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２０２０ 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数　 学(文科) 　 　 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本试卷共 ６ 页.满分 １５０ 分.考试 时间 １２０ 分钟.注意事项: １.答题前ꎬ考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. ２.考生作答时ꎬ将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答ꎬ 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ３.选择题答案使用 ２Ｂ 铅笔填涂ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎻ非选 择题答案使用 ０ư ５ 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写ꎬ字体工整、笔迹清楚. ４.保持答题卡卡面清洁ꎬ不折叠、不破损.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回. 第 Ⅰ 卷 一、 选择题: 本大题共 １２ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ６０ 分 ư 在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有 一项是符合题目要求的 ư １ư 已知集合 Ａ ＝ ｘ ｙ ＝ ｘ ＋ １ { } ꎬ Ｂ ＝ ｘ ｘ２ ＋ ｘ － ２ < ０ { } ꎬ 则 Ａ ∩ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａư ｘ － １ < ｘ < １ { } Ｂư ｘ － １ ≤ ｘ < １ { } Ｃư ｘ － １ < ｘ < ２ { } Ｄư ｘ － １ ≤ ｘ < ２ { } ２ư 若 ｉŰｚ ＝ １ － ２ｉꎬ 则 ｚ ＝ Ａư ３ Ｂư ５ Ｃư ３ Ｄư ５ ３ư 设等差数列 ａｎ{ } 前 ｎ 项和为 Ｓｎ ꎬ 若 ａ ２ ＝ ４ꎬ Ｓ ５ ＝ １０ꎬ 则 ａ ５ ＝ Ａư － ２ Ｂư ０ Ｃư ６ Ｄư １０ ４ư 函数 ｆ ｘ( ) ＝ ２ｘ ｘ２ ＋ １ 的图象大致为 Ａư Ｂư Ｃư Ｄư 文科数学试卷 　 第 １ 页 (共 ６ 页)５ư 已知 ２ ａ ＝ １ ３ ꎬ ｂ ＝ ５ － １ ２ ꎬ ｃ ＝ ｌｏｇ３４ꎬ 则 Ａư ａ > ｂ > ｃ Ｂư ａ > ｃ > ｂ Ｃư ｃ > ａ > ｂ Ｄư ｃ > ｂ > ａ !" #$ %&S S=S+2 S i=1, =1 i＞3? i= 1i+ i ( ) ６ư 执行右边的程序框图ꎬ 则输出 Ｓ 的值为 Ａư ７ Ｂư ８ Ｃư １５ Ｄư ３１ ７ư 已知抛物线 Ｃ: ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点为 Ｆꎬ Ａ 为 Ｃ 上一点ꎬ 且 ＡＦ ＝ ５ꎬ Ｏ 为坐 标原点ꎬ 则 △ＯＡＦ 的面积为 Ａư ２ Ｂư ５ Ｃư ２ ３ Ｄư ４ ８ư 在长方体 ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中ꎬ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １ꎬ 异面直线 ＡＤ １ 与 ＢＤ 所成 角的余弦值为 １０ １０ ꎬ 则 ＡＡ １ ＝ Ａư １ Ｂư ２ Ｃư １９ Ｄư ２２ ９ư 有 ２ 个人在一座 ６ 层大楼的底层进入电梯ꎬ 假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯 是等可能的ꎬ 则 ２ 个人在不同层离开的概率为 Ａư １ ６ Ｂư １ ５ Ｃư ４ ５ Ｄư ５ ６ １０ư 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ φ( ) ω > ０ꎬ ０ < φ < π ( ) 的图象关于直线 ｘ ＝ ５π ６ 对称ꎬ 且 ｆ ７π １２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ０. 当 ω 取最小值时ꎬ φ ＝ Ａư π ６ Ｂư π ３ Ｃư ２π ３ Ｄư ５π ６ １１ư 已知双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １ ａ > ｂ > ０ ( ) 的右焦点为 Ｆꎬ Ｏ 为坐标原点 ư 以 Ｆ 为圆心ꎬ ＯＦ 为半径作圆 Ｆꎬ 圆 Ｆ 与 Ｃ 的渐近线交于异于 Ｏ 的 Ａꎬ Ｂ 两点. 若 ＡＢ ＝ ３ ＯＦ ꎬ 则 Ｃ 的 离心率为 Ａư ２ １０ ５ Ｂư １ ＋ ７ ３ Ｃư ２ ３ ３ Ｄư ２ １２ư 设函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｘ３ － ３ｘ ꎬ ｘ ≥ ａꎬ ａ２ ｘ － ６ꎬ ｘ < ａ{ 是定义域为 Ｒ 的增函数ꎬ 则实数 ａ 的取值范围是 Ａư １ꎬ ＋ ¥[ ) Ｂư ３ ꎬ ＋ ¥[ ) Ｃư １ꎬ ２ [ ] Ｄư ３ ꎬ ２ [ ] 文科数学试卷 　 第 ２ 页 (共 ６ 页)第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 １３ ~ ２１ 题为必考题ꎬ 每个试题考生都必须作答. 第 ２２、 ２３ 题为选考题ꎬ 考生根据要求作答. 二、 填空题: 本大题共 ４ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 共 ２０ 分. １３ư 已知向量 ａ ＝ (２ꎬ ｘ)ꎬ ｂ ＝ (３ꎬ ２)ꎬ 且(ａ － ｂ) ∥ ｂꎬ 则 ｘ ＝ . １４ư 设 ｘꎬ ｙ 满足约束条件 ｘ － ｙ ＋ １ ≥ ０ꎬ ｘ ＋ ｙ － ２ ≥ ０ꎬ ｘ ≤ ３ꎬ ì î í ï ï ïï 则 ｚ ＝ ２ｘ ＋ ｙ 的最大值为 . １５ư 若数列 ａｎ{ } 满足 ａ １ ＝ ２ꎬ ａｎ＋１ ＝ ａｎ ＋ １ １ － ａｎ ꎬ 则 ａ ２０２０ ＝ . １６ư 有一根高为 ３０ｃｍꎬ 底面半径为 ５ｃｍ 的圆柱体原木(图 １)ư 某工艺厂欲将该原木加工成一工 艺品ꎬ 该工艺品由两部分组成ꎬ 其上部分为一个球体ꎬ 下部分为一个正四棱柱(图 ２)ư 问 该工艺品体积的最大值是 　 　 　 　 ｃｍ ３ ư !1 !2 文科数学试卷 　 第 ３ 页 (共 ６ 页)三、 解答题: 共 ７０ 分 ư 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第 １７ ~ ２１ 题为必考 题ꎬ 每个试题考生都必须作答. 第 ２２、 ２３ 题为选考题ꎬ 考生根据要求作答. (一) 必考题: 共 ６０ 分 ư １７ư (１２ 分) 足不出户ꎬ 手机下单ꎬ 送菜到家ꎬ 轻松逛起手机“菜市场”ꎬ 拎起手机“菜篮子”ư 在 省时省心的同时ꎬ 线上买菜也面临着质量不佳、 物流滞后等问题 ư “指尖” 上的菜篮子该 如何守护“舌尖” 上的幸福感? 某手机 ＡＰＰ(应用程序) 公司为了解这款 ＡＰＰ 使用者的满 意度ꎬ 对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查” 活动ꎬ 邀请每位使用者填写一份满 意度测评表(满分 １００ 分). 该公司最后共收回 １１００ 份测评表ꎬ 随机抽取了 １００ 份作为 样本ꎬ 得到如下数据: 评分 ４０ꎬ ５０ [ ) ５０ꎬ ６０ [ ) ６０ꎬ ７０ [ ) ７０ꎬ ８０ [ ) ８０ꎬ ９０ [ ) ９０ꎬ １００ [ ] 合计 男性 １ ４ ７ １３ １２ ８ ４５ 女性 ０ ５ ９ １１ １６ １４ ５５ (１) 从表中数据估计ꎬ 收回的测评表中ꎬ 评分不小于 ８０ 分的女性人数ꎻ (２) 该公司根据经验ꎬ 对此 ＡＰＰ 使用者划分“用户类型”: 评分不小于 ８０ 分的为“Ａ 类用 户”ꎬ 评分小于 ８０ 分的为“Ｂ 类用户”. (ⅰ) 请根据 １００ 个样本数据ꎬ 完成下面列联表: 　 　 　 用户类型 性别 　 　 　 Ａ 类用户 Ｂ 类用户 合计 男性 ４５ 女性 ５５ 合计 １００ (ⅱ) 根据列联表判断能否有 ９５％ 的把握认为“用户类型” 与性别有关? 附: Ｋ２ ＝ ｎ (ａｄ － ｂｃ) ２ (ａ ＋ ｂ)(ｃ ＋ ｄ)(ａ ＋ ｃ)(ｂ ＋ ｄ) Ｐ(Ｋ２ ≥ ｋ) ０ư ０５０ ０ư ０１０ ０ư ００１ ｋ ３ư ８４１ ６ư ６３５ １０ư ８２８ 文科数学试卷 　 第 ４ 页 (共 ６ 页)１８ư (１２ 分) △ＡＢＣ 的内角 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ 已知 ａｃｏｓＣ ＋ ｃｃｏｓＡ ＋ ２ｂｃｏｓＢ ＝ ０. (１) 求 Ｂꎻ (２) 设 Ｄ 为 ＡＣ 上的点ꎬ ＢＤ 平分 ∠ＡＢＣꎬ 且 ＡＢ ＝ ３ＢＤ ＝ ３ꎬ 求 ｓｉｎＣ. １９ư (１２ 分) B C DA P M 如图ꎬ 四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 的底面是菱形ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ２ꎬ ＰＡ ＝ ２ ３ ꎬ ＰＢ ＝ ＰＤư (１) 证明: 平面 ＰＡＣ ⊥ 平面 ＡＢＣＤꎻ (２) 若 ＰＡ ⊥ ＡＣꎬ Ｍ 为 ＰＣ 的中点ꎬ 求三棱锥 Ｂ － ＣＤＭ 的体积 . ２０ư (１２ 分) 已知 Ｆ １ ꎬ Ｆ ２ 为椭圆 Ｅ: ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) 的左、 右焦点ꎬ 且 Ｆ １ Ｆ ２ ＝ ２ ３ ꎬ 点 Ｐ ２ ６ ３ ꎬ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ 在 Ｅ 上 ư (１) 求 Ｅ 的方程ꎻ (２) 直线 ｌ 与以 Ｅ 的短轴为直径的圆相切ꎬ ｌ 与 Ｅ 交于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ Ｏ 为坐标原点ꎬ 试判断 Ｏ 与以 ＡＢ 为直径的圆的位置关系ꎬ 并说明理由 ư ２１ư (１２ 分) 已知函数 ｆ ｘ( ) ＝ １ － ｓｉｎｘ( ) ｅ ｘ ư (１) 求 ｆ ｘ( ) 在区间 ０ꎬ π ( ) 的极值ꎻ (２) 证明: 函数 ｇ ｘ( ) ＝ ｆ ｘ( ) － ｓｉｎｘ － １ 在区间 － πꎬ π ( ) 有且只有 ３ 个零点ꎬ 且之和为 ０ư 文科数学试卷 　 第 ５ 页 (共 ６ 页)(二) 选考题: 共１０分ư 请考生在第２２、 ２３题中任选一题作答. 注意: 只能做所选定的题目. 如 果多做ꎬ 则按所做第一个题目计分ꎬ 作答时请用 ２Ｂ 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑. ２２ư [选修 ４ － ４: 坐标系与参数方程](１０ 分) 在直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ 已知直线 ｌ 过点 Ｐ(２ꎬ ２). 以坐标原点为极点ꎬ ｘ 轴正半轴为极轴 建立极坐标系ꎬ 曲线 Ｃ 的极坐标方程为 ρ － ρ ｃｏｓ ２ θ － ４ｃｏｓθ ＝ ０ư (１) 求 Ｃ 的直角坐标方程ꎻ (２) 若 ｌ 与 Ｃ 交于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ 求 ＰＡ － ＰＢ ＰＡ Ű ＰＢ 的最大值 ư ２３ư [选修 ４ － ５: 不等式选讲](１０ 分) 已知 ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ － １ ＋ ｘ ＋ ２ . (１) 求不等式 ｆ(ｘ) ≤ ５ 的解集ꎻ (２) 若 ｘ ∈ [ － １ꎬ ＋ ¥ ) 时ꎬ ｆ(ｘ) ≥ ｋｘ ＋ ｋꎬ 求 ｋ 的取值范围 ư 文科数学试卷 　 第 ６ 页 (共 ６ 页)