山东青岛市黄岛区2020届高三数学上学期期中试题（Word版含答案）

高三数学第 1 页 共 4 页 2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测 高三数学 2019.11 本试卷 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1 ． 已 知 全 集 为 R ， 集 合 2{ R| 2 0}A x x x    ， 集 合 { | ln 1 0}B x x   ， 则 R( )C A B  （ ）A．[0,2] B． (0,2] C．[0, ]e D． (0, ]e 2．若点 4 4(sin ,cos )3 3M   在角 的终边上，则 cos2  （ ） A． 2 1 B． 2 1 C． 2 3 D． 2 3 3．已知平面向量 (2,1), ( 3 ,3)AB AC t    ，若 //AB AC   ，则| |BC  （ ） A． 2 5 B． 20 C． 5 D． 2 4．已知函数      3),1( 3,)3 1(4)( xxf xxf x ，则  )log1( 4 3f （ ） A．144 B． 3 1 C． 9 1 D． 36 1 5．若先将函数 )32sin(2  xy 的图象向左平移 6  个单位，再保持图象上所有点的纵坐 标不变横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 )(xgy  的图象，则  )3( g （ ） A．1 B． 3 C． 3 D． 2 6．函数 3 2 )2( )44lg()(   x xxxf 的部分图象大致为（ ） A B C D y O x2 y O x2 y O x2 y O x2高三数学第 2 页 共 4 页 7．已知 3 1)3cos(   ，则  )26 7sin(  （ ） A． 3 1 B． 3 1 C． 9 7 D． 9 7 8．设 ,  为两个平面，则  的充要条件是（ ） A． 内有一条直线与  垂直 B． 内有一条直线与  内两条直线垂直 C． 与  均与同一平面垂直 D． 与  均与同一直线垂直 9．若函数 )0(coscoscos2sin2sin)( 2   xxxf 的一个极大值点为 6  ， 则  （ ） A． 0 B． 6  C． 4  D． 3  10 ． 英 国 数 学 家 泰 勒 发 现 了 如 下 公 式 ： 2 4 6 cos 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 x x xx              ．则下列数值更接近 4.0cos 的 是（ ） A． 0.91 B． 0.92 C． 0.93 D． 0.94 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 11．下列结论正确的是（ ） A．若 2 2a b ，则 1 1 a b  B．若 0x  ，则 4 4x x   C．若 0a b  ，则 lg lga b D．若 0ab  ， 1a b  则 1 1 4a b   12．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，下列直线或平面与平面 1ACD 平行的有（ ） A．直线 1A B B．直线 1BB C．平面 1 1A DC D．平面 1 1A BC 13．若函数 ( ) 1xf x e  与 ( )g x ax 的图象恰有一个公共点，则实数 a 可能取值为（ ） A． 2 B．1 C． 0 D． 1 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 14．声强级 IL （单位：dB）由公式 1210lg( )10I IL  给出，其中 I 为声强（单位： 2W/m ）． （1）平时常人交谈时的声强约为 610 2W/m ，则其声强级为 dB； （2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 21W/m ，能听到的最低声强为 12 210 W/m ， 则正常人听觉的声强级范围为 dB．高三数学第 3 页 共 4 页 15．已知等差数列{ }na 满足： 2 3 5 5a a a   ， *Nn ，则数列{sin( )}2 na  的前 2019 项和等于 ． 16 ． 在 ABC 中 ， 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c ， 若 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B   ， ABC 的面积 3S  ，则 c 的取值范围 为 ． 17 ． 已 知 三 棱 锥 P ABC 的 三 条 侧 棱 , ,PA PB PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且 2PA PB PC   ，则三棱锥 P ABC 的外接球与内切球的半径比为 ． 四、解答题：共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（12 分） 在 ABC 中， ,E F 分别为线段 ,BC AC 上的点， //EF AB ， 3AB  ， 2EF  ， 2 3AE  ， 3BAC   ． （1）求 EAC ； （2）求 BC 的长度． 19．（14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， //AB CD ，AB BC ， 2AB  ， 1PA PD CD BC    ，面 PAD  面 ABCD ， E 为 AD 的中点． （1）求证： PA BD ； （2）在线段 AB 上是否存在一点G ，使得 //BC 面 PEG ？若存在，请证明你的结论； 若不存在，请说明理由； 20．（14 分） 已知数列{ }na 满足： 1 10a  ， 2 1n na a  ， lgn nb a ， 2logn nc b ， *Nn ． （1）证明：数列{ }nb 为等比数列； （2）证明：数列{ }nc 为等差数列； （3）若数列 1{ }2 nb 的前 n 项和为 nS ，数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ，数列 1{ } nT n 的前 n 项和为 nW ，证明： n nW S ． C A D E P B高三数学第 4 页 共 4 页 21．（14 分） 图1是由菱形 ABCD ，平行四边形 ABEF 和矩形 EFGH 组成的一个平面图形，其中 2AB  ， 1BE EH  ， 3ABC   ， 4ABE   ，将其沿 ,AB EF 折起使得CD 与 HG 重合，如图 2 ． （1）证明：图 2 中的平面 BCE 平面 ABEF ； （2）求图 2 中点 F 到平面 BCE 的距离； （3）求图 2 中二面角 CABE  的余弦值． 22．（14 分） 已知函数 ( ) ln 1( R)f x a x x a    ． （1）求函数 ( )f x 的极值； （2）若 ( ) 0f x  ，求 a 的值． 23．（14 分） 已知自变量为 x 的函数 1 1( ) (ln ln ) 12 x n n n ef x n x n e      的极大值点为 nx P ， *Nn ， 2.718e  为自然对数的底数． （1）若 1n  ，证明： 1( )f x 有且仅有 2 个零点； （2）若 1 2 3, , , , nx x x x 为任意正实数，证明：   1 ( ) 4 n i i i i f x P   ． A B ( )C H ( )D G E F 图1 B C D E F H G A 图 2高三数学答案第 1 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 2019-2020 学年度第一学期期中学业水平检测 高三数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1  10：C B A C C A D A D B 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。 11. BCD; 12. AD; 13. BCD; 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 14. （1） 60 ；（2） 120,0 ； 15. 0 ； 16. 2c  ； 17. 3( 3 1) 2  ； 四、解答题：共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（12 分） 解：（1）在 ABC 中： ABEF// ，所以 3 2AFE ························ 2 分 在 AFE 中由正弦定理知： 2 1sinsinsin  EAFEAF EF AFE AE ··················5 分 又因为 3 2AFE 为钝角，所以 6 EAF ·················································· 6 分 （2）因为 3 2AFE ， 6 EAF ，所以 6 AEF ， 2 EFAF ·············8 分 又因为 ABEF// ， 3AB ， 2EF ，所以 2 AF CF ，即 6AC ··························9 分 在 ABC 中由余弦定理知： 2 2 2 2 cos 27BC AB AC AB AC BAC        ······································ 11 分 3 3BC  ····························································································· 12 分 19.解：（1）取 AB 中点 F ，连接 DF ， / /DC AB 且 1 2DC AB / /DC BF 且 DC BF 所以四边形 BCDF 为平行四边形 ， 又 AB BC , 1BC CD  所以四边形 BCDF 为正方形···········································································2 分 在 RtΔAFD 中，因为 1DF AF  ，所以 2AD  在 RtΔBCD 中，因为 1BC CD  ，所以 2BD  因为 2AB  ，所以 2 2 2AD BD AB  ， BD AD ···········································4 分 因为 BD  面 ABCD ，面 PAD  面 ABCD AD ，面 PAD  面 ABCD 所以 BD  面 PAD ·······················································································6 分 因为 PA  面 PAD 所以 PA BD ·····························································································7 分 C BFA D E P G高三数学答案第 2 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） （2）线段 AB 上存在一点G ，满足 1 4AG AB 即G 为 AF 中点时， BC ∥面 PEG ·································································9 分 证明如下：连结 EG ， E 为 AD 的中点, G 为 AF 中点, / /GE DF 又 / /DF BC ，所以 / /GE BC ，································································ 12 分 GE  面 PEG ， BC  面 PEG ， BC ∥面 PEG ·······································14 分 20.（14 分）解：（1）因为 2 1 1lg lg 2lg 2lg lg lg n n n n n n n n b a a a b a a a      ····························· 2 分 又因为 1 1lg 1b a  ，··················································································· 3 分 所以 nb 是首项为1公比 2 的等比数列······························································ 4 分 （2）由（1）得： 12lg  n nn ab ·································································· 5 分 所以 1)(lglog2  nac nn ··········································································· 6 分 所以 1)1(1  nncc nn ········································································· 7 分 所以 nc 是公差为1的等差数列······································································· 8 分 （3）由（2）知： n nb 2 1 2 1  ， n n nS 2 11 2 11 )2 11(2 1     ·····································10 分 因为 2 )1(  nnTn ，所以 )1 11(2)1( 21  nnnnnTn ·································· 12 分 所以 1 22)1 11...3 1 2 1 2 1 1 1(2  nnnWn ········································13 分 所以 nnn SnnW  2 1111 2111 22 ············································ 14 分 21.（14 分） 解：（1）由题知，在 BEC 中： 2 2 2BC EC BE  所以 BECE  ·····························1 分 又在矩形 EFGH 中： EFCE  ····· 2 分 且 EBEEF  ·························· 3 分 所以 CE 平面 ABEF ··················4 分 又因为 CE 平面 BCE ·················5 分 所以平面 BEC 平面 ABEF ··········6 分 （2）由（1）知：CE AE ，又在菱形 ABCD 中： = 2AC ， 所以在直角三角形 AEC 中： 2 2 2= 1, 1AE AC CE AE   所以在 AEB 中， 2 2 2= ,AB AE BE AE BE  ············································ 7 分 A B ( )C H ( )D G E F x z y高三数学答案第 3 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 又因为平面 BCE 平面 ABEF ，且平面 BCE 平面 BEABEF  ······················· 8 分 所以 AE  平面 BCE ····················································································9 分 又因为 //AF 平面 BCE ，所以点 F 到平面 BCE 的距离为 1AE  ·······················10 分 （3）以 E 为坐标原点，分别以 EAECEB 、、 为 zyx 、、 轴建立空间直角坐标系 E xyz 所以 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0( ACBE ······················································ 11 分 由（1）知平面 ABE 的法向量为 (0,1,0)m EC    ,··········································· 12 分 设平面 ABC 的法向量 ( , , )n x y z  ，因为 ( 1,0,1)BA    ， ( 1,1,0)BC    由 0 0 n BA n BC          ，得      0 0 yx zx ，所以 (1,1,1)n   ·············································13 分 所以 | | 3cos 3| || | m n m n        ， 即二面角 CABE  的余弦值为 3 3 ····························································· 14 分 22.（14 分）解：（1）由题知： )0(1)(  xx axf ·········································· 1 分 当 0a  时， 0)(  xf ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，所以 ( )f x 无极值················ 3 分 当 0a  时， 0)(  xf 得 ax  ·······································································4 分 当 (0, )x a 时， 0)(  xf ，所以 ( )f x 在 (0, )a 上单调递增； 当 ( , )x a  时， 0)(  xf ，所以 ( )f x 在 ( , )a  上单调递减； 所以 ( )f x 在 x a 时取得极大值 ( ) ln 1f a a a a   ····································· 6 分 综上： 0a  时， ( )f x 无极值； 当 0a  时， ( )f x 有极大值 ( ) ln 1f a a a a   ，无极小值······················7 分 （2）若 ( ) 0f x  恒成立················································································ 8 分 由(1)知当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，又因为 0)1( f ， (0,1)x  时 ( ) 0f x  ················································································· 9 分 (1, )x  时 ( ) 0f x  所以 0a  时，不存在符合题意的 a 值···························· 10 分 若 0a  时，由（1）知： 若 ( ) 0f x  恒成立，只需 01ln)()(  aaaafxf ·································· 11 分高三数学答案第 4 页 共 4 页（数学是有生命的，题目是有经典的） 令 1ln)(  aaaag ，则 aag ln)(  ， 0)(  ag 得 1a ·······························12 分 当 )1,0(a 时， 0)(  ag ，所以 )(ag 在 )1,0( 上单调递减； 当 ),1( a 时， 0)(  ag ，所以 )(ag 在 ),1(  上单调递增；·························· 13 分 且 0)1( g ，因此 1a ················································································14 分 23.（14 分）解：（1）由题知： 1 1( ) ln 2xf x x e    ·········································· 1 分 1 1 1( ) ,xf x ex    令 11( ) xg x ex   ， 1 2 1( ) 0xg x ex      ····························· 3 分 ( )f x 在 (0, ) 单调递减，又 1 1 1(1) 0xf ex     ······································4 分 1 1(0,1), ( ) 0; (1, ), ( ) 0x f x x f x       ······················································· 5 分 故 )(1 xf 在 )1,0( 上单调递增；在 ),1(  上单调递减；所以 1)1()( 11  fxf ；·········· 6 分 又因为 0)( 12 1 2   eeef ， 0424444)( 331212 1 22   eeeef e 所以 )(1 xf 在 )1,0( ， ),1(  上各恰有零点，即 1( )f x 有且仅有 2 个零点···················8 分 （2）由题知 nx n ex nxf  )( ··········································································9 分 因此 0)(),,(;0)(),,0(,0)(   xfnxxfnxen nnf nn nn n ···················· 10 分 故 )(xfn 在 ),0( n 上单调递增；在 ),( n 上单调递减； 因此 nPn  且 12 1)()(  nnn nfxf ······························································· 11 分 1 1( ) 2n n nf x  ，所以 1 1 1 ( ) ( )2 n n i i i n i i nf x P      ·················································12 分 记    n i n n 1 1 )2( 为 nW ，所以 1210 2......2 3 2 2 2 1  nn nW nn n nnW 22 1......2 3 2 2 2 1 2 1321   所以 nn n nW 22 1......2 1 2 112 12   所以 nn nn nnW 2 222 2 11 )2 11(1 2     ， 所以 1 24 42n n nW     因此 1 1 1 ( ) ( ) 42 n n i i i n i i nf x P       ，即   1 ( ) 4 n i i i i f x P   ······································· 14 分