高中数学考点《概率、随机变量及其分布列》专项训练题

1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度； 2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望 的考查是重点中的“热点”． 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A)＝ m n＝ 事件A中所含的基本事件数 试验的基本事件总数 . (2)几何概型的概率公式. P(A)＝ 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. (3)条件概率. 在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A)＝ P（AB） P（A） . (4)相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)·P(B). (5)若事件 A，B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， P( )＝1－P(A). 2.独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk(1 －p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项分布，即 X～ B(n，p)且 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k. 3.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N *，此时称随机变量 X 服从超几何分布.超几何分布 的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量 ξ 的分布列为： 专题五 第 2 讲　概率、随机变量及其分布列 概率与统计 考向预测 知识与技巧的梳理 A C C C k n k M N M n N − −ξ x1 x2 x3 … xi … n P p1 p2 p3 … pi … pn 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n). (2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 ξ 的数学期望或均值. D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn 叫做随机变量 ξ 的方差. (3)数学期望、方差的性质. ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ). ②X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ③X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 热点一　随机变量的分布列、均值与方差 【例 1】 (2017·郴州二模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布 直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率； (2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望与方差. 解　(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于 8 吨的频率为 2×(0.125＋0.075)＝0.4，记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 Ai(i＝1，2，3)，则 P(Ai)＝0.4，未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨， 另一天日销售量低于 8 吨包含两个互斥事件 A1A2 3 和 1A2A3，则未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨， 另一天日销售量低于 8 吨的概率： P(A1A2 3∪ 1A2A3)＝P(A1A2 3)＋P( 1A2A3)＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192. (2)由(1)知，第 i 天日销售量不低于 8 吨的概率 P(Ai)＝0.4. 依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3，且 X～B(3，0.4)， P(X＝0)＝(1－0.4)3＝0.216， P(X＝1)＝C130.4×(1－0.4)2＝0.432， P(X＝2)＝C230.42×(1－0.4)＝0.288， P(X＝3)＝0.43＝0.064， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(X)＝3×0.4＝1.2，D(X)＝3×0.4×(1－0.4)＝0.72. 探究提高　1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列. 热点题型 A A A A A A2.对于实际问题中的随机变量 X，如果能够断定它服从二项分布 B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用 公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得. 【训练 1】 (2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电 话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择 购票的方式是相互独立的. (1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率； (2)记这三名旅客购票方式的种数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望. 解　(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件 A，“三名旅客都选择网上购票”为事件 B，且 A，B 互斥. 则 P(A)＝C23×(1 3 )2 × 2 3＝ 2 9，P(B)＝(1 3 ) 3 ＝ 1 27. 因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 P＝P(A)＋P(B)＝ 7 27. (2)由题意，ξ的所有可能取值为 1，2，3， 则 P(ξ＝1)＝C13×(1 3 )3 ＝ 1 9； P(ξ＝2)＝C23× ×(1 3 )3 ＝ 2 3； P(ξ＝3)＝ ×(1 3 )3 ＝ 2 9. 所以随机变量 ξ 的分布列为： ξ 1 2 3 P 1 9 2 3 2 9 故 ξ 的期望 E(ξ)＝1× 1 9＋2× 2 3＋3× 2 9＝ 19 9 . 热点二　概率与统计的综合问题 【例 2】　(2017·衡阳联考)当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成 绩有影响，随机抽取高三年级 50 名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图(记 60 分为及格)： (1)根据茎叶图中数据完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影 响？ 及格 不及格 总计 很少使用手机 经常使用手机 2 3A 3 3A总计 (2)从 50 人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、 乙独立解决此题的概率分别为 p1，p2，且 p2＝0.4，若 p1－p2≥0.3，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师 徒”，记 X 为两人中解决此题的人数，若 E(X)＝1.12，问两人是否适合结为“师徒”？ （参考公式及数据：K2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中 n＝a＋b＋c＋d） P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 解　(1)由茎叶图数据，得 2×2 列联表： 及格 不及格 总计 很少使用手机 20 7 27 经常使用手机 10 13 23 总计 30 20 50 由列联表可得：K2＝ 50（20 × 13－10 × 7）2 30 × 20 × 27 × 23 ≈4.844>3.841， 所以有 95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响. (2)依题意，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2. 则 P(X＝0)＝(1－p1)(1－p2)，P(X＝1)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)，P(X＝2)＝p1p2， ∴随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P (1－p1)(1－p2) (1－p1)p2＋p1(1－p2) p1p2 ∴E(X)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)＋2p1p2＝p1＋p2＝1.12，所以 p1＝1.12－p2＝0.72， 因此 p1－p2＝0.72－0.4＝0.32≥0.3，两人适合结为“师徒”. 探究提高　本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互 独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成. 【训练 2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的 尺寸服从正态分布 N(μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求 P(X≥1) 及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：经计算得 x－ ＝ 1 16 ∑ 16 i＝1xi＝9.97，s＝ ＝ ≈0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件 的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数 x－ 作为 μ 的估计值μ^ ，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值σ^ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过 程进行检查？剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外的数据，用剩下的数据估计 μ(精确到 0.01). 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－3σ