上海市松江区2018-2019高二数学下学期期末试题（Word版含解析）

松江区 2018 学年度第二学期期末质量监控试卷 高二数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟）2019.6 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 的平方根是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 得解. 【详解】由 得解. 【点睛】本题考查虚数 概念，属于基础题. 2.若 ，则实数 ________. 【答案】 或 【解析】 【分析】 根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得 或 ， 所以 或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 3.高二（1）班有男生 人，女生 人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个 容量为 的样本，则抽取的男生人数为____. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据分层抽样的比例求得. 的 3− 3i± ( )2 3 3i± = − ( )2 3 3i± = − 5 5 2xC C= x = 2 3 2x = 2 5x + = 2x = 3.x = 18 12 5【详解】由分层抽样得抽取男生的人数为 人， 故得解. 【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题. 4.二项式 的展开式中常数项为______ 用数字表示 ． 【答案】-160 【解析】 二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 为 ， ． 令 ，可得 ， 即展开式中常数项为 ． 答案： 5.若正方体的表面积为 ，则它的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解. 【详解】由已知得正方体的棱长为 ， 又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长， 所以正方体的外接球的半径 ， 所以外接球的表面积 ， 故得解. 【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题. 185 318 12 × =+ 61(2x )x − ( ) 612x x  −   6 6 6 2 1 6 6 1(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r rT C x C xx − − − + = − = − ⋅ ⋅ ⋅ 0,1,2, ,6r =  3r = 3 3 3 4 6( 1) 2 160T C= − ⋅ ⋅ = − 160− 160− 6 3π 1 2 2 21 31 1 12 2R = + + = 2 2 34 4 32S Rπ π π = = × =   6.某校生物研究社共 人，他们的生物等级考成绩如下： 人 分， 人 分， 人 分， 人 分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________. 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出样本的平均数，再求出其标准差. 【详解】这八个人生物成绩的平均分为 ， 所以这八个人生物成绩的标准差为 故得解. 【点睛】本题考查样本的标准差，属于基础题. 7.已知正三棱锥底面边长为 ，侧棱长为 ，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值。 【详解】取正三棱锥 的底边 的中点，连接 和 , 则在底面正 中， ，且边长为 ，所以 ， 在等腰 中，边长为 ， 所以 且 ， 所以 就是侧面 与底面 所成二面角的平面角， 所以在 中， ， 故得解. 8 3 70 3 67 1 64 1 61 3 70 3 67 1 64 1 61 678x × + × + × + ×= = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 70 67 3 67 67 64 67 61 67 38s  = × − + × − + − + − =  2 3 6 12 S ABC− AC SD BD ABC∆ BD AC⊥ 2 3BD = SAC∆ 3, 2SA SC AC= = = SD AC⊥ 2 2SD = SDB∠ SAC ABC SDB∆ 2 2 2 6cos 2 12 SD DB BDSDB SD DB + −∠ = =× ×【点睛】本题考查二面角，属于基础题. 8.甲、乙两地都位于北纬 45°，它们的经度相差 90°，设地球半径为 ，则甲、乙两地的球 面距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据两地 经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定 理求出球心角，利用弧长公式求解. 【详解】由已知得 ， 所以 ，所以 ， 所以在 中， ，所以 ， 所以甲、乙两地的球面距离为 . 故得解. 的 R 3 R π 45 , 90POA BPA∠ = ∠ =  2 2AP BP R= = AB R= AOB∆ OA OB AB R= = = 3AOB π∠ = 3 R π【点睛】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题. 9.若以连续两次掷骰子分别得到的点数 ， 作为点 的坐标，则点 落在由 和两 坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解. 【详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数 ， 作为点 的坐标，共有 个点， 而点 落在由 和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有 个点： ， 所以概率 故得解． 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题. 10.已知 是实系数一元二次方程 的一个虚数根，且 ，则实 数 的取值范围是________. 【答案】 m n P P 4x y+ = 1 12 m n P 36 P 4x y+ = 3 ( ) ( ) ( )1,1 , 1,2 , 2,1 3 1 .36 12P = = a 2 2(2 1) 1 0x m x m− − + + = 2a ≤ m 3 , 34  −  【解析】 【分析】 根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围. 【详解】由已知得 ，解得 ； 又因为 ，所以 ，解得 ； 所以实数 的取值范围是 故得解. 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题. 11.设向量 ， .其中 .则 与 夹角的最大值为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量的夹角公 式求解. 【详解】向量 的终点都在以 为圆心，1 为半径的圆上； 向量 的终点都在以 为圆心，1 为半径的圆上； 且为圆 与圆 的距离为 1， 如图所示，两向量的夹角最大，为 . 【点睛】本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题. ( ) ( )2 22 1 4 1 4 3 0m m m∆ = − − + = − − < 3 4m > − 2a ≤ 222 1 4 3 42 2 m m − +  + ≤        3 3m− ≤ ≤ m 3 3.4 m− < ≤ ( , ,0)u a b= ( , ,1)v c d= 2 2 2 2 1a b c d+ = + = u v 3 4 π u O v 1O O 1O 3 4 π12.如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 2，有一束平行 光线垂直于平面 ，若四面体 绕 所在直线旋转.且始终在平面 的上方，则它在 平面 内影子面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 在四面体中找出与 垂直的面，在旋转的过程中 在面 内的射影始终与 垂直求解. 【详解】 和 都是等边三角形，取 中点 ， 易证 ， ，即 平面 ，所以 . 设 在平面 内的投影为 ，则在四面体 绕着 旋转时，恒有 . 因为 平面 ，所以 在平面 内的投影为 . 因此，四面体 在平面 内的投影四边形 的面积 要使射影面积最小，即需 最短； 在 中， ， ，且 边上的高为 ， 利用等面积法求得，边 上的高 ，且 ， 所以旋转时，射影 的长的最小值是 . ABCD AB∥ α 1CD = α ABCD AB α α 33 6 AB CD α AB ABD∆ ABC∆ AB M MD AB⊥ MC AB⊥ AB ⊥ CDM AB CD⊥ CD α C D′ ′ ABCD AB C D AB′ ′ ⊥ AB∥ α AB α 2A B AB′ ′ = = ABCD α A B C D′ ′ ′ ′ 1 2S A B C D C D′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = C D′ ′ DMC∆ 3MC MD= = 1CD = DC 11 2MN = MC DH 33 6 = DH MN< C D′ ′ 33 6C D′ ′ =所以 【点睛】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题. 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.若向量 ， ，则向量 与 （） A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不 对 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标关系得解. 【详解】 ，所以向量 与 平行. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 14.若点 为两条异面直线 、 外的任意一点，则下列说法一定正确的是（） A. 过点 有且仅有一条直接与 、 都平行 B. 过点 有且仅有一条直线与 、 都垂直 C. 过点 有且仅有一条直线与 、 都相交 D. 过点 有且仅有一条直线与 、 都异面 【答案】B 【解析】 【分析】 从与两异面直线垂直、平行、异面、相交的直线中找到成立的依据和不成立的反例得解. 【详解】设过点 的直线 ，若 与 平行， 与 平行，则 与 平行与 与 异面相矛盾， 所以答案 A 错误； 答案 B 正确，此条直线就是 、 的公垂线； 过点 不一定存在与 、 都相交的直线,所以答案 C 错误； min 33 6S = (1,2, 2)a = − ( 2, 4,4)b = − − a b 1 2 2 2 4 4 −= =− − a b P a b P a b P a b P a b P a b P c c a c b a b a b a b P a b过点 不只存在一条与 、 都异面的直线,所以答案 D 错误. 【点睛】本题考查与两异面直线的垂直、平行、异面、相交等关系的问题，关键要能举出结 论不成立的反例，属于中档题. 15.如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为 形（每次旋转 90°仍为 形的图案），那么在 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 形需案的 个数是（） A. 36 B. 64 C. 80 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】 把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有 个“ ”形，如图 因为 的方格纸内共有 个“田”字，所以共有 个“ ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题. 16.已知复数 ， ， .在复平面上，设复数 ， 对应的点分别为 ， ，若 ，其中 是坐标原点，则函数 的最 大值为（） A. B. C. D. P a b L L 5 6× L 4 L 5 6× 4 5 20× = 20 4 80× = L 1 cos 2 ( )z x f x i= + ( )2 3sin cosz x x i= + + x∈R 1z 2z 1Z 2Z 1 2 90Z OZ∠ = ° O ( )f x 1 4 − 1 4 1 2 − 1 2【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件， ， ，且 ， 所以， ，化简得， ， 当 时， 取得最大值为 . 【点睛】本题考查向量 数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤. 17.己知复数 满足 ， ，其中 ， 为虚数单位. （l）求 ： （2）若 .求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 根据复数的概念和复数的运算法则求解. 【详解】解：（1） （2） ∴ ， 解得： ； 【点睛】本题考查共轭复数、复数的模和复数的运算，属于基础题. 的 ( )1 cos ,2 ( )Z x f x ( )2 3sin cos ,1Z x x+ 1 2OZ OZ⊥ ( )cos 3sin cos 2 ( ) 0x x x f x⋅ + + = 1 1( ) sin 22 6 4f x x π = − + −   sin 2 16x π + = −   1 1( ) sin 22 6 4f x x π = − + −   1 4 1z 1(2 ) 3 4i z i+ = + 2z m i= − m R∈ i 2 1z 1 2 12z z z+ < m 2 1 3 4z i= + 6 2m− < < 1 3 4 (3 4 )(2 ) 22 (2 )(2 ) i i iz ii i i + + −= = = ++ + − 2 2 1 (2 ) 3+4z i i= + = 1 2 2 ( 2) 2z z i m i m i+ = − + − = + − 2(2 ) 4 2 5m+ + < 6 2m− <