高三数学上学期期末试题.pdf

高三数学第 1 页 共 6 页 2019-2020 学年度第一学期期末学业水平检测 高三数学试题 本试卷 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡 上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2．作答选择题时：选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选 择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以 上要求作答无效； 3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．集合 2{ R | 2 0}A x x x     ，集合 { R | }xB x e e   ，则 BA （ ） A． )2,1( B． (1,2] C．[1,2] D．[1,2) 2．已知i 是虚数单位，复数 ( R)1 a i ai   为纯虚数的充要条件是（ ） A． 2a  B． 1a  C． 1a   D． 2a   3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到140分之间（满 分150 分），为统计学生的这次考试情况，从中随机 抽取100 名学生的考试成绩作为样本进行统计．将 这100 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分 成八组：第一组[60,70) ，第二组[70,80) ，第三组 [80,90) ，……．如图是按上述分组方法得到的频率 分布直方图的一部分．则第七组的频数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16高三数学第 2 页 共 6 页 4．设函数 ( )f x 的定义域为 R ，满足 ( 2) 2 ( )f x f x  ，且   12 , (0,1)( ) ln( 2), 1,2 x xf x x x      ． 则 ( )f e  （ ） A． 12e B． 2e C． 12e D． ln( 2)e  5．在直角梯形 ABCD 中， 4AB  ， 2CD  ， //AB CD ， AB AD ， E 为 BC 的中 点，则 ( )AB AC AE     （ ） A． 20 B．16 C．12 D．8 6．已知函数 ( ) 1 | | xf x x   ，则不等式 ( 3) (2 ) 0f x f x   的解集为（ ） A． ( , 3)  B． ( ,1) C． ( 3, )  D． (1, ) 7．三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在 半径为 2 的球上，则三棱锥 P ABC 的体积最大值为（ ） A． 2 3 3 4  B． 3 3 4 C． 3 2 3 4  D． 9 6 3 4  8 ． 已 知 定 义 在 R 上 函 数 ( )f x 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 满 足 (1 ) (1 )f x f x   ， ( ) ( )f x f x   ，且 ( )f x 在[0,1] 上单调递增，若 2(log 3)a f ， ( 10)b f ， (2020)c f ，则（ ） A． a b c  B． a c b  C． c b a  D．b c a  二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．已知点 )0,1(F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A． xy 42  B． yx 42  C． )20(1sincos 2 2 2 2   yx D． )20(1sincos 2 2 2 2   yx高三数学第 3 页 共 6 页 10．在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 在棱 1CC 上，则下列结论正确的是 （ ） A．直线 BM 与平面 1 1ADD A 平行 B．平面 1BMD 截正方体所得的截面为三角形 C．异面直线 1AD 与 1 1AC 所成的角为 3  D． 1| | | |MB MD 的最小值为 5 11．对于函数 ( ) 3sin( ) 13f x x    （其中 0  ），下列结论正确的是（ ） A．若 2  ， [0, ]2x  ，则 ( )y f x 的最小值为 1 2  ； B．若 2  ，则函数 3sin 2 1y x  的图象向右平移 3  个单位可以得到函数 ( )y f x 的图象； C．若 2  ，则函数 ( )y f x 在 (0, )2  上单调递增； D．若函数 ( )y f x 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 4  ，则 2  ． 12．如图 (2,0), (1,1), ( 1,1), ( 2,0)A B C D  ， CD 是以 OD 为直径的圆上一段圆弧， CB 是以 BC 为直径的圆上一段圆弧， BA 是以 OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构 成曲线W ．则下述正确的是（ ） A．曲线W 与 x 轴围成的面积等于 2 ； B．曲线W 上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点）； C． CB 所在圆的方程为： 2 2( 1) 1x y   ； D． CB 与 BA 的公切线方程为： 2 1x y   ． 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若命题“ 0 Rx  ， 2 0 02 0x x a   ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 14．已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 2 13 2 0S S S   ，则 2 1 a a  ． 15 ． 若 二 项 式 (1 3 )nx *( N )n 的 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 为 32 ， 则 n  ；该二项式展开式中含有 3x 项的系数为 ． y x C B D AO高三数学第 4 页 共 6 页 16．黄金分割比 5 1 0.6182    被誉为“人间最巧的比例”．离心率 5 1 2e  的椭 圆被称为“优美椭圆”，“优美椭圆” 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右顶点分别为 ,A B ，“优美椭圆”C 上动点 P （异于椭圆的左右顶点），设直线 ,PA PB 的斜率分 别为 1 2,k k ，则 1 2k k  ． 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 已知数列{ }na ，{ }nb 满足， 1 11, 0a b  ， 1 14 4 3 ,4 3 4n n n n n nb a b a a b       ， *Nn ． （1）证明：数列{ }n na b 为等差数列，数列{ }n na b 为等比数列； （2）记数列{ }na 的前 n 项和为 nW ，求 nW 及使得 9nW  的 n 的取值范围． 18．（12 分） 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 sin sin 2 B Ca B b  ． （1）求 A ； （2）若 2 cb ，求 a 取最小值时 ABC 的面积 S ． 19．（12 分） 如图，在三棱台 ABC DEF 中， 2BC EF ， ,G H 分别为 ,AC BC 上的点， 平面 //GHF 平面 ABED ， ,CF BC AB BC  ． （1）证明：平面 BCFE  平面 EGH ； （2）若 , 2 2AB CF AB BC CF    ，求二面角 B AD C  的大小． F C B A D E G H高三数学第 5 页 共 6 页 20．（12 分） 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如下： （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？并说明理由； （2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计， 得到以下数据分布： 选择意愿 人员结构 40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下 男性 40 岁以下 女性 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 2K 的观测值为 1 5.5513k  ，测得出 “选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选 择 意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪（元） 6000 7000 8000 9000 月薪（元） 5000 7000 9000 11000 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 2( )P K k 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879高三数学第 6 页 共 6 页 21．（12 分） 已知函数 2 ( ) sin ln(1 )2 xf x x x    ． （1）证明： ( ) 0f x  ； （2）数列{ }na 满足： 1 10 2a  ， 1 ( )n na f a  *( N )n ． （ⅰ）证明： 10 2na  *( N )n ； （ⅱ）证明： *Nn  ， 1n na a  ． 22．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 2(1, )2Q 满足 1 2| | | | 2QF QF a  ，直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线l 过 2F 点，且 2 22AF F B  ，求直线 l 的方程； （3）若直线l 与曲线 lny x 相切于点 ( ,ln )( 0)T t t t  ，且 AB 中点的横坐标等于 2 3 ． 证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标．