高中数学考点《不等式》专项训练题

1．利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以 选择题、填空题为主； 2．在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较 大． 1．不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法． 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(或0)，如果 a 与 ax2＋bx＋c 同号，则其解集在两根之外； 如果 a 与 ax2＋bx＋c 异号，则其解集在两根之间． (2)简单分式不等式的解法． ① f（x） g（x）>0(0(0，b>0)． (4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)． 3．利用基本不等式求最值 (1)如果 x>0，y>0，xy＝p(定值)，当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)． (2)如果 x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当 x＝y 时，xy 有最大值 (简记为：和定，积有最大值)． 4．简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可 行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． 专题一 第 2 讲　不等式 函数、导数与不等式 考向预测 知识与技巧的梳理 2 2 a bab +    ≤ 21 4 s热点一　不等式的性质及解法 【例 1】 (1)已知函数 f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则 f(2－x)>0 的解集为(　　) A．{x|x>2 或 x0)，再结合相应二次方程的根及二次函数 图象确定一元二次不等式的解集． 2．(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化． (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 【训练 1】 (1)若不等式 x2－ax＋1≥0 对于一切 a∈[－2，2]恒成立，则 x 的取值范围是________． (2)已知不等式 2 x－1≥ 1 5|a2－a|对于 x∈[2，6]恒成立，则 a 的取值范围是________． 解析　(1)因为 a∈[－2，2]，可把原式看作关于 a 的一次函数，即 g(a)＝－xa＋x2＋1≥0， 由题意可知{g（－2）＝x2＋2x＋1 ≥ 0， g（2）＝x2－2x＋1 ≥ 0， 解之得 x∈R． (2)设 y＝ 2 x－1， ， 故 y＝ 2 x－1在 x∈[2，6]上单调递减，则 ymin＝ 2 6－1＝ 2 5， 热点题型 ( )2 2 0 1 y x ′ = − < −故不等式 2 x－1≥ 1 5|a2－a|对于 x∈[2，6]恒成立等价于1 5|a2－a|≤ 2 5恒成立，化简得{a2－a－2 ≤ 0， a2－a＋2 ≥ 0， 解得－1≤a≤2，故 a 的取值范围是[－1，2]． 答案　(1)R　(2)[－1，2] 热点二　基本不等式 【例 2】 (1)(2017·山东卷)若直线 x a＋ y b＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则 2a＋b 的最小值为________． (2)(2016·江苏卷改编)已知函数 f(x)＝2 x＋(1 2 ) x ，若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，则实 数 m 的最大值为________． 解析　(1)∵直线 x a＋ y b＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，∴ 1 a＋ 2 b＝1(a>0，且 b>0)， 则 2a＋b＝(2a＋b)(1 a＋2 b )＝4＋ b a＋ 4a b ≥4＋2 b a·4a b ＝8．当且仅当 b a＝ 4a b ，即 a＝2，b＝4 时上式等号成立． 因此 2a＋b 的最小值为 8． (2)由条件知 ． ∵f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0， ∴ 对于 x∈R 恒成立． 又 ＝f(x)＋ 4 f（x）≥2 f（x）· 4 f（x）＝4，且 ， ∴m≤4，故实数 m 的最大值为 4． 答案　(1)8　(2)4 探究提高　1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形 凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得． 2．特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解． (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错． 【训练 2】 (1)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且 a∥b，若 x，y 均为正数，则 3 x＋ 2 y的最小值是(　　) A． 5 3 B． 8 3 C．8 D．24 (2)若实数 a，b 满足 1 a＋ 2 b＝ ab，则 ab 的最小值为(　　) A． 2 B．2 C．2 2 D．4 解析　(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即 2x＋3y＝3．∵x＞0，y＞0， ∴ 3 x＋ 2 y＝(3 x＋2 y )· 1 3(2x＋3y)＝ 1 3(6＋6＋9y x ＋4x y )≥ 1 3(12＋2×6)＝8．当且仅当 3y＝2x 时取等号． ( ) ( ) ( )( )2 22 22 2 2 2 2 2 2x x x xf x f x− −= + = + − = − ( )( ) ( ) 2 4f xm f x + ≤ ( )( ) ( ) 2 4f x f x + ( )( ) ( ) 20 4 40 f f + =(2)依题意知 a>0，b>0，则 1 a＋ 2 b≥2 2 ab＝ 2 2 ab，当且仅当 1 a＝ 2 b，即 b＝2a 时，“＝”成立． ∵ 1 a＋ 2 b＝ ab，∴ ab≥ 2 2 ab ，即 ab≥2 2， ∴ab 的最小值为 2 2． 答案　(1)C　(2)C 热点三　简单的线性规划问题 【例 3】 (1)(2017·天津卷)设变量 x，y 满足约束条件{2x＋y ≥ 0， x＋2y－2 ≥ 0， x ≤ 0， y ≤ 3， 则目标函数 z＝x＋y 的最大值为(　　) A． 2 3 B．1 C． 3 2 D．3 (2) (2017·池州模拟)已知 x，y 满足约束条件 {x－y－2 ≤ 0， ax＋y ≥ 4， x－2y＋3 ≥ 0， 目标函数 z＝2x－3y 的最大值是 2，则实数 a＝ (　　) A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．4 解析　(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 由 z＝x＋y 得 y＝－x＋z，作出直线 y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在 B(0，3)处取得，故 zmax ＝0＋3＝3，选项 D 符合． (2)解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， ∵目标函数 z＝2x－3y 的最大值是 2， 由图象知 z＝2x－3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2． 由{x－y－2＝0， 2x－3y＝2， 解得 A(4，2)， 同时 A(4，2)也在直线 ax＋y－4＝0 上， ∴4a＝2，则 a＝ 1 2．答案　(1)D　(2)A 探究提高　1．线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作 出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一 般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 2．对于线性规划中的参数问题，需注意： (1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化． (2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及 最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可． 【训练 3】 (1)(2017·山东卷)已知 x，y 满足约束条件{x－y＋3 ≤ 0， 3x＋y＋5 ≤ 0， x＋3 ≥ 0， 则 z＝x＋2y 的最大值是(　　) A．0 B．2 C．5 D．6 (2)(2017·新乡模拟)若实数 x，y 满足{2x－y＋2 ≥ 0， 2x＋y－6 ≤ 0， 0 ≤ y ≤ 3， 且 z＝mx－y(m 0， x＋m < 0， y－m > 0 画出可行域(图略)，要使可行域存在，必有 m －1 2m－1， m < －1 2m－1， 解之得 m