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A卷选择题答案 一、选择题 1. B 【解析】 ∵ A = { x|0 < x < 2 }, ∴ A ∩ B = { }x| 1 ≤ x < 2 . 2. C 【解析】由于 1 - i a + i = ( )1 - i ( )a - i a2 + 1 = a - 1 - ( )a + 1 i a2 + 1 ，a + 1 = 0，所以a = -1. 3. A 【解析】由于( a + 3b )∥ ( ka - b )，所以存在实数λ，使得ka - b = λ( a + 3b ) ，因此λ = k且3λ = -1，解得k = - 1 3． 4. B 【解析】由题意可知，直方图四个小矩形的面积从左向右依次为 0.1，0.3，0.4，0.2，故中位数位于第 3 个小矩形 处，而前 2个小矩形面积之和为 0.4，故第 3小矩形在中位数左侧的面积为 0.1，故中位数为区间 [110,130 ) 的靠左 的四等分点处，故中位数为115. 5. A 【解析】|F1 F2 | = 2 a2 - 1 ，|AF2 | = 1 a，在Rt△AF1 F2 中， tan60° = |F1 F2 | |AF2 | ， ∴2 a2 - 1 = 1 a × 3，即4a4 - 4a2 - 3 = 0，解得a2 = 3 2，∴ a = 6 2 ． 6. D 【解析】f ( x ) = x + 4 x - 2 = x - 2 + 4 x - 2 + 2 ≥ 2 4 + 2 = 6， 当且仅当x - 2 = 4 x - 2，即x = 4时，等号成立，故f ( x ) 的最小值为6. 7. C 【解析】对比试验①②可推断 m 与 d 成反比，对比试验②③可推断 m 与 c 成反比，对比③④推断 m 与 a + b 或1 a + b 成正比，故 A，B 选项形式正确，将第①次试验数据代入，检验可知 A，B 选项系数也正确，故排除选项 A，B； 选项C的表达式与题目中第④次试验结果不符，故选C. 8. D 【解析】∵ f ( x ) = 2 e x + 1 - 1 + 1 = 1 - e x e x + 1 + 1， 令 g( x ) = 1 - e x e x + 1 ( x ∈ R )，则 g( -x ) = 1 - e-x e-x + 1 = e x - 1 1 + e x = -g( x )， ∴ g( x ) 为奇函数，其图象关于原点对称，将其图 象向上平移1个单位长度可得f ( x ) 图象，所以f ( x ) 图象关于 ( 0,1) 对称． 9. C 【解析】由 an + 1 an = 3n + 10 3n + 7 × 9 10 > 1 ，解得n < 20 3 ，又n ∈ N*，所以n ≤ 6. 于是a1 < a2 < ⋯ < a7， 当n ≥ 7时， an + 1 an < 1 ，故a7 > a8 > ⋯， 因此最大项为a7 . 10. D 【解析】容易看出，该程序框图的功能是，统计 1 至 2020 中所有是 20 的倍数但不是 100 的倍数的整数个数， 在 1~2020 中，能被 20 整除的数共有 101 个，但其中 100，200，300，……，2000 这 20 个能被 100 整除，故符合条件 的整数个数为101 - 20 = 81. 秘密★启用前 2020年高三年级开学摸底考试 文科数学参考答案及评分标准 文科数学试题答案 第1页（共5页） 评分说明： 1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分参考中相应的规定 评分 . 2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不 给分 .11. B 【解析】设直角三角形的两边长分别为 a,b,则a + b = 3，以长度为 b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积 为V = 1 3 πa2 b = 1 3 πa2 ( 3 - a )，V′ = 1 3 π( 6a - 3a2 )，当0 < a < 2时，V′ > 0；当2 < a < 3时，V′ < 0. 所以当a = 2时，体积最大，最大值为 4 3 π. 12. C 【解析】由双曲线的定义及平面几何知识可知 |PF1 | - |PF2 | = 2a，① |PF1 |2 + |PF2 |2 = 4c2，② ②-①2得|PF1 | × |PF2 | = 2b2， ∴四边形PF1 QF2 的面积为S1 = 2 × 1 2 |PF1 | × |PF2 | = 2b2. 由 ì í î ï ï x2 + y2 = c2, y = b a x 当x > 0,y > 0 ，解得x = a,y = b. ∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为 ( a,b ). ∴四边形ABCD的面积S2 = 4ab. ∵2b2 = 4ab，∴ b a = 2，即 c2 - a2 a2 = 4,e = c a = 5. B卷选择题答案 1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11. C 12. C A、B卷非选择题答案 二、填空题 13.若 || a ≠ || b ，则a ≠ -b. 14. -1 【解析】由4S2，3S3，2S4 成等差数列知4S2 + 2S4 = 6S3，即2S2 + S4 = 3S3 故 2( 2a1 + d ) + 4a1 + 6d = 3( 3a1 + 3d ) ， 整理得a1 + d = 0，又d ≠ 0，故 a1 d = -1. 15． [ 0,e2 ) 【解析】由 e x x - 1 = m，得 e x = m( x - 1) ， 若直线y = m( x - 1) 与曲线y = e x 相切，设切点为( x0,y0 ),y0 = ex0， ∵ y′ = e x , ∴ m = ex0 . ∴ ex0 = ex0 ( x0 - 1)， ∴ x0 = 2, ∴ m = e2. 因为原方程无实数根，所以实数m的取值范围为 [ 0,e2 ) ． 16. π 3 ；2π 【解析】由已知得 f ( x ) = 2sin( 2x - π 3 )，函数g( x ) 的对称轴为x = π 12，则g( x ) = 2sin( 2x - π 3 + 2a )， 得 π 6 - π 3 + 2a = kπ + π 2 ，所以 a = k2 π + π 3 ，得 a 的最小值为 π 3 ；此时 g( x ) = 2sin( 2x + π 3 )，由对称性可知，所 求面积即为直线x = π 12，x = 7π 12 以及y = 2 ，y = -2 围成矩形面积，即为2π． 文科数学试题答案 第2页（共5页）文科数学试题答案 第3页（共5页） 三、解答题 17. 解：（1）由题意知cos∠CAD = 5 5 ， 在△ACD中，根据余弦定理，cos ∠CAD = AD2 + AC2 - CD2 2AD·AC = 25 + AC2 - 40 2 × 5 × AC = 5 5 ………………………… 3分 解得AC = 3 5（AC = - 5 舍去）. ……………………………………………………………………………… 6分 （2）由题意知sin∠BAC = 5 5 ， 在△ABC中，由正弦定理得 BCsin∠BAC = ACsin∠ABC，即 BC 5 5 = 3 5 2 2 ，…………………………………………… 7分 解得BC = 3 2， ………………………………………………………………………………………………… 8分 又sin∠BCA = sin( ∠CAB + ∠CBA ) = 5 5 × ( - 2 2 ) + 2 5 5 × 2 2 = 10 10 ， ……………………………… 10分 故S△ABC = 1 2 CA ⋅ CB·sin∠ACB = 1 2 × 3 5 × 3 2 · 10 10 = 9 2. ……………………………………………… 12分 18.（1）证明：如图，取BC的中点O，连接AO,OB1， ∵BC = BB1，∠B1 BC = 60°， ∴△BCB1 为等边三角形.∴B1 O ⊥ BC， ………………………………… 2分 又∵ BC⫽B1 C1 , B1 C1 ⊥ AB1， ∴BC ⊥ AB1 . ……………………………………………………………… 4分 又B1 O ∩ AB1 = B1， ∴BC ⊥平面AOB1，又AO ⊂平面AOB1，∴BC ⊥ AO， ∵ O为BC中点，∴ AB = AC； …………………………………………… 6分 （2）连接CM,A1 M， ∵ AB ⊥ AC，∴AO = 1，又OB1 = 3，AB1 = 2， ∴ AO ⊥ OB1 . ∵ CM ∥ OB1 ,A1 M ∥ AO,∴A1 M ⊥ CM. 又∵A1 B1 = A1 C1，M是B1 C1 的中点， ∴A1 M ⊥ B1 C1 . ∴A1 M ⊥ 平面B1 C1C.……………………………………………………………………………………………… 8分 在△A1 B1C中，A1 C = B1 C = B1C1 = 2,A1 B1 = 2， 设M到平面A1 B1C的距离为h， 由VM - A1 B1C = VA1 - B1 MC， 即 1 3 × S△A1 B1C × h = 1 3 × S△B1 MC × A1 M = 1 3 × 1 2 × B1 M × CM × A1 M = 1 3 × 1 2 × 1 × 3 × 1 = 3 6 ，…………… 10分 ∵ S△A1 B1 C = 7 2 ，即 1 3 × 7 2 h = 3 6 ， ∴ h = 21 7 . 故点M到平面A1 B1C的距离为 21 7 . ………………………………………………………………………… 12分 A B C A1 B1 C1 （第 18 题答图） O M19. 解：（1）当m = 1时，直线方程为x - y - 1 = 0 ，此时圆心到直线的距离为d = 1 2 ， ………………………… 2分 则|AB| = 2 4 - 1 2 = 14. ……………………………………………………………………………………… 4分 （2）设A( x1 ,y1 ),B( x2 ,y2 ) ，则 由ì í î ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 4, x = my + 1, 得 ( m2 + 1) y2 - 2y - 3 = 0. ∴ y1 + y2 = 2 m2 + 1,y1 y2 = -3 m2 + 1. ……………………………………………………………………………… 6分 ∵ OA ⊥ OB, ∴   OA·  OB = 0，即x1 x2 + y1 y2 = 0 ， 又x1 = my1 + 1,x2 = my2 + 1 ， ∴( my1 + 1)( my2 + 1) + y1 y2 = 0 ， ……………………………………………… 8分 ∴( m2 + 1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + 1 = 0, ∴( m2 + 1)· -3 m2 + 1 + m· 2 m2 + 1 + 1 = 0. 化简得m2 - m + 1 = 0，………………………………………………………………………………………… 10分 ∵ △ < 0, ∴ 不存在满足条件的实数m. ……………………………………………………………………… 12分 20. 解：（1）数据“5129”表示采用乙方案，上午 AC 路段降水，下午 CB 路段降水，AB 路段未降水，故花费正常行驶时 间7小时，降水延迟2小时，办事及午餐2小时共计11小时， ………………………………………………… 2分 故推算返回A地的时间为19点. ……………………………………………………………………………… 4分 （2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为1693，2687. ……………………………………………… 5分 可得 数据 1693 2687 上午AB路段 是否降水 （0~2表示降水） 否 否 上午BC路段 是否降水 （0~1表示降水） 否 否 下午CA路段 是否降水 （0~8表示降水） 是 是 总时 间 10 10 平均时 间 10 …………………………………………………………………………………………………………………… 7分 类似地，读取的两组乙方案对应数据为5129，5805. …………………………………………………………… 8分 可得 数据 5129 5805 上午AC路段 是否降水 （0~2表示降水） 是 否 下午CB路段 是否降水 （0~6表示降水） 是 是 下午BA路段 是否降水 （0~5表示降水） 否 是 总时 间 11 11 平均时 间 11 ………………………………………………………………………………………………………………… 10分 因为10 < 11，故认为甲方案有利于办完事后能更早返回A地. ……………………………………………… 12分 21. 解析：（1）由题意f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) ，且 f ′( x ) = -2x - a + a2 x = -2x2 - ax + a2 x = -( 2x - a )( x + a ) x . ………………………………………………… 2分 当a = 0时，f ′( x ) = -2x < 0 ； 当a > 0时，x > a2 时，f ′( x ) < 0 ；0 < x < a2 时，f ′( x ) > 0 ； 当a < 0时，x > -a时，f ′( x ) < 0 ；0 < x < -a时，f ′( x ) > 0 ； …………………………………………………… 5分 综上所述，当a = 0时，f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上为减函数； 文科数学试题答案 第4页（共5页）文科数学试题答案 第5页（共5页） 当a > 0时，f ( x ) 在( 0, a2 )上为增函数，在( a2, +∞ )上为减函数； 当a < 0时，f ( x ) 在 ( 0, -a ) 上为增函数，在 ( -a, +∞ ) 上为减函数． ………………………………………… 6分 （2）要证f ( x ) < g( x ) ，即证 ( 2x - 1) lnx + x > 0 ． ……………………………………………………………… 7分 当x = 1 2 时，不等式显然成立； 当x > 1 2 时，即证lnx + x2x - 1 > 0；当0 < x < 1 2 时，即证lnx + x2x - 1 < 0；…………………………………… 8分 令F ( x ) = lnx + x2x - 1，则F′( x ) = 1 x + -1 ( 2x - 1)2 = ( 4x - 1)( x - 1) x( 2x - 1)2 . 当x > 1 2 时，在( 1 2,1)上F′( x ) < 0 ，F ( x ) 为减函数；在 (1, +∞ ) 上F′( x ) > 0 ，F ( x ) 为增函数， ∴ F ( x ) min = F (1) = 1 > 0 ，∴ lnx + x2x - 1 > 0． …………………………………………………………… 10分 当0 < x < 1 2 时，在( 0, 1 4 )上F′( x ) > 0 ，F ( x ) 为增函数；在( 1 4, 1 2 )上F′( x ) < 0 ，F ( x ) 为减函数， ∴ F ( x ) max = F ( 1 4 ) = ln 1 4 - 1 2 < 0，∴ lnx + x2x - 1 < 0． 综上所述，当x > 0时，f ( x ) < g( x ) 成立． …………………………………………………………………… 12分 22. 解：（1）由x = ρ cos θ,y = ρ sin θ得 直线m,n的直角坐标方程分别x = 3,y = 2 ， …………………………………………………………………… 2分 曲线C的方程为 4x2 + 9y2 = 36. ………………………………………………………………………………… 4分 （2）由（1）知曲线C: x2 9 + y2 4 = 1，故可设P( 3cosθ,2sinθ ). ……………………………………………………… 5分 矩形的两边长分别为 3 - 3cosθ,2 - 2 sin θ， ∴矩形的面积S = ( 3 - 3cosθ )( 2 - 2sinθ ) = 6(1 - sinθ - cosθ + sinθcosθ ). ………………………………… 7分 令sinθ + cosθ = t ∈ [ - 2, 2 ]，则sinθcosθ = t2 - 1 2 . S = 3t2 - 6t + 3, t ∈ [ - 2, 2 ]， 当t = - 2 时，Smax = 9 + 6 2. ………………………………………………………………………………… 10分 23. 证明：（1）( )1 a - 1 ( )1 b - 2 ( )1 c - 3 = 1 - a a ⋅ 1 - 2b b ⋅ 1 - 3c c = 2b + 3c a ⋅ a + 3c b ⋅ a + 2b c ≥ 2 6bc a ⋅ 2 3ac b ⋅ 2 2ab c = 48；……………………………………………………………………………… 5分 （2）由a > b > c > 0，可知ab > b2，ac > c2，bc > c2， ……………………………………………………………… 7分 于是： 1 = ( a + 2b + 3c )2 = a2 + 4b2 + 9c2 + 4ab + 6ac + 12bc > a2 + 4b2 + 9c2 + 4b2 + 6c2 + 12c2 = a2 + 8b2 + 27c2. ……………………………………………………… 10分