湖北省咸宁市 2018～2019 学年度下学期期末考试
一、选择题。
1.复数 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简复数，即得复数的虚部.
【详解】由题得 .
所以复数的虚部为 1.
故选：C
【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，
属于基础题.
2.已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0．25 B. 0．3 C. 0．75 D. 0．65
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正态分布的图像和性质求解即可.
【详解】由题得 ，
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3.如果函数 的图象如下图，那么导函数 的图象可能是（ ）
2
1
i
i−
i i−
2
1
i
i−
2 (1 ) 2 2= 1(1 )(1 ) 2
i i i ii i
+ − += = − +− +
( )23X N σ∼ ， ( )4 0 25P X > = ． ( )2P X ≥ =
( )2 0 25P X < = ．
( )2P X ≥ = 1 0.25 0.75− =
' ( )y f x=A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： 单调变化情况为先增后减、再增再减 因此 的符号变化情况
为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有 A 符合，故选 A.
考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数
的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点
是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，
根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
4.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中
生是否爱好某项运动，利用 2×2 列联表，由计算可得 K2≈7.245，参照下表：得到的正确结
论是（ ）
0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
的( )y f x= '( )y f x=
0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞
2
0P K k≥（ ）
0kA. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、
C. 在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，结合临界值表，即可直接得出结果.
【详解】由 ，可得有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.
故选 B
【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量 观测值即可，属于基
础题型.
5.在平面直角坐标系中,方程 表示在 x 轴、y 轴上的截距分别为 的直线,类比到
空间直角坐标系中,在 轴、 轴、 轴上的截距分别为 的平面方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是 .
【详解】由类比推理得：若平面在 轴、 轴、 轴上的截距分别为 ，则该平面的方程
为： ，故选 A.
【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平
面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结
的
2 7.245K ≈
2 7.245 6.635K ≈ >
1x y
a b
+ = ,a b
x y z ( ), , 0a b c abc ≠
1x y z
a b c
+ + = 1x y z
ab bc ca
+ + =
1xy yz zx
ab bc ca
+ + = 1ax by cz+ + =
1x y z
a b c
+ + =
x y z , ,a b c
1x y z
a b c
+ + =论证明.如本题中，可令 ，看 是否为 .
6.若函数 无极值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.
【详解】由题得 ，
因为函数 无极值点，
所以 ，
即 .
故选：A
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和
分析推理能力.
7.2019 年 6 月 7 日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了 7 个粽子，其中 3
个腊肉馅，4 个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，
则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设事件 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算
（A）、 的值，从而求得 的值．
【详解】由题意，设事件 为“取出两个粽子为同一种馅”，
事件 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，
0, 0x y= = z c
( ) ( )3 2 0ax bx d af x cx= + + + ≠
2 3b ac≤ 2 3b ac≥ 2 3b ac< 2 3b ac>
2( ) 3 2f x ax bx c′ = + +
( ) ( )3 2 0ax bx d af x cx= + + + ≠
2=4 12 0b ac∆ − ≤
2 3b ac≤
1
7
1
3
3
7
3
10
A B P
( )P AB ( | )P B A
A
B则 （A） ， ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率 计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平和计算能力.
8.用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从
到 成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出 n=k+1 时左边最后的一项，再求左边增加的项数.
【详解】n=k+1 时左边最后的一项为 ，n=k 时左边最后一项为 ，
所以左边增加的项数为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
9.大学生小红与另外 3 名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，若每个村
小学至少分配 1 名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ）
A. 3 B. 18 C. 12 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.
【详解】大学生小红与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，
每个村小学至少分配 1 名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.
的
P
2 2
3 4
2
7
3
7
C C
C
+= =
2
3
2
7
1( ) 7
CP AB C
= =
( ) 1( | ) ( ) 3
P ABP B A P A
∴ = =
( )1 1 11 12 3 3 1n n n N n++ + +…+ < ∈ >− ， n k=
1n k= +
2 3k× 3k 13k+
1
1
3 1k+ −
1
3 1k −
13 1 3 1 2 3k k k+ − − + = ⋅小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数
故选：C
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析
推理能力.
10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设
为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ．若
， ，则 的值可以是
A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018
【答案】C
【解析】
分析：首先求得 a 的表达式，然后列表猜想 的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算
即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ，结合二项式定理可得：
，
计算 的数值如下表所示：
底数 指数 幂值
5 1 5
5 2 25
5 3 125
5 4 625
5 5 3125
5 6 15625
5 7 78125
.
3 2 2
3 3 2 12m A C A= + =
( ), , 0a b m m >
a b m a b m ( )moda b m≡
0 1 2 2 20 20
20 20 20 202 2 2a C C C C= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ( )mod8a b≡ b
205
( ) ( )20 20202 1 3 8 5a = + = = −
( ) ( ) ( ) ( )0 1 19 200 20 1 19 19 1 20 0
20 20 20 208 5 8 5 8 5 8 5a C C C C= × × − + × × − + × × − + × × −
( )*5n n N∈5 8 390625
5 9 1953125
5 10 9765625
据此可猜想 最后三位数字为 ，则： 除以 8 的余数为 1，
所给选项中，只有 2017 除以 8 的余数为 1，
则 的值可以是 2017.
本题选择 C 选项.
点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
11.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤
侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出
了如下要求：重点任务 必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不
同安排方案共有（ ）
A. 240 种 B. 188 种 C. 156 种 D. 120 种
【答案】D
【解析】
当 E,F 排在前三位时， =24,当 E,F 排后三位时， =72，
当 E,F 排 3，4 位时， =24，N=120 种，选 D.
12.设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
205 625 205
b
A E F
2 2 3
1 2 2 3( )N A A A= 1 2 2 2
2 3 3 2 2( )( )N C A A A=
1 1 2 2
3 2 3 2 2( )N C A A A=
( )f x ( )0−∞， ( )'f x
( ) ( )3 ' 0f x xf x+ < ( ) ( ) ( )32019 2019 8 2 0x f x f+ + + − <
( )2021 2019− −， ( )2021−∞ −，
( )2019 2017− −， ( )2021− + ∞，【解析】
【分析】
根据条件，构造函数 ，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数
在 上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变
量值的关系从而解出不等式即可．
【详解】构造函数 ， ；
当 时，
， ；
；
在 上单调递减；
， ；
由不等式 得：
；
，且 ；
；
原不等式的解集为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查
学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题.
13.曲线 在 （其中 为自然对数的底数）处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
3( ) ( )g x x f x=
( ,0)−∞
3( ) ( )g x x f x= 2( ) (3 ( ) ( ))g x x f x xf x′ = + ′
0x <
3 ( ) ( ) 0f x xf x+ ′
( ) 0g x∴ ′ <
( )g x∴ ( ,0)−∞
3( 2019) ( 2019) ( 2019)g x x f x+ = + + ( 2) 8 ( 2)g f− = − −
∴ 3( 2019) ( 2019) 8 ( 2) 0x f x f+ + + − <
3( 2019) ( 2019) 8 ( 2)x f x f+ + < − −
( 2019) ( 2)g x g∴ + < −
2019 2x∴ + > − 2019 0x + <
2021 2019x∴− < < −
∴ ( 2021, 2019)− −
A
( ) lnf x x x= x e= e
2y x e= −求出原函数的导函数，得到 （e），再求出 （e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线
方程．
【详解】由 ，得 ，
（e） ．
即曲线 在点 ， （e） 处的切线的斜率为 2，
又 （e） ．
曲线 在点 ， （e） 处的切线方程为 ，
即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就
是该点处的导数值．
14. ____．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求得 和 的值，相加求得表达式的结果.
【详解】由于 表示圆心在原点，半径为 的圆的上半部分，故
. .故原式 .
【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.
15.在 的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
f ′ f
( )f x xlnx= ( ) 1f x lnx′ = +
f∴ ′ 1 2lne= + =
( )f x xlnx= (e f )
f elne e= =
∴ ( )f x xlnx= (e f ) 2( )y e x e− = −
2y x e= −
2y x e= −
4 2 32
4
2
16 x dx x dx
π
π − −
− + =∫ ∫
8π
4
2
4
16 x dx
−
−∫ 2
3
2
x dx
π
π−
∫
216y x= − 4
4
2
4
16 x dx
−
−∫
21 π 4 8π2
= × × =
2
3
2
x dx
π
π−
∫ π4
2
π
2
| 04
x
−
= = 8π=
( ) 8
2 11 2 1x x
+ + 【答案】57
【解析】
【分析】
先求出 的展开式中的常数项和 的系数，再求 的常数项.
【详解】由题得 的通项为 ，
令 r=0 得 的常数项为 ,
令-r=-2，即 r=2,得 的 的系数为 .
所以 的常数项为 1+2×28=57.
故答案为：57
【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和计算能力.
16. 总决赛采用 7 场 4 胜制，2018 年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛
勇士获胜的概率为 0.6，骑士获胜的概率为 0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好 5 场比
赛决出总冠军的概率为_______．
【答案】0.2688
【解析】
【分析】
恰好 5 场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前 4 局勇士队 3 胜一负，第 5 局勇士胜，
另一种情况是前 4 局骑士队 3 胜一负，第 5 局骑士胜，由此能求出恰好 5 场比赛决出总冠军
的概率．
【详解】恰好 5 场比赛决出总冠军的情况有两种：
一种情况是前 4 局勇士队 3 胜一负，第 5 局勇士胜，
另一种情况是前 4 局骑士队 3 胜一负，第 5 局骑士胜，
恰好 5 场比赛决出总冠军的概率为：
811 x
+
2x− ( ) 8
2 11 2 1x x
+ +
811 x
+ 1 8 8
1( )r r r r
rT C C xx
−
+ = =
811 x
+
0
8 1C =
811 x
+
2x− 2
8 28C =
( ) 8
2 11 2 1x x
+ +
NBA
∴．
故答案为：0.2688．
【点睛】本题考查概率的求法，考查 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率计算公
式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
三、解答题.
17.已知复数 z 满足|3+4i|+z=1+3i.
(1)求 ；
(2)求 的值.
【答案】（1） ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）先求出为 ,即可求出 ，再根据共轭复数的定义即可求出 ；（2）根据复数
的运算法则计算即可得出结论.
【详解】(1)因为|3+4i|=5,
所以 z=1+3i-5=-4+3i,所以 =-4-3i.
(2) = = =2.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚
部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母
实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造
成不必要的失分.
18.（1）用分析法证明： ;
（2）如果 是不全相等的实数，若 成等差数列，用反证法证明： 不成等差
数列.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
3 3 1 3
4 40 6 0.4 0.6 0.6 0 4 0.4 0.2688p C C= × ⋅ × × + × × ⋅ × =
n A k
z
( ) ( )21 3 4i i
z
+ +
4 3i− −
3 4i 5+ = z z
6 7 2 2 5+ > +
, ,a b c , ,a b c 1 1 1, ,a b c分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得 显然成立，从而可得结果；
（2）假设 成等差数列，可得 ，结合 可得 ，与 是不
全相等的实数矛盾，从而可得结论.
详解：（1）欲证
只需证： 即
只需证： 即 显然结论成立
故
（2）假设 成等差数列，则
由于 成等差数列，得 ①
那么 ，即 ②
由①、②得 与 是不全相等的实数矛盾。
故 不成等差数列。
点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式
的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅
需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题
时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.
19.2018 年双 11 当天，某购物平台的销售业绩高达 2135 亿人民币．与此同时，相关管理部门
推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评
价进行统计，对商品的好评率为 0.9，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好
评的交易为 140 次．
（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过 0.5％的前提下，认为商品好评与服
务好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 140
42 40>
1 1 1, ,a b c
2b ac= 2b a c= + a b c= = , ,a b c
6 7 2 2 5+ > +
( ) ( )2 2
6 7 2 2 5+ > + 6 2 42 7 8 4 10 5+ + > + +
42 2 10> 42 40>
6 7 2 2 5+ > +
1 1 1, ,a b c
2 1 1 a c
b a c ac
+= + =
, ,a b c 2b a c= +
2 2a c b
b ac ac
+= = 2b ac=
a b c= = , ,a b c
1 1 1, ,a b c对商品不满意 10
合计 200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的
次数为 X．
①求随机变量 X 的分布列；
②求 X 的数学期望和方差．
附： ，其中 n＝a＋b＋c＋d．
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）详见解析（2）①详见解析② ，
【解析】
【分析】
(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都
好评的概率为 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3，x 符合二项分布，按照二项分布的公式进
行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.
【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表：
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 140 40 180
对商品不满意 10 10 20
合计 150 50 200
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
21( ) 10E X = 63( ) 100D X =
7
10则 ．
由于 7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过 0.5％的前提下，认为商品好评与服务好
评有关．
（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 ，
且 X 的取值可以是 0，1，2，3，
则 ， ，
， ．
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
（ⅱ）由于 X～B（3， ），则 ， ．
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何
概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，
求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列
或某事件的概率是否正确.
20.如图，已知 、 两个城镇相距 20 公里，设 是 中点，在 的中垂线上有一
高铁站 ， 的距离为 10 公里.为方便居民出行，在线段 上任取一点 （点 与
、 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到 处，再铺设快速路分别到 、
( )2
2 200 1400 400 7.407150 50 180 20K
× −= ≈× × ×
7
10
( ) 33 270 10 1000P X = = =
( ) 2
1
3
3 7 1891 C 10 10 1000P X = = =
( ) 2
2
3
3 7 4412 C 10 10 1000P X = = =
( ) 37 3433 10 1000P X = = =
27
1000
189
1000
441
1000
343
1000
7
10
( ) 7 213 10 10E X = × = ( ) 7 7 633 110 10 100D X = × × − =
A B M AB AB
P PM PM O O
P M O A两处.因地质条件等各种因素，其中快速路 造价为 1.5 百万元/公里，快速路 造
价为 1 百万元/公里，快速路 造价为 2 百万元/公里，设 ，总造价为
(单位：百万元).
（1）求 关于 的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时 的值.
【答案】（1） ，( )（2）最小值为 ，此时
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到 ；
（2）构造函数 ，利用导数求得函数的单调性，即可求解函
数的最值。
【详解】(1) ,
， ，
，
(2)设
则
B PO OA
OB radOAM θ∠ = y
y θ
θ
2y 15 tan 15cos
θθ
= − + 0 4
πθ< < 15 3 15+
6
πθ =
215 tan 15,(0 )cos 4y
πθ θθ
= − + < ( )y f θ=
( )f θ 36f
π =
y 15 3 15+
6
πθ =
( ) ( ) ( )3 21 113 2 3
af x x a x x a R= − + + − ∈
1a > ( )f x
0 1a< < ( )f x [ ]0,2
( ) ( ) 11f x a x x a
= − −
′ 1a > 10 1a
< <
( )f x
0 1a< < 1 1a
> 11 2a
< < 1 2a
≥
( ) ( )3 21 113 2 3
af x x a x x= − + + −
( ) ( ) ( )2 11 1 1f x ax a x a x x a
′ = − + + = − −
1a > 10 1a
< <
( ) ( ),f x f x′1
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
由表可得当 时， 有极大值，且极大值为 ，
当 时， 有极小值，且极小值为 .
（2）由（1）得 。
∵ ，∴ .
① 当 时， 在 上单调递增，在 上递减
又因为
所以 在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，
所以 上有两个零点。
② 当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上递减，在 上
递增，
又因为
所以 在 上有且只有一个零点，在 上没有零点，
所以在 上有且只有只有一个零点.
综上：
当 时， 在 上有两个零点；
x 1, a
−∞
1
a
1 ,1a
( )1,+∞
( )f x′ + - +
( )f x
1x a
= ( )f x
2
2
1 2 3 1
6
a af a a
− + − =
1x = ( )f x ( ) ( )11 16f a= − −
( ) ( ) 11f x a x x a
= − −
′
0 1a< < 1 1a
>
1 12 0 2aa
≥ < ≤，即 ( )f x ( )0,1 ( )1,2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 0, 1 1 0, 2 2 1 03 6 3f f a f a= − = − − = − ≤
( )f x
( ) [ ]0,2f x 在
11 2a
< < 1 12 a< < ( )f x ( )0,1 11, a
1 ,2a
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 1 11 1 10 0, 1 1 0, 03 6 6
a af f a f a a
− − − = − = − − = >
( )f x [ ]0,1 [ ]1,2
[ ]0,2
10 2a< ≤ ( )f x [ ]0,2当 时， 在 上有且只有一个零点。
点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法
研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化
趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结
合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.以坐标原点为极
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）已知直线 与 轴交于点 ，且与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
【答案】（1）直线 的直角坐标方程为 ， 的普通方程 ；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 利 用 将 直 线 的 极 坐 标 方 程 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 . 利 用
将曲线 的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得 点的坐标，写出
直线 的参数方程并代入 的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出
所要求的表达式的值.
【详解】解：（1）因为直线 的极坐标方程为 ，所以直线 的直角坐标方
程为 .
因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），所以曲线 的普通方程 .
（2）由题可知 ，
所以直线 的参数方程为 ，（ 为参数），
1 12 a< < ( )f x [ ]0,2
xOy C
3cos
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
x l (cos sin ) 1ρ θ θ− =
C l
l y M C A B
1 1
| | | |MA MB
−
l 1 0x y− − = C 2 2 9x y+ = 2
8
cos , sinx yρ θ ρ θ= = l
2 2cos sin 1θ θ+ = C M
l C
l ( )cos sin 1ρ θ θ− = l
1 0x y− − =
C
3
3
x cos
y sin
θ
θ
=
=
θ C 2 2 9x y+ =
( )0, 1M −
l
2
2
21 2
x t
y t
=
= − +
t代入 ，得 .
设 ， 两点所对应的参数分别为 ， ，
则 ， .
.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的
几何意义，属于中档题.
23.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ．(2)
【解析】
【分析】
（1）利用零点分类讨论法解绝对值不等式；（2）由题得 对任意 成立，
即 对任意 成立，再求实数 的取值范围．
【详解】（1）当 时，不等式 可化为 ．
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ．
综上，当 时，不等式 的解集为 ．
（2）∵ 对任意 成立，
∴ 任意 成立，
2 2 9x y+ = 2 2 8 0t t− − =
A B 1t 2t
1 2 2t t+ = 1 2 8t t = −
1 1
MA MB
− = 1 2
1 2
2
8
MB MA t t
MA MB t t
− += =
( ) ( )2 2f x x x a x R= + + − ∈
0a = ( ) 7f x ≥
( ) 2 4f x x≤ + [ ]1 0x∈ − ， a
53 3
− ， [ ]21− ，
2x a− ≤ [ ]1 0x∈ − ，
2 2x a x− +≤ ≤ [ ]1 0x∈ − ， a
0a = ( ) 7f x ≤ 2 2 7x x+ + ≤
0x > 2 2 7x x+ + ≤ 5
3x≤ 50 3x< ≤
1 0x− ≤ ≤ 2 2 7x x+ − ≤ 5x ≤ 1 0x− ≤ ≤
1x < − ( )2 2 7x x− + − ≤ 3x ≥ − 3 1x− ≤ < −
0a = ( ) 7f x ≤ 53 3
− ，
( ) 2 4f x x≤ + [ ]1 0x∈ − ，
2 2 2 4x x a x+ + − +≤ [ ]1 0x∈ − ，∴ 对任意 成立，
所以 对任意 成立
又当 时， ，
故所求实数 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对
这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2x a− ≤ [ ]1 0x∈ − ，
2 2x a x− +≤ ≤ [ ]1 0x∈ − ，
[ ]1 0x∈ − ， ( ) ( )min max2 1 2 1 2 2x x+ = − + = − = −，
a [ ]21− ，
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