7.翻折问题
1.在 中， ， ， 为 延长线上一点， 为
内部一点，且 ．
（1）若 ，如图 1，直接写出 间的数量关系：___________；
（2）若 ，如图 2，求证： ；
（3）在（2）的条件下，如图 3，将线段 沿 翻折，翻折后的点 落在点 处，且
，连接 ，交 的延长线于 ，若 ，求 的长．
解析：（1）
提示：作 于 ， 交 延长线于
∵ ，
∴
ABC AB AC＝ 60BAC∠ °＜ D BC E ACD∠
90ABE ECD∠ ∠ °＋ ＝
60ABE∠ °＝ AC BE、
45ABE∠ °＝ 2BE AC＝
BA BE A M
MC BC⊥ EM BC N 2CN＝ AN
AC BE＝
AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G
AB AC＝
1
2BF FC BC＝ ＝∵
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∴
（2）作 于 ， 交 延长线于
[来源:学,科,网]
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴
90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °＋ ＝ ， ＝
30ECD∠ °＝
30BCG∠ °＝
160 2CBG BG BC∠ °＝ ， ＝
ABF EBG BF BG∠ ∠＝ ， ＝
Rt ABF Rt EBG ≌
AB BE＝
AC BE＝
AF BC⊥ F BG CE⊥ EC G
AB AC＝
1
2BF FC BC＝ ＝
90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ °＋ ＝ ， ＝
45ECD∠ °＝
45BCG∠ °＝∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（3）作 于 ， 于
则 ，
由题意，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
45CBG∠ °＝ 2
2 2BG BC BF＝ ＝
ABF EBG∠ ∠＝
Rt ABF Rt EBG ∽
2BE BG
AB BD
= =
2BE AB＝
2BE AC＝
AF BC⊥ F MH BE⊥ H
90ABF BAF∠ ∠ °＋ ＝ 1
2BF FC BC＝ ＝
45MBE ABE AB BM∠ ∠ °＝ ＝ ， ＝
90ABM∠ °＝
90ABF MBC∠ ∠ °＋ ＝
BAF MBC∠ ∠＝
MC BC⊥
90BCM AFB∠ ∠ °＝ ＝∴ ，
∴
∴
由（2）知， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴
2.如图，在 中， ，翻折 ，使点 落在斜边 上某一点 处，
折痕为 （点 分别在边 上）
（1）若 与 相似．
①当 时，求 的长；
②当 时，求 的长；
（2）当点 是 的中点时， 与 相似吗？请说明理由．
ABF BMC ≌
2AF BC BF BF MC＝ ＝ ， ＝
2BC MC＝
2BE AB＝
2BE BM＝
45MBH∠ °＝
45BMH∠ °＝ 2
2
1
2BH MH BM BE＝ ＝ ＝
BH EH MH＝ ＝
45MEH EMH∠ ∠ °＝ ＝
90BME∠ °＝
Rt BMC Rt MNC ∽
2 4MC CN＝ ＝
4 6 8FC FN AF＝ ， ＝ ， ＝
2 2 2 26 8 10AN FN AF+ = + =＝
Rt ABC 90C∠ = ° C∠ C AB D
EF E F、 AC BC、
CEF ABC
2AC BC= = AD
3 4AC BC= =， AD
D AB CEF ABC解析：（1）若 与 相似．
①当 时， 为等腰直角三角形，如答图 1 所示．
此时 为 边中点， ．
②当 时，有两种情况：
（I）若 ，如答图 2 所示．
∵ ，
∴ ．
由折叠性质可知， ，
∴ ，即此时 为 边上的高．
在 中， ，
CEF ABC
2AC BC= = ABC
D AB 2 22AD AC= =
3 4AC BC= =，
3 4CE CF =： ：
CE CF AC BC=： ：
EF BC∥
CD EF⊥
CD AB⊥ CD AB
Rt ABC 3 4AC BC= =，∴ ，
∴ ．
；
（II）若 ，如答图 3 所示．
∵ ，
∴ ．
由折叠性质可知， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
同理可得： ，
∴此时 ．
综上所述，当 时， 的长为 或 ．
（2）当点 是 的中点时， 与 相似．理由如下：
如答图 3 所示，连接 ，与 交于点 ．
5AB =
3cos 5
ACA AB
= =
3• cos 3 1.85AD AC A= = × =
3 4CF CE =： ：
CEF CAB ∽
CEF B∠ = ∠
90CEF ECD∠ + ∠ = °
90A B∠ + ∠ = °
A ECD∠ = ∠
AD CD=
B FCD CD BD∠ = ∠ =，
1 1 5 2.52 2AD AB= = × =
3 4AC BC= =， AD 1.8 2.5
D AB CEF ABC
CD EF Q∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ．
由折叠性质可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
3.在矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ．点
为 边上的一个动点，连接 ，把 沿直线 翻折得到 ．
（1）如图 1，当 时，
①填空： ___________度；
②若 ，求 的度数，并求此时 的最小值；
（ 2 ） 如 图 3 ， ， 连 接 ， 交 边 于 点 ， 且
， 为垂足，求 的值．
CD Rt ABC
CD DB AB= =
DCB B∠ = ∠
90CQF DQF∠ = ∠ = °
90DCB CFE∠ + ∠ = °
90B A∠ + ∠ = °
CFE A∠ = ∠
C C∠ = ∠
CEF CBA ∽
ABCD AB aAD
= G H， AB DC， HA HG＝ E
AB HE AHE HE FHE
DH DA＝
HGA∠ ＝
EF HG∥ AHE∠ a
60 2AEH EG BG∠ °＝ ， ＝ FG DC P
FG AB⊥ G a解析：（1）①
②分两种情况：
第一种情况（如图 1）
，
∴
由折叠可知：
又∵ ，
∴
∴
即 ，
∴
45°
45HAG HGA∠ ∠ °＝ ＝
180 45 45 90AHG∠ ° ° ° °＝ － － ＝
45HAE F AHE FHE∠ ∠ ° ∠ ∠＝ ＝ ， ＝
EF HG∥
45FHG F∠ ∠ °＝ ＝
90 45 45AHF AHG FHG∠ ∠ ∠ ° ° °＝ － ＝ － ＝
45AHE FHE∠ ∠ °＋ ＝
22.5AHE∠ °＝此时，当 与 重合时， 的值最小，最小值是
第二种情况（如图 2）
∵ ，
∴
即
由折叠可知： ，
∴
∵ ，
∴
∴
此时，当 与 重合时， 的值最小
设 ，则
在 中， ，
∴
∵
∴
B G a 2
EF HG∥
45HGA FEA∠ ∠ °＝ ＝
45AEH FEH∠ ∠ °＋ ＝
AEH FEH∠ ∠＝
22.5AEH FEH∠ ∠ °＝ ＝
EF HG∥
22.5GHE FEH∠ ∠ °＝ ＝
90 22.5 112.5AHE∠ ° ° °＝ ＋ ＝
B E a
DH DA x＝ ＝ 2AH GH x＝ ＝
Rt AHG 90AHG∠ °＝
2 2AG AH x＝ ＝
AEH FEH GHE FEH∠ ∠ ∠ ∠＝ ， ＝ ，
AEH GHE∠ ∠＝∴ ，
∴
（2）过点 作 交 于 ，
则
在矩形 中，
∴
∴四边形 为矩形，
∴
设 ，则
由折叠可知：
∴
在 中，
2GH GE x＝ ＝
2 2AB AE x x＝ ＝ ＋
2 2 2 2AB x xa AD x
+= = = +
H HQ AB Q
90AQH GQH∠ ∠ °＝ ＝
ABCD 90D DAQ∠ ∠ °＝ ＝
90D DAQ AQH∠ ∠ ∠ °＝ ＝ ＝
DAQH
AD HQ＝
AD x GB y＝ ， ＝ 2HQ x EG y＝ ， ＝
60AEH FEH∠ ∠ °＝ ＝
180 60 60 60FEG∠ ° ° ° °＝ － － ＝
Rt EFG ·cos60 4EG EF EF y°＝ ， ＝在 中，
∴
∵ ，
∴
∴
由折叠可知：
∴ ，
∴
∴
∴ .
4.如图， 为等边三角形， 为 内一点，且 ，把 沿
翻折，点 落在点 处，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
Rt HQE
3
tan60 3
HOEQ x=°＝
3 23QG QE EG x y+＝ ＋ ＝
HA HG HQ AB⊥＝ ，
3 23AQ GQ x y+＝ ＝
2 3 23AE AQ QE x y+＝ ＋ ＝
AE EF＝
2 3 2 43 x y y+ =
3
3y x＝
3 72 2 2 33 3AB AQ GB x y y x
+ + =
＝ ＋ ＝
7 33
ABa AD
=＝
ABC D ABC 120ADB∠ °＝ ADB
BD A E CE
BD CE AD＋ ＝
CD 8 7AD CD＝ ， ＝ CE解析：（1）将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 、
则 是等边三角形，
∴
∵ ，∴
∴ 三点在同一直线上
∵ ，∴
由题意，
∴ ，
∴ 是等边三角 形
∴
∴ 三点在同一直线上
ABD A 60° ACF DF CF EF、
ADF
60AD DF ADF AFD∠ ∠ °＝ ， ＝ ＝
120ADB∠ °＝ 180ADB ADF∠ ∠ °＋ ＝
B D F、 、
120AFC ADB∠ ∠ °＝ ＝ 60DFC∠ °＝
60EDF ADF DE AD∠ ∠ °＝ ＝ ， ＝
DE DF＝
DEF
60EF DE AD DFE∠ °＝ ＝ ， ＝
E C F、 、∴
（2）过 作 于
∵ 是等边三角形，∴
设 ，则 ， ，
在 中，
解得
∴ 的长为 或
5.已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使顶点 落在 边上的
点处．
（1）如图 1，已知折痕与边 交于点 ，连结 ．
①求证： ；
②若 与 的面积比为 ，求边 的长；
（2）若图 1 中的点 恰好是 边的中点，求 的度数；
（3）如图 2，在（1）的条件下，擦去折痕 、线段 ，连结 ．动点 在线段
上（点 与点 不重合），动点 在线段 的延长线上，且 ，连结
交 于点 ，作 于点 ．试问当点 在移动过程中，线段 的长
度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 的长度．
BD CE CF CE EF AD＋ ＝ ＋ ＝ ＝
C CG DE⊥ G
DEF 60DEF∠ °＝
CE x＝ 1
2GE x＝ 3
2CG x＝ 18 2DG x＝ －
Rt CDG
22
21 38 72 2x x
− + =
1 23 5x x＝ ， ＝
CE 3 5
ABCD 8AD＝ ABCD B CD P
BC O AP OP OA、 、
OCP PDA ∽
OCP PDA 1:4 AB
P CD OAB∠
AO OP BP M AP
M P A、 N AB BN PM＝ MN
PB F ME BP⊥ E M N、 EF
EF解析：
（1）①∵四边形 是矩形，∴
∴
∵ 是由 沿 折叠，
∴
∴
∵ ，
∴
②∵ ， 的面积比为
∴ ，
∴
∵ ，
∴
设 ，则
在 中，
ABCD 90C D∠ ∠ °＝ ＝
90APD DAP∠ ∠ °＋ ＝
AOP ABO AO
90APO B∠ ∠ °＝ ＝
90APD CPO∠ ∠ °＋ ＝
DAP CPO∠ ∠＝
OCP PDA ∽
OCP PDA ∽ OCP PDA 与 1:4
2 1
4
OCP
PDA
S CP
S AD
= =
△
△
1
2
CP
AD
=
8AD＝
4CP＝
AB x＝ 4DP x＝ －
Rt PDA
2 2 2AP AD DP＝ ＋∴ ，∴
即边 的长为
（2）∵折叠后 与 重合，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ 是 的中点，
∴
∵ ，
∴
又 ，
∴
（3）线段 的长度不变
作 交 于点
∵ ，
∴
∴
∴ ，
2 2 2(8 )4x x＝ ＋ － 10x＝
AB 10
AOB AOP
AP AB＝ OAB OAP∠ ∠＝
AB CD＝
AP CD＝
P CD
1
2DP AP＝
90D∠ °＝
30PAD∠ °＝
OAB OAP∠ ∠＝
30OAB∠ °＝
EF
MH BN∥ PB H
AP AB＝
APB ABP∠ ∠＝
MHP ABP MHF NBF∠ ∠ ∠ ∠＝ ， ＝
MHP APB∠ ∠＝∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
由（1）得：
∴
∴ ，
∴ ，
∴
6.如图 1，在平行四边形 中，点 是 边的中点，连接 并延长，交 的
延长线于点 ，且 ．连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）在图 1 中，若点 是 上一点，沿 折叠 ，使点 恰好落在线段
上的点 处（如图 2）， ，求 的长．
MP MH＝
MP BN＝
BN MH＝
NFB MFH∠ ∠＝
NBF MHF ≌
FH FB＝
EF EH FH＝ ＋
1
2EF EP FB PB＝ ＋ ＝
10 8AB AD＝ ， ＝ ，
6DP＝
4PC＝
4 5PB＝
2 5EF＝
ABCD E BC AE DC
F 2AEC ABE∠ ∠＝ BF AC、
ABFC
M BF AM ABM B DF
B′ 13 12AB AC＝ ， ＝ MF解析：（1）∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
∵ 是 的中点，∴
∴ ，∴
∴四边形 是平行四边形
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴四边形 是矩形
（2）
∵四边形 是矩形，
ABCD
AB DF∥
ABE FCE BAE CFE∠ ∠ ∠ ∠＝ ， ＝
E BC BE CE＝
AEB FEC ≌ AB FC＝
ABFC
2 2AF AE BC BE＝ ， ＝
2AEC ABE AEC ABE BAE∠ ∠ ∠ ∠ ∠＝ ， ＝ ＋
ABE BAE∠ ∠＝
AE BE＝
AF BC＝
ABFC
ABFC 13 12AB AC＝ ， ＝∴
∵ 是由 折叠得到的
∴
在 中，
∴
设 ，则
在 中，
即 ，解得
∴ .
7.在直角梯形 中， ， ， 点 在
射线 上，将 沿 翻折，点 落到点 处，射线 与射线 交于点
．
（1）如图 1，当点 在 边上时，求证： .
（2）如图 2，当点 在 边的延长线上时，线段 的数量关系是：
_______________；
（3）在（2）的条件下，过 点作 ，垂足为点 ，设直线 与直线
交于点 ，若 求 的长．
13 12 90CF AB BF AC ACF MFB∠ ∠ ′ °＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝
AB M′ ABM
13AB AB B M BM′ ′＝ ＝ ， ＝
Rt AB C′ 2 2 2 213 12 5AB AB C C′ − = −′ =＝
13 5 8B F CF B C′ ′＝ － ＝ － ＝
MF x＝ 12B M BM x′ ＝ ＝ －
Rt B MF′
2 2 2B F MF B M′ ′＋ ＝
2 2 2(8 12 )x x＋ ＝ － 10
3x＝
10
3MF＝
ABCD 90AD BC B∠ °∥ ， ＝ 60C∠ °＝ AD CD＝ ， E
BC ABE AE B F EF CD
M
M CD 3
3FM DM AB－ ＝
E BC FM DM AB、 、
A AG CM⊥ G BG AM
N 6 1AD FM＝ ， ＝， GN解析：（1）过 作 ，交 的延长线于 ，连接
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
又
∴ ，
∴
A AG CD⊥ CD G AM AC、
AD BC∥
ACB DAC∠ ∠＝
AD CD＝
ACD DAC∠ ∠＝
ACB ACD∠ ∠＝
AB AG＝
AB AF＝
AF AG＝
90AM AM AFM G∠ ∠ °＝ ， ＝ ＝
AMF AMG ≌
FM GM＝∴
∵ ，
∴
∴
（2）
提示：过 作 于 ，连接
同（1）可证：
∵ ，
∴
（3）连接 ，作 于 ， 于
FM DM DG－ ＝
60ADG BCD∠ ∠ °＝ ＝
3 3
3 3DG AG AB=＝
3
3FM DM AB－ ＝
3
3DM FM AB− =
A AG CM⊥ G AM AC、
AB AG AF FM GM＝ ＝ ， ＝
DM GM DG－ ＝ 3 3
3 3DG AG AB=＝
3
3DM FM AB− =
AC MH BC⊥ H DK BC⊥ K∵
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ， ，
设 ，则
∵ ，
解得 ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
6 1 60AD FM BCD∠ °＝ ， ＝， ＝
6 3CD KC＝ ， ＝ ， 3 3AB DK＝ ＝ 9BC＝
3
3DM FM AB− =
3 3 3 1 43DM × + =＝
10 5CM HC＝ ， ＝ 5 3MH＝ 4BH＝
BE x＝ 1 4FE x ME x HE x− −＝ ， ＝ ， ＝
2 2 2MH HE ME＋ ＝
2 2 2(5 3) 4( ) ( 1 )x x＋ － ＝ －
15x＝
15 6BE CE＝ ， ＝
60BCG∠ °＝
120ECG∠ °＝
30 120ACB ACD BAG∠ ∠ ° ∠ °＝ ＝ ， ＝
AMF AMG ≌∴
∴
又 ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
8.如图 1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 的顶点 重合，将此三角板绕
点 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边 于点 ，连结
．
（1）猜想 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图 1 中，过点 作 于点 ，请直接写出 和 的数量关系；
（3）如图 2，将 沿斜边 翻折得到 ， 分别是
边上的点， ，连接 ，过点 作 于点 ．试猜想
与 之间的数量关系，并证明你的猜想．
MAF MAG∠ ∠＝
1
2MAE GAC EAC MAG BAF EAC∠ ∠ ∠ ∠ ∠ − ∠＝ － ＋ ＝
60BAE EAC BAC∠ ∠ ∠ °＝ － ＝ ＝
60GAC∠ °＝
GAN CAE∠ ∠＝
120AB AG BAG∠ °＝ ， ＝
30ABG∠ °＝
150AGN ACE∠ ° ∠＝ ＝
AGN ACE ∽
1
2AG AC＝
1
2 3GN CE＝ ＝
ABCD A
A BC DC、 E F、
EF
BE EF DF、 、
A AM EF⊥ M AM AB
Rt ABC AC Rt ADC E F、 BC CD、
1
2EAF BAD∠ ∠＝ EF A AM EF⊥ M
AM AB答 案：见解析
解析：（1）猜想：
证明：延长 到 ，使 ，连接
∵四边形 是正方形
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
BE DF EF＋ ＝
CB G BG DF＝ AG
ABCD
90AB AD ABC D∠ ∠ °＝ ， ＝ ＝
90ABG∠ °＝
ABG D∠ ∠＝
ABG ADF ≌
AG AF GAB FAD∠ ∠＝ ， ＝
45 90 45 45EAF FAD BAE BAD EAF∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ° ° °＝ ， ＋ ＝ － ＝ － ＝
45GAE GAB BAE∠ ∠ ∠ °＝ ＋ ＝
GAE EAF∠ ∠＝又∵
∴
∴
即
（2）
（3）猜想：
证明：延长 到 ，使 ，连接
∵ 沿斜边 翻折得到
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
[
∴
AG AF AE AE＝ ， ＝ ，
AEG AEF ≌
EG EF＝
BE DF EF＋ ＝
AM AB＝
AM AB＝
CB G BG DF＝ AG
Rt ABC AC Rt ADC
90AB AD ABC D∠ ∠ °＝ ， ＝ ＝
90ABG∠ °＝
ABG D∠ ∠＝
ABG ADF ≌
AG AF GAB FAD∠ ∠＝ ， ＝
1
2EAF BAD∠ ∠＝
1
2FAD BAE BAD∠ ∠ ∠＋ ＝
1
2GAE GAB BAE FAD BAE BAD∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠＝ ＋ ＝ ＋ ＝∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
9.（1）如图 1，将矩形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处， 交
于点 ．
求证： ；
（2）若矩形纸片 中， ，将矩形 沿过 点的直线折叠，
使点 落在点 处，折痕交线段 （不含端点）于点 ，线段 交直线
于点 ．图 2 是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题：
①当 为直角三角形时，求 的长；
②当 时，求 的取值范围．
GAE EAF∠ ∠＝
AG AF AE AE＝ ， ＝
AEG AEF ≌
EG EF＝ AEG AEFS S
＝
1 1· ·2 2EG AB EF AM＝
AM AB＝
ABCD BD C E BE AD
F
BF DF＝
ABCD 4 10AB BC＝ ， ＝ ABCD B
C D， E G， AD H BE AD
F
BEH DH
1 10DH≤ ＜ tan BEH∠解析：（1）
由题意，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
（2）①
∵ 不与端点 重合
∴
∴当 为直角三角形时，只能
连接
∵
∴
∴
1 2∠ ∠＝
AD BC∥
1 3∠ ∠＝
2 3∠ ∠＝
BF DF＝
H A D，
90 90BEH EBH∠ ° ∠ °＜ ， ＜
BEH 90BHE∠ °＝
CH
BC BE CBH EBH BH BH∠ ∠＝ ， ＝ ， ＝
BCH BEH ≌
90BHC BHE∠ ∠ °＝ ＝∴ ，
∴
即 ，解得 或
∴当 为直角三角形时， 的长为 或
②
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
10.已知矩形 的一条边 ，将矩形 折叠，使得顶点 落在 边上
的 点处．
DHC ABH ∽
DH AB
DC AH
=
4
4 10
DH
DH
= − 2DH＝ 8DH＝
BEH DH 2 8
BE HG∥
BEH EHG∠ ∠＝
4tan tan EGBEH EHG GH GH
∠ ∠ =＝ ＝
1 10DH≤ ＜
tan 4BEH∠ ≤0. 4＜
ABCD 8AD = ABCD B CD
P
（1）如图 1，已知折痕与边 交于点 ，连结 ．
①图中 ___
②若 与 的面积比为 ，求边 的长为_____；
（2）若图 1 中的点 恰好是 边的中点，求 的度数为_____度；
（3）如图 2，在（1）的条件下，擦去折痕 、线段 ，连结 ．动点 在线段
上（点 与点 不重合），动点 在线段 的延长线上，且 ，连结
交 于点 ，作 于点 ．试问当点 在移动过程中，线段 的长
度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 的长度．
解析：（1）如图 1，
①∵四边形 是矩形，
．
由折叠可得： ．
．
．
．
．
② 与 的面积比为 ，
BC O AP OP OA、 、
COP∠ = ∠
OCP PDA 1 4： AB
P CD OAB∠
AO OP BP M AP
M P A、 N AB BN PM= MN
PB F ME BP⊥ E M N、 EF
EF
ABCD
90AD BC DC AB DAB B C D∴ = = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °， ，
AP AB PO BO PAO BAO APO B= = ∠ = ∠ ∠ = ∠， ， ．
90APO∴∠ = °
90APD CPO POC∴∠ = ° − ∠ = ∠
D C APD POC∠ = ∠ ∠ = ∠ ，
OCP PDA∴ ∽
OCP PDA 1 4：．
．
设 ，则 ．
在 中，
，
．
解得： ．
．[来源:Z&xx&k.Com]
边 的长为 ．
（2）如图 1，
是 边的中点，
．
，
．
，
．
．
1 1
4 2
OC OP CP
PD PA DA
∴ = = = =
2 2 2PD OC PA OP DA CP∴ = = =， ，
8 4 8AD CP BC= ∴ = = ， ，
OP x= 8OB x CO x= = −，
Rt PCO
90 4 8C CP OP x CO x∠ = ° = = = − ， ， ，
2 2 28 4x x∴ = − +（ ）
5x =
2 10AB AP OP∴ = = =
∴ AB 10
P CD
1
2DP DC∴ =
DC AB AB AP= = ，
1
2DP AP∴ =
90D∠ = °
1
2
DPsin DAP AP
∴ ∠ = =
30DAP∴∠ = °，
．
的度数为 ．
（3）作 ，交 于点 ，如图 2．
，
．
．
．
， ，
．
，
．
，
．
90 30DAB PAO BAO DAP∠ = ° ∠ = ∠ ∠ = ° ， ，
30OAB∴∠ = °
OAB∴∠ 30°
MQ AN∥ PB Q
AP AB MQ AN= ， ∥
APB ABP ABP MQP∴∠ = ∠ ∠ = ∠，
APB MQP∴∠ = ∠
MP MQ∴ =
MP MQ= ME PQ⊥
1
2PE EQ PQ∴ = =
BN PM MP MQ= = ，
BN QM∴ =
MQ AN ∥
QMF BNF∴∠ = ∠在 和 中，
．
．
．
．
．
由（1）中的结论可得：
．
．
．
∴在（1）的条件下，当点 在移动过程中，线段 的长度不变，长度为 ．
11.问题解决
如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ，
重合），压平后得到折痕 ．
当 时，求 的值为_____．
MFQ NFB
QMF BNF
QFM BFN
QM BN
∠ = ∠
∠ = ∠
=
MFQ NFB∴ ≌
QF BF∴ =
1
2QF QB∴ =
1 1 1
2 2 2EF EQ QF PQ QB PB∴ = + = + =
4 8 90PC BC C= = ∠ = °， ，
2 28 4 4 5PB∴ = + =
1 2 52EF PB∴ = =
M N、 EF 2 5
ABCD B CD E C D
MN
1
2
CE
CD
= AM
BN类比归纳
在图（1）中，若 则 的值等于______；（注：若答案不是整数，请化
为小数）；若 则 的值等于______；若 （ 为整数），则 的值
等于____．（用含 的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），
压平后得到折痕 设 则 的值等于______．（用含
的式子表示）
1
3
CE
CD
= AM
BN
1
4
CE
CD
= AM
BN
1CE
CD n
= n AM
BN
n
ABCD B CD E C D、
MN 1 1( 1), ,AB CEmBC m CD n
= > = AM
BN
,m n
方法指导：
为了求得 的值，可先求 、 的长，不妨设： =2AM
BN BN AM AB解析：方法一：如图（1-1），连接
由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称．
∴ 垂直平分 ．∴
∵四边形 是正方形，
∴
∵
设 ,则
在 中， ．
∴ 解得 ，即
BM EM BE、 、
ABNM FENM MN
MN BE ,BM EM BN EN= =
ABCD
90 , 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = ° = = = =
1 , 12
CE CE DECD
= ∴ = =
BN x= ,NE x= 2NC x= −
Rt CNE
2 2 2NE CN CE= +
2 2 2(2 ) 1x x= − + 5
4x = 5
4BN =在 和在 中，
，
，
设 则
∴
解得 即
方法二：同方法一，
如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接
∵
∴四边形 是平行四边形．
Rt ABM Rt DEM
2 2 2AM AB BM+ =
2 2 2DM DE EM+ =
2 2 2 2AM AB DM DE∴ + = +
AM y= 2DM y= −
2 2 2 22 (2 y) 1y + = − +
1
4y = 1
4AM =
1
5
AM
BN
∴ =
5
4BN =
N / /NG CD AD G BE
AD BC∥
GDCN∴
同理，四边形 也是平行四边形．∴
∵
在 与 中
∴
∵
∴
类比归纳
（或 ）； ；
联系拓广
12. 中， ， 为 延长线上一点， 为
NG CD BC= =
ABNG 5
4AG BN= =
, 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ = °
, 90 ,NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ° ∴∠ = ∠
BCE NGM
90
EBC MNG
BC NG
C NGM
∠ = ∠
=
∠ = ∠ = °
, .BCE NGM EC MG= ≌
5 1, 1 .4 4AM AG MG AM= − = − =
1.5
AM
BN
=
2
5
4
10
9
17
( )2
2
1
1
n
n
−
+
2 2
2 2
2 1
1
n m n
n m
− +
+
ABC 60AB AC BAC∠ °＝ ， ＜ D BC E ACD∠内部一点，且 ．
（1）若 ，如图 1，直接写出 间的数量关系： ______ ；
（2）若 ，如图 2，求证： ；
（3）在（2） 的条件下，如图 3，将线段 沿 翻折，翻折后的点 落在点 处，且
，连接 ，交 的延长线于 ，若 ，求 的长为______．
解析：
（1）
提示：作 于 交 延长线于
90ABE ECD∠ ∠ °＋ ＝
60ABE∠ °＝ AC BE、 AC = BE
45ABE∠ °＝ 2BE AC＝
BA BE A M
MC BC⊥ EM BC N 2CN＝ AN
AC BE＝
AF BC⊥ F BG CE⊥， EC G
1
2AB AC BF FC BC∴ ＝ ， ＝ ＝
90 60ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° ＋ ＝ ， ＝
30 30ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °＝ ， ＝∴AC＝BE
（2）作 于 交 延长线于
（3）作 于 于
160 2CBG BG BC∴∠ °＝ ， ＝
ABF EBG BF BG∴∠ ∠＝ ， ＝
Rt RtABF EBG AB BE∴ ∴ ≌ ， ＝
AF BC⊥ F BG CE⊥， EC G
1
2AB AC BF FC BC∴ ＝ ， ＝ ＝
90 45ABE ECD ABE∠ ∠ ° ∠ ° ＋ ＝ ， ＝
45 45ECD BCG∴∠ ° ∴∠ °＝ ， ＝
245 22CBG BG BC BF∴∠ °＝ ， ＝ ＝
Rt RtABF EBG ABF EBG∴∠ ∠ ∴ ＝ ， ∽
2, 2BE BG BE ABAB BD
= = ∴ =
2BE AC∴ ＝
AF BC⊥ F MH BE⊥， H则
由题意，
由（2）知， ，
,
190 2ABF BAF BF FC BC∠ ∠ °＋ ＝ ， ＝ ＝
45MBE ABE AB BM∠ ∠ °＝ ＝ ， ＝
90 90ABM ABF MBC∴∠ ° ∴∠ ∠ °＝ ， ＋ ＝
BAF MBC∴∠ ∠＝
90MC BC BCM AFB⊥ ∴∠ ∠ ° ， ＝ ＝
2ABF BMC AF BC BF BF MC∴ ∴ ≌ ， ＝ ＝ ， ＝
2BC MC∴ ＝
2BE AB＝
2BE BM∴ ＝
2 145 45 2 2MBH BMH BH MH BM BE∠ ° ∴∠ ° ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＝
45BH EH MH MEH EMH∴ ∴∠ ∠ °＝ ＝ ， ＝ ＝
90 Rt RtBME BMC MNC∴∠ ° ∴ ＝ ， ∽
1
2
NC MC
MC BC
∴ = =
2 4 8NC MC BC= ∴ = = ， ，
13.如图 1，四边形 是一张正方形纸片，先将正方形 对折，使 与
重合，折痕为 ，把这个正方形展平，然后沿直线 折叠，使 点落在 上，对应
点为 ．
（1）求 的度数为______度；
（2）如图 2，在图 1 的基础上，连接 ，试判断 与 的大小关系，并
说明理由；
（3）如图 3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形 对折，使 与 重合，折痕为 ，把这个正方形展平，
然后继续对折 ，使 与 重合，折痕为 ，再把这个正方形展平，设 和
相 交于点 ；
第二步：沿直线 折叠，使 点落在 上，对应点为 ；再沿直线 折叠，使
点落在 上，对应点为 ；
第 三 步 ： 设 分 别 与 相 交 于 点 ， 连 接 ，
．
试判断四边形 的形状为______，并证明你的结论．
解析：（1）如图 1，由对折可知，
6 8FN AF∴ = =，
2 2 2 26 8 10AN FN AF∴ = + = + =
ABCD ABCD BC AD
EF CG B EF
B′
CB F∠ ′
AB′ B AE∠ ′ GCB∠ ′
ABCD BC AD EF
AB DC MN EF MN
O
CG B EF B′ AH D
EF D′
CG AH， MN P Q， B P PD D Q′ ′ ′， ，
QB′
B PD Q′ ′[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
∵四边形 为正方形，
又由折叠可知，
∴在 中，
解法二：如图 1，连接 ．
（2） 理由如下：
如图 2，连接
由对折知， 垂直平分
由折叠知，
190 2EFC CF CD∠ °＝ ， ＝
ABCD 1
2CD CB CF CB∴ ∴＝ ， ＝
1
2CB CB CF CB′ ∴ ′＝ ， ＝
Rt B FC′
1sin ` 2
CFCB F CB
∠ ′ ＝ ＝
30CB F∴∠ ′ ′ °＝
B D＇ ，
B AE GCB∠ ′ ∠ ′＝
B D′
EF CD B C B D∴ ′ ′， ＝
B C BC′ ＝∵四边形 为正方形，
为等边三角形
∵四边形 为正方形
由（1）知
由折叠知，
（3）四边形 为正方形
如图 3，连接
由（2）知，
由折叠知，
ABCD BC CD∴ ＝
B C CD B D B CD∴ ′ ′ ∴ ′＝ ＝ ，
60CDB∴∠ ′ °＝
ABCD
90 30CDA DAB B DA∴∠ ∠ ° ∴∠ ′ °＝ ＝ ， ＝
DB DA DAB DB A′ ∴∠ ′ ∠ ′ ＝ ， ＝
1 (180 ) 752DB A B DA∴∠ ′ ° ∠ ′ °＝ － ＝
90 75 15B AE DAB DAB∴∠ ′ ∠ ∠ ′ ° ° °＝ － ＝ － ＝
30CB F∠ ′ °＝
/ / 30EF BC B CB CB F∴∠ ′ ∠ ′ ° ， ＝ ＝
1 1 30 152 2GCB B CB∠ ′ ∠ ′ × ° °＝ ＝ ＝
B AE GCB∴∠ ′ ∠ ′＝
B PD Q′ ′
AB′
B AE GCB∠ ′ ∠ ′＝
GCB PCN B AE PCN∠ ′ ∠ ∴∠ ′ ∠＝ ， ＝由对折知，
又∵四边形 是正方形，
同理可得，
由对称性可知，
由两次对折可知，
，∴四边形 为矩形
由对折知， 于点 于点
∴四边形 为正方形
14. 如 图 ， 在 中 ， 是 边 上 一 点 ，
， 是 边上一动点（不与 重合），过点 作 交 于点
．
（1）设 ，求 关于 的函数关系式；
（2）以 为半径的 与以 为半径的 能否相切？若能，求 的值；
若不能，请说明理由；
（3）将 沿直线 翻折，得到 ，连接 ，当
时，求 的长．
1 190 2 2AEB CNP AE AB CN BC∠ ′ ∠ ° =＝ ＝ ， ＝ ，
ABCD AB BC∴ ＝
AE CN AEB CNP∴ ∴ ′ ＝ ， ≌
EB NP∴ ′＝
FD MQ′＝
EB FD′ ′＝
EB NP FD MQ∴ ′ ′＝ ＝ ＝
OE ON OF OM＝ ＝ ＝
OB OP OD OQ∴ ′ ′＝ ＝ ＝ B PD Q′ ′
MN EF⊥ O PQ B D∴ ⊥ ′ ′， O
B PD Q′ ′
Rt ABC 90 4 5C AC BC D∠ °＝ ， ＝ ， ＝ ， BC
3CD＝ P AC A C、 P PE BC∥ AD
E
AP x DE y＝ ， ＝ y x
PE E DB D tan DPE∠
ABD AD AB D′ EC B C′、 ACE BCB∠ ∠ ′＝
AP解析：（1）在 中，
，∴ ，即
（2）对于 ；对于 ；圆心距
当两圆外切时， ，
∴
解得
Rt ACD 4 3 5AC CD AD∴＝ ， ＝ ， ＝
/ /PE BC
AP AE
AC AD
= 5
4 5
x y−=
5 5 0 44y x x∴ ＝- ＋ （ ＜ ＜ ）
3
4EE r EP x ， ＝ ＝ 2DD r DB ， ＝ ＝ 5 54ED x＝- ＋
E Dr r ED＋ ＝
3 52 54 4x x＋ ＝- ＋
3 5
2 2x PC∴＝ ， ＝
/ /PE BC DPE PDC∴∠ ∠ ， ＝当两圆内切时， ，
解得 或 （舍去），
（3）延长 交 于 ，则 垂直平分
在 中， ，
，
5tan tan 6
PCDPE PDC CD
∴ ∠ ∠＝ ＝ ＝
| |E Dr r ED－ ＝ 3 5| 2| 54 4x x∴ － ＝－ ＋
7
2x＝ 6x＝ 1
2PC∴ ＝
1tan tan 6
PCDPE PDC CD
∴ ∠ ∠ =＝ ＝
AD BB′ F AF BB′
Rt BDF 2BD＝ 4sin sin 5
ACBDF ADC AD
∠ ∠ =＝ ＝
8
5BF∴ ＝ 16
5BB′＝当 时，
，即 ，
∴ ，解得
15.如图①，把矩形纸片 沿 同时折叠， 两点恰好落在 边的
点处，已知 ．
（1）求图①中矩形 的边 的长为______；
（2）求图①中四边形 的面积为______；
（ 3 ） 如 图 ② ， 点 是 直 线 上 的 动 点 ， 点 是 直 线 上 的 动 点 ， 连 接
，求 的最小值为______．
答案：24；57.6；24
解析：（1）由题意，
，
（2）连接
ADC BDF CAD DBF∠ ∠ ∴∠ ∠ ＝ ， ＝
ACE BCB∠ ∠ ′＝ CAE CBB′ ∽
AC BC
AE BB
∴ = ′
4 5
165
5
y
=−
645 25y∴ −＝
5 645 54 25x− + = − 256
125x＝
ABCD EF GH、 B C、 AD
P 90 8 6FPH PF PH∠ °＝ ， ＝ ， ＝
ABCD BC
EFHG
M EF N GH
A M MN ND′ ′、 、 A M MN ND′ ′＋ ＋
8 6BF PF CH PH＝ ＝ ， ＝ ＝
90FPH∠ ° ＝ 2 2 2 28 6 10FH PF PH∴ + = + =＝
8 10 6 24BC BF FH HC∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
BE CG、同理，
作 于 ，则
（3）连接
由题意，
当点 都落在线段 上时， 取得最小值
即等于线段 的长
的最小值为
AD BC PEF BFE∴∠ ∠ ， ＝
PFE BFE PEF PFE∠ ∠ ∴∠ ∠ ＝ ， ＝
8PE PF∴ ＝ ＝
6PG PH＝ ＝
8 6 14EG PE PG∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
PQ BC⊥ Q 8 6 24
10 5
PF PHPQ FH
⋅ ×= =＝
( ) ( )1 1 24 288· 14 102 2 5 5EFHGS EG FH PQ∴ + + × =四边形 ＝ ＝
AM DN、
A M MN ND AM MN ND AD′ ′ ≤＋ ＋ ＝ ＋ ＋
M N、 AD A M MN ND′ ′＋ ＋
AD
A M MN ND∴ ′ ′＋ ＋ 2416. 如 图 1 ， 在 梯 形 中 ， ，
为线段 上的一动点，且和 不重合，连接 ，过 作
交 所在直线于 ．设 ．
（1）求 与 的函数关系式
（2）若点 在线段 上运动时，点 总在线段 上，求 的取值范围
（3）如图 2，若 ，将 沿 翻折至 位置， ，求
长为______.
解析：（1）
在 和 中，
，
，
与 的函数关系式为
ABCD 90 2 1AB CD B AB CD∠ = ° = =∥ ， ， ，
BC m P＝ ， BC B C、 PA P PE PA⊥
CD E BP x CE y＝ ， ＝
y x
P BC E CD m
4m＝ PEC PE PEG 90BAG∠ = ° BP
90 90AB CD B B C∠ = ° ∴∠ = ∠ = ° ， ，
90APB BAP∴∠ ∠ = °＋
90PE PA APE⊥ ∴∠ = ° ，
90APB CPE BAP CPE∴∠ ∠ = ° ∴∠ ∠＋ ， ＝
ABP PCE 90B C BAP CPE∠ ∠ = ° ∠ ∠＝ ， ＝
ABP PCE∴ ∽ AB BP
PC CE
∴ =
BC m BP x PC m x∴ − ＝ ， ＝ ， ＝
2 x
m x y
∴ =−
21
2 2
my x x∴ = − +
y∴ x 21 02 2
my x x x m= − + （ ＜ ＜ ）（2）
∴当 时，
∵点 总在线段 上，
，
（3）连接 ，过 作 于
由翻折可知
∴四边形 为平行四边形
，
∴四边形 为矩形
在 中，
，
2
2 21 1 ( )2 2 2 2 8
m m my x x x= − + = − − +
2
mx =
2
8
my =最大
E CD
2
18
m∴ ≤
2 2m∴ ≤ 0 2 2m∴ ≤＜
CG P PH AG⊥ H
4CG PE PG PC x⊥ −， ＝ ＝
/ /PE PA CG PA⊥ ∴ ，
90B BAG∠ = ∠ = ° ，
AG PC∴ ∥
APCG
4AG PC x∴ −＝ ＝
90B BAG AHP∠ = ∠ = ∠ = °
ABPH
2 4 2AH BP x PH AB HG x∴ = = = = ∴ = −， ，
Rt PHG
2 2 2PH HG PG ＋ ＝
2 2 22 (4 2 ) (4 )x x∴ ＋ － ＝ －解得
或
17.如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形， ．
（1）如图 1， 是 的中点，将 沿 翻折后得到 ， 的延长
线交 于 ，求点 的坐标为_____.
（ 2 ） 如 图 2 ， 点 分 别 是 线 段 上 的 动 点 ， ， 如 果 以
三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（ 三点不在同一条直
线上），求点 的坐标为______．
解析：（1）连接
由题意，
是 的中点，
1 2
22 3x x＝ ， ＝
2BP∴ ＝ 2
3
xOy OABC 0 6 8 0A C（ ，），（ ，）
D OC AOD AD AED AE
BC F F
M N、 AB OB、 2ON MB＝
M N B、 、 M N B、 、
M
DF
90AED AOD∴∠ ∠ °＝ ＝
90DEF DEF DCF∴∠ ° ∴∠ ∠＝ ， ＝
D OC OD DC∴ ＝
OD DE DE DC∴ ＝ ， ＝又
又
，
是 的中点
，
DF DF DEF DCF∴ ＝ ， ≌
90EDF CDF ADF∴∠ ∠ ∴∠ °＝ ， ＝
AOD ADF∴∠ ∠＝
OAD DAF AOD ADF∠ ∠ ∴ ＝ ， ∽
AO AD
AD AF
∴ =
2ADAF AO
∴ ＝
0 6 8 0A C （ ，），（ ，），D OC
2 2 26 8 4 4 6 52AO BC AB OC OD AD∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ＋ ＝
52 26
6 3AF∴ = = 2 2 10
3BF AF AB= − =
10 86 3 3FC BC BF∴ − − =＝ ＝（2）
设
①当点 为圆 心时，则
②当点 为圆心时，则
过 作 于
则 ，
88 3F∴ （ ，）
2 26 8 6 8 10BC OC OB∴ + = ＝ ， ＝ ， ＝
BM x＝
B BM BN＝
102 10 2 3ON MB x x x∴ − ∴ ＝ ， ＝ ， ＝
10 148 3 3AM∴ − =＝
14 63M∴ （ ，）
M MB MN＝
N NG AB⊥ G
BGN BAO ∽，
解得 （舍去），
③当点 为圆心时，则
，
GN BG BN
AO BA BO
∴ = =
10 2
6 8 10
GN BG x−∴ = =
3 6(10 2 ) 65 5GN x x∴ = − −＝ 4 8(10 2 ) 85 5BG x x= − −＝
8 138 85 5GM x x x= − − = −
2 2
2 13 68 65 5x x x ∴ = − + −
1 5x＝ 2
25
9x ＝
25 478 9 9AM∴ = − =
47 69M∴ （ ，）
N MN BN＝
1
2BG BM∴ =解得
综上所述， 点坐标为
8 18 5 2x x∴ − =
80
21x =
80 888 21 21AM∴ − =＝
88 621M∴ （ ，）
M 14 47 886 6 63 9 21M（ ，），（ ，），（ ，）
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