面积． （45 分钟）限时训练 经典常规题1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l．若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 2．(2017·全国Ⅲ卷)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 3．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥 A－BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD． 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC． 4．(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4， M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积． 1．(2017·梅州质检)已知 α，β 是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　) A．若 m∥α，α∩β＝n，则 m∥n B．若 m⊥α，n⊥m，则 n∥α C．若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n D．若 α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m⊥β 2．如图，在三棱锥 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列正确的是(　　) 高频易错题 精准预测题A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE 3．(2017·石家庄质检)设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n； ②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ； ③若 α∩β＝n，m∥n，m∥α，则 m∥β； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β 其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，在空间四边形 ABCD 中，点 M∈AB，点 N∈AD，若AM MB＝AN ND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系 是______． 5．(2017·石家庄模拟)在如图所示的几何体中，四边形 CDEF 为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD， AC＝ 3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB． (1)求证：AC⊥平面 FBC． (2)求四面体 FBCD 的体积． (3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA∥平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理 由．参考答案 1．【解题思路】 在平面 MNQ 中找是否有直线与直线 AB 平行． 【答案】　法一　对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ ∥CD，所以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ．同理可证选项 C，D 中均 有 AB∥平面 MNQ．因此 A 项不正确．故选 A． 　　 图(1)　　　　　　 　图(2) 法二　对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQ∥AB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交 点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行．A 项不正确．故选 A． 2．【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）． 【答案】　当 m⊥n，m⊥α，n∥β 时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正 确答案为②③④．故填②③④． 3．【解题思路】 利用平行关系转化 m，n 所成角． 【答案】　如图所示，设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1，因为 α∥平面 CB1D1，所以 m1∥m， 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1， 且平面 B1D1C∩平面 A1B1C1D1＝B1D1， 所以 B1D1∥m1，故 B1D1∥m． 因为平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1， 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1， 同理可证 CD1∥n． 故 m，n 所成角即直线 B1D1 与 CD1 所成角， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，△CB1D1 是正三角形，故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60°，其正弦值为 3 2 ． 故选 A． 4．【解题思路】 (1) AB⊥平面 PAD；(2)利用(1)中面面垂直作出高． 【答案】 (1)证明　∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD． ∵AB∥CD，∴AB⊥PD． 经典常规题又∵PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面 PAD，∴AB⊥平面 PAD． ∵AB⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD． (2)解　取 AD 的中点 E，连接 PE． ∵PA＝PD，∴PE⊥AD． 由(1)知，AB⊥平面 PAD， 故 AB⊥PE，AB⊥AD，可得 PE⊥平面 ABCD． 设 AB＝x，则由已知可得 AD＝ 2x，PE＝ 2 2 x， 故四棱锥 P－ABCD 的体积 VP－ABCD＝1 3AB·AD·PE＝ 1 3x3． 由题设得 1 3x3＝8 3，故 x＝2． 从而 PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2， 可得四棱锥 P－ABCD 的侧面积为 1 2PA·PD＋1 2PA·AB＋1 2PD·DC＋1 2BC2sin 60°＝6＋2 3． 1．【解题思路】 构建模型再进一步证明． 【答案】　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C 正确．故选 C． 2．【解题思路】 画出其图形，一一验证选项． 【答案】　如图，由题设知，A1B1⊥平面 BCC1B1，从而 A1B1⊥BC1． 又 B1C⊥BC1，且 A1B1∩B1C＝B1，所以 BC1⊥平面 A1B1CD，又 A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1E⊥BC1．故选 C． 3．【解题思路】 (1)由线线平行得到线面平行；(2)垂直关系互相转化． 【答案】 证明　(1)在平面 ABD 内，AB⊥AD，EF⊥AD，则 AB∥EF． ∵AB⊂平面 ABC，EF⊄平面 ABC， ∴EF∥平面 ABC． (2)∵BC⊥BD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，平面 ABD⊥平面 BCD，BC⊂平面 BCD， ∴BC⊥平面 ABD． ∵AD⊂平面 ABD，∴BC⊥AD． 又 AB⊥AD，BC，AB⊂平面 ABC，BC∩AB＝B， 高频易错题∴AD⊥平面 ABC， 又因为 AC⊂平面 ABC，∴AD⊥AC． 4．【解题思路】 (1)取 BP 中点，利用中位线；(2) N 点到底面的距离是 P 点到底面的距离的一半． 【答案】 (1)证明　由已知得 AM＝2 3AD＝2． 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TN∥BC，TN＝1 2BC＝2． 又 AD∥BC，故 TN AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT． 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB． (2)解　因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA． 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE． 由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5． 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝1 2×4× 5＝2 5． 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM＝1 3×S△BCM×PA 2 ＝4 5 3 ． 1．【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）． 【答案】　对于 A，m∥α，α∩β＝n，则 m∥n 或 m，n 异面，故 A 错误；对于 B，若 m⊥α，n⊥m，则 n∥α 或 n⊂α，故 B 错误；对于 C，若 n⊥β，α⊥β，则 n∥α 或 n⊂α，又 m⊥α，∴m⊥n，故 C 正确；对于 D，若 α ⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m 可能与 β 相交，也可能与 β 平行，也可能在 β 内，故 D 错误．故选 C． 2．【解题思路】 等腰三角形三线合一可得线线垂直关系． 【答案】　因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，又 BE∩DE＝E，于是 AC⊥平 面 BDE．因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE．又 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE，所 以选 C． 3．【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）． 【答案】　①m∥n 或 m，n 异面，故①错误；易知②正确；③m∥β 或 m⊂β，故③错误；④α∥β 或 α 与 β 相 交，故④错误．故选 B． =∥ 精准预测题4．【解题思路】 相似比可得平行关系． 【答案】　由AM MB＝AN ND，得 MN∥BD．而 BD⊂平面 BDC，MN⊄平面 BDC， 所以 MN∥平面 BDC．故填平行． 5．【解题思路】 (1)底面长度确定，可用勾股定理证垂直；(2) FC 即为棱锥的高；(3) 先利用中点找出 M，再 证明． 【答案】 (1)证明　在△ABC 中，因为 AC＝ 3，AB＝2，BC＝1，所以 AC2＋BC2＝AB2， 所以 AC⊥BC． 又因为 AC⊥FB，BC∩FB＝B，BC，FB⊂平面 FBC， 所以 AC⊥平面 FBC． (2)解　因为 AC⊥平面 FBC，FC⊂平面 FBC， 所以 AC⊥FC． 因为 CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以 FC⊥平面 ABCD． 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB＝DC＝1，所以 FC＝1． 所以△BCD 的面积为 S＝ 3 4 ． 所以四面体 FBCD 的体积为 VF－BCD＝1 3S·FC＝ 3 12． (3)解　线段 AC 上存在点 M，且点 M 为 AC 中点时，有 EA∥平面 FDM．证明如下： 连接 CE，与 DF 交于点 N，取 AC 的中点 M，连接 MN． 因为四边形 CDEF 是正方形，所以点 N 为 CE 的中点． 所以 EA∥MN．因为 MN⊂平面 FDM，EA⊄平面 FDM， 所以 EA∥平面 FDM． 所以线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点，使得 EA∥平面 FDM 成立．