2018-2019 学年度下学期“抚顺六校协作体”期末考试
高二数学（文）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用补集的定义求出 ，再利用交集的定义得出集合 .
【详解】 ， ， ，因此， ，
故选：B.
【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，要充分理解补集和交集的定义，在求解无限数集
之间的运算时，可以利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
2.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题 ．故本题答案选 ．
3.若函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
U = R { }3A x x= ≥ { }0 5B x x= < ≤ ( )U A B =
{ }0 3x x< ≤ { }0 3x x< < { }0 3x x≤ ≤
{ }0 3x x≤ <
U A ( )U A B
U R= { }3A x x= ≥ { }3U A x x∴ = > a c b> > b a c> > c a b> >
a b c 0 1数的大小关系.
【详解】由于指数函数 为增函数，则 .
由于对数函数 在 上为增函数，则 ，即 .
由于对数函数 在 上为增函数，则 ，即 .
因此， ，故选：A.
【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用中间值 、 ，结合指数函数和对数
函数的单调性来得出各数的大小关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.
7.函数 的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中表达式得到当 时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排
除 BC，当 时，分母趋向于 0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排
除 A.进而得到选项.
【详解】根据题干中的表达式得到 x 不能等于 2，故图中必有渐近线，x=2 或-2，当
时，分母趋向于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 BC，当 时，分母趋
向于 0，但是小于 0，分子趋向于 4，整个分式趋向于 ，故排除 A.
2xy = 1.2 02 2 1a = > =
lny x= ( )0, ∞+ ln1 ln 2 ln e< < 0 1b< <
2logy x= ( )0, ∞+ 2 2
1log log 13
< 0c <
a b c> >
0 1
2
( )
2 4x
xf x =
−
2x +→ +∞
+-2x → -∞
2x +→
+∞ +-2x →
-∞故答案 ：D.
【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，
通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，
也可以排除选项.
8.已知 是定义在 上的函数，满足 ， ，当
时， ，则函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，函数 是以 为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数 在
区间 上的最大值即可作为函数 在 上的最大值.
【 详 解 】 ， ， 则 函 数 为 奇 函 数 ， 则
.
由 ，所以，函数 是以 为周期的周期函数，
且 ，又 ，所以， .
当 时， ，
那么当 时， ，
所以，函数 在区间 上的值域为 ，
因此，函数 的最大值为 ，故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单
调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
为
( )f x R ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )1 1f x f x− = +
( )1,0x∈ − ( ) 2f x x x= + ( )f x
1
4
1
4
− 1
2
− 1
2
( )y f x= 2 ( )y f x=
( ]1,1− ( )y f x= R
( ) ( ) 0f x f x+ − = ( ) ( )f x f x∴ − = − ( )y f x=
( )0 0f =
( ) ( )1 1f x f x− = + ( )y f x= 2
( ) ( )1 1f f− = ( ) ( )1 1f f− = − ( )1 0f =
1 0x− < < ( ) 2
2 1 1 1 ,02 4 4f x x x x = + = + − ∈ −
0 1x< < ( ) 10, 4f x ∈
( )y f x= ( ]1,1− 1 1,4 4
−
( )y f x= 1
49.函数 为 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，由偶函数 性质得出 ，由函数 在
上单调递减得出 ，解出即可.
【详解】 ，由 得 ，
由于函数 为偶函数，则 ， ，
函数 在 上单调递减， ，可得 或 ，
解得 或 ，因此，满足 的 的取值范围是 ，
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，
在解题时，若函数 为偶函数，可利用性质 ，可将问题转化为函数
在 上的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.设函数 ，则 零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
的
( )f x R ( )0, ∞+ ( )1 1f = − ( )lg 1f x ≤ −
x
[ )10,+∞ 1 ,1010
[ )10, 10,10
+∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
( ) ( )lg 1f x f≤ ( ) ( )lg 1f x f≤ ( )y f x=
( )0, ∞+ lg 1x ≥
( )1 1f = − ( )lg 1f x ≤ − ( ) ( )lg 1f x f≤
( )y f x= ( ) ( )f x f x= ( ) ( )lg 1f x f∴ ≤
( )y f x= ( )0, ∞+ lg 1x∴ ≥ lg 1x ≤ − lg 1x ≥
10 10x< ≤ 10x ≥ ( )lg 1f x ≤ − x [ )10, 10,10
+∞
( )y f x= ( ) ( )f x f x=
( )y f x= [ )0,+∞
( ) ln 2 6f x x x= − + ( )f x
3 1 2 0在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，观察两个函数的交点个数，可得
出函数 的零点个数.
【详解】令 ，得 ，即 ，
则函数 的零点个数等于函数 和函数 的交点个数，
在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，如下图所示：
由上图可知，函数 和函数 有两个交点，
因此，函数 的零点个数为 ，故选：C.
【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：
（1）代数法：解方程 的根；
（2）图象法：求函数 的零点个数，可转化为两个函数 和函数
图象的交点个数.
11.已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
lny x= 2 6y x= −
( )y f x=
( ) 0f x = ln 2 6 0x x− + = ln 2 6x x= −
( )y f x= lny x= 2 6y x= −
lny x= 2 6y x= −
lny x= 2 6y x= −
( )y f x= 2
( ) 0f x =
( ) ( ) ( )f x g x h x= − ( )y g x=
( )y h x=
( )y f x= 33, 3
2
1log 2f f
=
2
2 2 2− 1
2【分析】
设 ，将点 的坐标代入函数 的解析式，求出 的值，然后再计算
出 的值.
【详解】设 ，由题意可的 ，即 ， ，则 ，
所以， ，
因此， ，故选：B.
【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解
析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.
12.已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式
成立，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在函数 分别令 和 ，可得出建立关于 和 的方程组，求出这两个
值，可得出函数 的解析式，再利用导数求出函数 的最小值，可解出实数
的取值范围.
【详解】由题意可得 ，解得 ， ，
存在实数 使得不等式 成立， .
( ) af x x= 33, 3
( )y f x= a
2
1log 2f f
( ) af x x= ( ) 33 3 3
af = = 1
23 3a −=
1
2a∴ = − ( ) 1
2f x x
−=
1
12
21 1 22 2f
− = =
1
1 12
2 2
2 2
1 1 1log log 2 2 22 2 2f f f f
− = = = = =
( )g x ( ) ( ) ( )1 211 0 2
xg x g e g x x−= − + 0x
( )0m g x≥ m
1, 2
−∞
( ],1−∞ [ )1,+∞ 1 ,2
+∞
( )y g x= 0x = 1x = ( )0g ( )1g
( )y g x= ( )y g x= m
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10
11 1 0 2
gg e
g g g
=
= − +
( )
( )
10 2
1 2
g
eg
=
=
( ) 2
2
xe x xg x
+ −∴ =
0x ( )0m g x≥ ( )minm g x∴ ≥，令 ，得 ，由于函数 单调递增，
当 时， ；当 时，
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即 ，
，因此，实数 的取值范围是 ，故选：D.
【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题，转化
技巧如下：
（1） ， （或 ） （或 ）；
（2） ， （或 ） （或 ）.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 在 上的最大值与最小值的和为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
判断出函数 在 上的单调性，可求出该函数的最大值和最小值，相加即可
得出答案.
【 详 解 】 由 于 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则 该 函 数 的 最 大 值 为
，最小值为 ，
因此，函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，故答案为：
.
【点睛】本题考查函数在区间上最值的求解，解题时要充分分析函数的单调性，利用函数单
调性得出函数的最大值和最小值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
.
( ) 2 1
2
xe xg x
+ −′ = ( ) 0g x′ = 0x = ( )y g x′=
0x < ( ) 0g x′ < 0x > ( ) 0g x′ >
( )y g x= 0x = ( ) ( )min
10 2g x g= =
1
2m∴ ≥ m 1 ,2
+∞
x D∃ ∈ ( )a f x> ( )a f x≥ ( )mina f x⇔ > ( )mina f x≥
x D∃ ∈ ( )a f x< ( )a f x≤ ( )maxa f x⇔ < ( )maxa f x≤
( ) 2
1f x x
= −
[ ]2,0−
8
3
−
( ) 2
1f x x
= −
[ ]2,0−
( ) 2
1f x x
= −
[ ]2,0−
( )max
2 2
2 1 3f x = = −− −
( ) ( )min 0 2f x f= = −
( ) 2
1f x x
= −
[ ]2,0− 2 823 3
− − = −
8
3
−14.函数 的单调递增区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，找到内外层函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法，得到单调区间.
【详解】函数 ，设 t= ,函数化为 ，外层函数是减函数，要
求整个函数的增区间，只需要求内层函数的减区间，即 t= 的减区间，为 .
故答案为： .
【点睛】这个题目考查了复合函数单调区间的求法，满足同增异减的规则，难度中等.
15.现有如下假设：
所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健
康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号）
①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④
工会的部分成员没有投健康保险
【答案】①②③
【解析】
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险
∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工
∴有些女工投了健康保险，故②正确；
∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险
∴有些女工没有投健康保险，故③正确；
∵所有工会成员都投了健康保险
∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误.
故答案为①②③.
2 21( ) ( )2
x xf x −=
( ,1]−∞
( )
2 21
2
x x
f x
− =
2 2x x− 1
2
t
y =
2 2x x− ( ],1−∞
( ],1−∞16.函数 f(x)＝x(x－m)2 在 x＝1 处取得极小值，则 m＝________.
【答案】1
【解析】
f′(1)＝0 可得 m＝1 或 m＝3.
当 m＝3 时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，
1
m
( )( ) 23 2 4 6 12 2 4 2 14z i i i i i i= − + − = − + + − = − +
2 14z i= − − 4 196 10 2z = + =
2
2 0
2 0
m
m m
+ >
− − >
2
1 2
m
m m
> −
− 或 2 1m∴− < < − 2m >
m ( ) ( )2, 1 2,− − +∞
( ) ( ) ( )log 1 log 3a af x x x= + + − ( )0, 1a a> ≠ ( )1 2f = -（Ⅰ）求 的值及 的定义域；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值.
【答案】（Ⅰ） ， 的定义域为 ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用 可求出实数 的值，再由真数大于零可求出函数 的定义域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，设 ，求出 在 上
的取值范围，再由对数函数的单调性得出函数 在区间 上的最小值.
【详解】（Ⅰ）由 得 ，解得 ，
由 得 ，因此，函数 的定义域为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
令 ，由 得 ，
则原函数为 ， ，由于该函数 在 上单调递减，
所以 ，因此，函数 在区间 上的最小值是 .
【点睛】本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值，对于对数型
复合函数的最值，要求出真数的取值范围，并结合同底数的对数函数单调性求解，考查分析
问题和解决问题的能力，属于中等题.
19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一
学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在 分以下的学生后，共有男生 名，女
生 名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了 名学生，按性别分为两组，并将两组学生
成绩分为 组，得到如下所示频数分布表.
a ( )f x
( )f x 30, 2
1
2a = ( )y f x= ( )1,3− 2−
( )1 2f = - a ( )y f x=
( ) ( )2
1
2
log 2 3f x x x= − + + 2 2 3t x x= − + + t 30, 2x ∈
( )y f x= 30, 2
( )1 2f = - ( )1 log 2 log 2 2a af = + = − 1
2a =
1 0
3 0
x
x
+ >
− > 1 3x- < < ( )y f x= ( )1,3−
( ) ( )( ) ( )2
1 1
2 2
log 1 3 log 2 3f x x x x x= + − = − + +
2 2 3t x x= − + + 30, 2x ∈
( ) [ ]21 4 3,4t x= − − + ∈
1
2
logy t= [ ]3,4t ∈ 1
2
logy t= [ ]3,4t ∈
min 1
2
log 4 2y = = − ( )y f x= 30, 2
2−
30 300
200 100
6分数段
男
女
（Ⅰ）规定 分以上为优分（含 分），请你根据已知条件作出 列联表.
优分 非优分 合计
男生
女生
合计
（Ⅱ）根据你作出的 列联表判断是否有 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
附表及公式：
，其中 .
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）没有.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 分以上为优分并结合表格中的数据可得出 列联表；
（Ⅱ）根据 列联表中的数据计算出 的观测值，再将观测值与 进行大小比较，可
对题中的结论正误进行判断.
【详解】（Ⅰ）由已知得 列联表如下：
优分 非优分 合计
[ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100
3 9 18 15 6 9
6 4 5 10 13 2
80 80 2 2×
100
2 2× 90%
( )2
0P K k≥ 0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
80 2 2×
2 2× 2K 2.706
2 2×男生
女生
合计
（Ⅱ） ，
因为 ，所以没有 以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
【点睛】本题考查 列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用，解题的关键就是结合
的计算公式以及临界值表，计算出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.
20.已知函数 f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数 f （x） 图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b 的值；
（Ⅱ）若曲线 y＝f （x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围．
【答案】（I） ；（II） .
【解析】
【详解】试题分析：（I）由函数 的图象过原点可求得 ，由在原点处的切线斜率为
可得 进而可求得 ；（II）由曲线 存在两条垂直于 轴的
切线得 有两个不同的根，即 ，可解得 的取值范围.
试题解析： ．
（Ⅰ）由题意得 ，解得 ．
（Ⅱ）∵曲线 存在两条垂直于 轴的切线，
∴关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ 即
∴
的
15 45 60
15 25 40
30 70 100
( )2
2 100 15 25 15 45 1.78660 40 30 70K
× × − ×= ≈× × ×
1.786 2.706< 90%
2 2×
2K
( )f x
3− ( )y f x= y
a
2( ) 3 2(1 ) ( 2)f x x a x a a= − − +′ +
y
2( ) 3 2(1 ) ( 2) 0f x x a x a a= + − − + =′∴a 的取值范围是
考点：导数的几何意义.
21.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 与 图象在 上有两个不同的交点，求实数 的取值范
围.
【答案】（Ⅰ）函数 的增区间为 ，减区间 ；（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 代入函数 解析式，求出该函数的定义域和导数 ，然后分别
解不等式 和 可得出函数 的增区间和减区间；
（Ⅱ）令 得出 ，问题转化为：当直线 与函数
在区间 上的图象有两个交点时，求实数 的取值范围，并利用导数
分析函数 在区间 上的单调性、极值和端点函数值，利用数形结合思想
可得出实数 的取值范围，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时， ，定义域为 ，
且 .
令 ，即 ，解得 ；
的
( ) ( )12lnf x x ax a Rx
= + + ∈
2a = ( )f x
( )f x ( )g x ax m= − 1 ,ee
m
( )y f x= 1 3 ,2
− + +∞
1 30, 2
− +
[ )2 ,2ln 2 2e− −
2a = ( )y f x= ( )f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x=
( ) ( )f x g x= 12ln x mx
+ = − y m= −
( ) 12lnh x x x
= + 1 ,ee
m
( ) 12lnh x x x
= + 1 ,ee
m− m
2a = ( ) 12ln 2f x x xx
= + + ( )0, ∞+
( ) 2
2 2
2 1 2 2 12 x xf x x x x
+ −′ = − + =
( ) 0f x′ > 22 2 1 0x x+ − > 1 3
2x
− +>令 ，即 ，解得 .
因此，函数 的增区间为 ，减区间 ；
（Ⅱ）由已知得： 在 有两个不相等的实数根.
令 ， ，由 得 .
当 时， ，此时，函数 为减函数；
当 时， ，此时，函数 为增函数.
所以，函数 在 处取得极小值 ，
又 ， 且 ，
当 时，直线 与函数 在区间 上的图象
有两个交点， ，
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数
问题，在求解含单参数的函数零点个数问题时，可充分利用参变量分离法转化为参数直线与
定函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
四、选做题（本大题共 1 小题，共 10 分，请考生在 22、23 题中任选- -题作答。 如果多做，
则按所做的第一题计分）
22.以平面直角坐标系的坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直
线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .
( ) 0f x′ < 22 2 1 0x x+ − < 1 30 2x
− +< <
( )y f x= 1 3 ,2
− + +∞
1 30, 2
− +
12ln x mx
+ = − 1 ,ee
( ) 12lnh x x x
= + ( ) 2 2
2 1 2 1xh x x x x
−= − = ( ) 0h x = 1
2x =
1 1, 2x e
∈
( ) 0h x′ ≤ ( )y h x=
1 ,2x e ∈
( ) 0h x′ ≥ ( )y h x=
( )y h x= 1
2x = 1 2ln 2 22h = − +
1 2h ee
= − +
( ) 12h e e
= + ( )1h h ee
∴
1 2 3t t+ = 1 2 3t t = −
∴ ( )2
1 2 1 2 1 24 15AB t t t t t t= − = + − =
t
( ) 1f x x x a= − + −
1a = − ( ) 3f x ≥
x R∃ ∈ ( ) 2f x < a
3 3, ,2 2
−∞ − +∞ ( )1,3−【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 代入函数 的解析式，然后分 、 和 三种情况分
别解不等式 ，可得出该不等式的解集；
（Ⅱ）由题意得出 ，然后利用绝对值三角不等式求出函数 的最小值，
解出不等式 ，可得出实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）若 ， ，即 ，
当 时， ，即有 ；
当 时， ，不成立；
当 时， ，解得 .
综上，不等式 的解集为 ；
（2） ，使得 成立，即有 ，
由绝对值三角不等式可得 ，
则 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式成立中的参数取值范围
的求解，要结合已知条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等
题.
1a = − ( )y f x= 1x ≤ − 1 1x− < < 1x ≥
( ) 3f x ≥
( )min 2f x < ( )y f x=
( )min 2f x < a
1a = − ( ) 3f x ≥ 1 1 3x x− + + ≥
1x ≤ − 1 1 3x x− − − ≥ 3
2x ≤ −
1 1x− < < 1 1 2 3x x− + + = ≥
1x ≥ 1 1 2 3x x x− + + = ≥ 3
2x ≥
( ) 3f x ≥ 3 3, ,2 2
−∞ − +∞
x R∃ ∈ ( ) 2f x < ( )min 2f x <
( ) 1f x x x a= − + − ≥ 1 1x x a a− − + = −
1 2a − < 2 1 2a− < − < 1 3a− < <
a ( )1,3−
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