理科数学试卷.pdf

２０２０ 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数　 学 (理科) 　 　 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分. 本试卷共 ５ 页. 满分 １５０分. 考试时间 １２０ 分钟.注意事项: １. 答题前ꎬ 考生先将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. ２. 考生作答时ꎬ 将答案答在答题卡上. 请按照题号在各题的答题区域 (黑色线框) 内 作答ꎬ 超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、 试题卷上答题无效. ３. 选择题答案使用 ２Ｂ 铅笔填涂ꎬ 如需改动ꎬ 用橡皮擦干净后ꎬ 再选涂其他答案标号ꎻ非选择题答案使用 ０ư ５ 毫米的黑色中性 (签字) 笔或碳素笔书写ꎬ 字体工整、 笔迹清楚. ４. 保持答题卡卡面清洁ꎬ 不折叠、 不破损. 考试结束后ꎬ 将本试卷和答题卡一并交回. 第 Ⅰ 卷 一、 选择题: 本大题共 １２ 小题ꎬ 每小题 ５ 分ꎬ 在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有一项是符 合题目要求的 . １ư 已知集合 Ａ ＝ ｘ ｙ ＝ ｌｇ(ｘ ＋ １) { } ꎬ Ｂ ＝ ｘ ｘ２ ＋ ｘ － ２ < ０ { } ꎬ 则 Ａ ∩ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａư ｘ － １ < ｘ < １ { } Ｂư ｘ － １ < ｘ < ２ { } Ｃư ｘ － ２ < ｘ < － １ { } Ｄư ｘ － ２ < ｘ < １ { } ２ư 若 ｉŰｚ ＝ １ － ２ｉꎬ 则 ｚ ＝ Ａư ５ Ｂư ３ Ｃư ５ Ｄư ３ ３ư 若 θ ∈ ０ꎬ π ２ æ è ç ö ø ÷ ꎬ ｃｏｓ θ ＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ ＝ ４ ５ ꎬ 则 ｓｉｎ ２θ ＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ ＝ Ａư ２４ ２５ Ｂư ７ ２５ Ｃư － ７ ２５ Ｄư － ２４ ２５ ４ư 函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｘ － ｘ２ ｓｉｎｘ ｘ２ ＋ １ 在 － π ２ ꎬ π ２ é ë êê ù û úú 的图象大致为 Ａư Ｂư Ｃư Ｄư 理科数学试卷 　 第 １ 页 (共 ５ 页)５ư 甲、 乙、 丙、 丁四名志愿者去 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 三个社区参与服务工作ꎬ 要求每个社区至少安排 一人ꎬ 则不同的安排方式共有 Ａư １８ 种 Ｂư ３６ 种 Ｃư ７２ 种 Ｄư ８１ 种 !" #$ %&S S=S+ S n=1, =1 n＞3? n= 1n+ 2n n+2［］ ( ) ６ư 高斯函数 ｘ[ ] 表示不超过 ｘ 的最大整数ꎬ 如 ２ [ ] ＝ ２ꎬ １ư ９ [ ] ＝ １ꎬ － ３ư ６ [ ] ＝ － ４ư 执行右边的程序框图ꎬ 则输出 Ｓ 的值为 Ａư ５ Ｂư ４ Ｃư ３ Ｄư ２ ７ư 函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｌｎｘ ＋ ａｘ３ 的图象在点 Ｐ １ꎬ ｆ １ ( )( ) 处的切线分别交 ｘ 轴ꎬ ｙ 轴于Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ Ｏ 为坐标原点ꎬ ２ ＯＰ→ ＝ ＯＡ→ ＋ ＯＢ→ꎬ 则 ａ ＝ Ａư － ３ ２ Ｂư － １ ４ Ｃư １ ４ Ｄư ３ ２ ８ư 已知函数 ｆ (ｘ) ＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ φ( ) ω > ０ꎬ ０ < φ < π ( ) 的图象关于直线 ｘ ＝ ５π ６ 对称ꎬ 且 ｆ ７π １２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ０. 当 ω 取最小值时ꎬ φ ＝ Ａư π ６ Ｂư π ３ Ｃư ２π ３ Ｄư ５π ６ ９ư 已知抛物线 Ｃ: ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点为 Ｆꎬ 过 Ｆ 的直线 ｌ 交 Ｃ 于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ ｙ 轴被以 ＡＢ 为直径 的圆所截得的弦长为 ６ꎬ 则 ＡＢ ＝ Ａư ５ Ｂư ７ Ｃư １０ Ｄư １４ １０ư 已知三棱锥 Ｐ － ＡＢＣ 的四个顶点在球 Ｏ 的球面上ꎬ ＰＡ ⊥ 平面 ＡＢＣꎬ ＰＡ ＝ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２ꎬ ＰＢ 与平面 ＰＡＣ 所成的角为３０°ꎬ 则球 Ｏ 的表面积为 Ａư ６π Ｂư １２π Ｃư １６π Ｄư ４８π １１ư 已知双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １ ａ > ０ꎬ ｂ > ０ ( ) 的左、 右焦点分别为 Ｆ １ ꎬ Ｆ ２ ꎬ 过 Ｆ １ 的直线与 Ｃ 的左支交于 Ｐꎬ Ｑ 两点 ư 若 ＰＦ ２ ＝ Ｆ １ Ｆ ２ ꎬ 且 ３ ＰＦ １ ＝ ２ ＱＦ １ ꎬ 则 Ｃ 的离心率为 Ａư ３ ２ Ｂư ７ ５ Ｃư ５ ３ Ｄư ２ １２ư 设函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ － ｘａ ａ > １ ( ) 的定义域为(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ 已知 ｆ(ｘ) 有且只有一个零点 ư 下列四个结论: ① ａ ＝ ｅꎻ 　 　 　 　 　 　 　 　 ② ｆ(ｘ) 在区间(１ꎬ ｅ) 单调递增ꎻ ③ ｘ ＝ ｅ 是 ｆ(ｘ) 的零点ꎻ 　 　 ④ ｘ ＝ １ 是 ｆ (ｘ) 的极大值点ꎬ ｆ(ｅ) 是 ｆ(ｘ) 的最小值 ư 其中正确的个数是 Ａư １ Ｂư ２ Ｃư ３ Ｄư ４ 理科数学试卷 　 第 ２ 页 (共 ５ 页)第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 １３ ~ ２１ 题为必考题ꎬ 每个试题考生都必须作答. 第 ２２、 ２３ 题为选考题ꎬ 考生根据要求作答. １３ư 已知非零向量 ａꎬ ｂ 满足 ａ ＝ ４ ｂ ꎬ 且(ａ － ２ｂ) ⊥ ｂꎬ 则 ａ 与 ｂ 的夹角为 　 　 　 ư １４ư 设 ｘꎬ ｙ 满足约束条件 ｘ － ｙ ＋ １ ≥ ０ꎬ ｘ ＋ ｙ － ２ ≥ ０ꎬ ｘ ≤ ３ꎬ ì î í ïï ïï 则 ｚ ＝ ｙ ｘ ＋ ２ 的最大值为 　 　 　 ư １５ư 已知函数 ｆ ｘ( ) ＝ ２ ｘ ꎬ ｘ ≤ １ꎬ ｘ２ － ４ｘ ＋ ５ꎬ ｘ > １ꎬ { 且 ｆ ａ( ) ＝ ５ꎬ 则 ｆ ２ － ａ( ) ＝ 　 　 　 ư １６ư △ＡＢＣ 的内角 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃư 已知 ｃｃｏｓＢ ＋ ｂｃｏｓ(Ａ ＋ Ｂ) ＝ ０ꎬ ＢＤ 是 ＡＣ 边上的中线ꎬ 且 ＢＤ ＝ １ꎬ 则 △ＡＢＣ 面积的最大值为 　 　 　 ư 三、 解答题: 共 ７０ 分 ư 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第 １７ ~ ２１ 题为必考 题ꎬ 每个试题考生都必须作答. 第 ２２、 ２３ 题为选考题ꎬ 考生根据要求作答. (一) 必考题: 共 ６０ 分 ư １７ư (１２ 分) 设 ａｎ{ } 是公差不为 ０ 的等差数列ꎬ 其前 ｎ 项和为 Ｓｎ. 已知 ａ １ꎬ ａ ２ꎬ ａ ５ 成等比数列ꎬ Ｓ ５ ＝ ２５. (１) 求 ａｎ{ } 的通项公式ꎻ (２) 设 ｂｎ ＝ ( － １) ｎ ａｎ ＋ ２ ａｎ ꎬ 数列 ｂｎ{ } 的前 ｎ 项和为 Ｔｎ ꎬ 求 Ｔ ２ｎ . １８ư (１２ 分) B C DA P M 如图ꎬ 四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 的底面是菱形ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ２ꎬ ＰＡ ＝ ２ ３ ꎬ ＰＢ ＝ ＰＤư (１) 证明: 平面 ＰＡＣ ⊥ 平面 ＡＢＣＤꎻ (２) 若 ＰＡ ⊥ ＡＣꎬ 点 Ｍ 在棱 ＰＣ 上ꎬ 且 ＢＭ ⊥ ＭＤꎬ 求二面角 Ｂ － ＡＭ － Ｃ 的余弦值 ư 理科数学试卷 　 第 ３ 页 (共 ５ 页)１９ư (１２ 分) 莆田市是福建省“历史文化名城” 之一ꎬ 也是旅游资源丰富的城市 ư “九头十八巷”、 “二十四景” 美如画 ư 某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况ꎬ 在全市进行网上问卷(满分 １００ 分) 调查ꎬ 民众参与度极高. 该公司对得分数据 Ｘ 进行 统计拟合ꎬ 认为 Ｘ 服从正态分布 Ｎ ６３ꎬ １４４ ( ) ư (１) 从参与调查的民众中随机抽取 ２００ 名作为幸运者ꎬ 试估算其中得分在 ７５ 分以上(含 ７５ 分) 的人数(四舍五入精确到 １ 人)ꎻ (２) 在(１) 的条件下ꎬ 为感谢参与民众ꎬ 该公司组织两种活动ꎬ 得分在 ７５ 分以上(含 ７５ 分) 的幸运者选择其中一种活动参与. 活动如下: 活动一　 参与一次抽奖ư 已知抽中价值２００ 元的礼品的概率为 ３ ４ ꎬ 抽中价值４２０ 元的礼品 的概率为 １ ４ ꎻ 活动二　 挑战一次闯关游戏 ư 规则如下: 游戏共有三关ꎬ 闯关成功与否相互独立ꎬ 挑战 者依次闯关ꎬ 第一关闯关失败者没有获得礼品ꎬ 第二关起闯关失败者只能获得 上一关的礼品ꎬ 获得的礼品不累计ꎬ 闯关结束 ư 已知第一关通过的概率为 １ ２ ꎬ 可获得价值 ３００ 元的礼品ꎻ 第二关通过的概率为 １ ３ ꎬ 可获得价值 ８００ 元的 礼品ꎻ 第三关通过的概率为 １ ４ ꎬ 可获得价值 １８００ 元的礼品 ư 若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动ꎬ 该公司以该期望值为 依据ꎬ 需准备多少元的礼品? 附: 若 Ｘ ~ Ｎ μꎬ σ ２( ) ꎬ 则 Ｐ μ － σ < Ｘ < μ ＋ σ( ) ＝ ０ư ６８２６ꎬ Ｐ μ － ２σ < Ｘ < μ ＋ ２σ( ) ＝ ０ư ９５４４ꎬ Ｐ μ － ３σ < Ｘ < μ ＋ ３σ( ) ＝ ０ư ９９７４ư ２０ư (１２ 分) 已知 Ｆ １ ꎬ Ｆ ２ 为椭圆 Ｅ: ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０) 的左、 右焦点ꎬ 点 Ｐ 在 Ｅ 上 ư 有以下三个条件: ① Ｆ １ Ｆ ２ ＝ ２ ３ ꎻ ② 点 Ｐ 的坐标为(２ ６ ３ ꎬ ３ ３ )ꎻ ③ＰＦ １ ⊥ ＰＦ ２ 且 ＰＦ １ Ű ＰＦ ２ ＝ ２ư (１) 从三个条件中任意选择两个ꎬ 求 Ｅ 的方程ꎻ (２) 在(１) 的条件下ꎬ 过点 Ｍ( － ４ꎬ ０) 的直线 ｌ 与 Ｅ 交于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ Ｂ 关于坐标原点的 对称点为 Ｃꎬ 求 △ＡＢＣ 面积的最大值 ư 理科数学试卷 　 第 ４ 页 (共 ５ 页)２１ư (１２ 分) 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｃｏｓｘ － ｓｉｎｘ ｅ ｘ ＋ ２ｓｉｎｘꎬ ｇ(ｘ) ＝ (ｓｉｎｘ － ｃｏｓｘ)ｅ ｘ ＋ ｓｉｎｘ ＋ ｃｏｓｘư (１) 求 ｆ(ｘ) 在区间(０ꎬ ２π) 的极值点ꎻ (２) 证明: ｇ(ｘ) 在区间[ － ２πꎬ ２π] 有且只有 ３ 个零点ꎬ 且之和为 ０ư (二) 选考题: 共１０分ư 请考生在第２２、 ２３题中任选一题作答. 注意: 只能做所选定的题目. 如 果多做ꎬ 则按所做第一个题目计分ꎬ 作答时请用 ２Ｂ 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑. ２２ư [选修 ４ － ４: 坐标系与参数方程](１０ 分) 在直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ 已知直线 ｌ 过点 Ｐ(２ꎬ ２). 以坐标原点为极点ꎬ ｘ 轴正半轴为极轴 建立极坐标系ꎬ 曲线 Ｃ 的极坐标方程为 ρ － ρ ｃｏｓ ２ θ － ４ｃｏｓθ ＝ ０ư (１) 求 Ｃ 的直角坐标方程ꎻ (２) 若 ｌ 与 Ｃ 交于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ 求 ＰＡ － ＰＢ ＰＡ Ű ＰＢ 的最大值 ư ２３ư [选修 ４ － ５: 不等式选讲](１０ 分) 已知 ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ － １ ＋ ｘ ＋ ２ . (１) 求不等式 ｆ(ｘ) ≤ ５ 的解集ꎻ (２) 若 ｘ ∈ [ － １ꎬ ＋ ¥ ) 时ꎬ ｆ(ｘ) ≥ ｋｘ ＋ ｋꎬ 求 ｋ 的取值范围 ư 理科数学试卷 　 第 ５ 页 (共 ５ 页)草 　 稿 　 纸