河北省石家庄市第二中学2020届高三3月内部考试数学（理）试题（PDF版）.pdf

1 石家庄二中高三年级数学热身考试（理科） 时间 120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要 求） 1. 已知集合 2{ | 1, }M y y x x R    ，集合 2{ | 3 }N x y x   ，则 M N I （ ） A {( 2,1),( 2,1)} B { 2, 2,1} C [ 1, 3] D  2. 已知 z 是纯虚数， 2 1 z i   是实数，那么 z  （ ） A ． 2i B ．i C ． i D ． 2i 3. 使不等式| | 2x  成立的一个必要不充分条件是（ ） 3|1| xA | 1| 2B x   1)1(log2 xC 2 1 || 1  xD 4. 在可行域内任取一点 ),( yx ，如果执行如下图的程序框图，那么输出数对 ),( yx 的概率是 （ ） A 8  B 4  C 6  D 2  [来源:学§科§网 Z§X§X§K] [来源:Z&xx&k.Com] [来源:学科网] 5 题图 5. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（ ） A 13 B 7 3 2 C 7 2  D 不能确定 6. 若 4cos 5    ， 是第三象限的角，则sin + )4  （ （ ）2 A 7 2 10  B 7 2 10 C 2 10  D 2 10 7 某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该 门功课考试分数的极差与 中位数之和为（ ） A 117 B 118 C 118．5 D 119．5 8. 函数 ( ) 2cos( )( 0,| | )2f x x        在区间 ,3 6      上单调，且 ( ) ( )3f f x  ( )6f  恒成立， 则此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( ) A 1 B 2 C 3 6 2 2D  9. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为底面 ABCD 上的动 点， 1PE AC 于 E ，且 PA PE ，则点 P 的轨迹是 （ ） A 线段 B 圆 C 椭圆的一部分 D 抛物线的一部分 10. 双曲线 2 2 19 16 x y  右焦点为 F ， P 是双曲线上一点，点 M 满足| | 1MF  uuur ， 0MF MP  uuur uuur 则| |MP uuur 最小值为（ ） A 3 B 2 C 3 D 2 11. 已知  f x 是以 2 为周期的偶函数，当    0,1x f x x 时， ，那么在区间  1,3 内，关于 x 的方 程    f x kx k k R   有 4 个根，则 k 的取值范围是（ ） A 10 4k  或 3 6k  B 10 4k  C 10 4k  或 3 6k  D 10 4k  12. 已知正项数列{ }na 的前 n 项和为 nS 满足： 12 n n n S a a   （ *n N ），若3 1 2 3 1 1 1 1( ) n f n S S S S     L ，记[ ]m 表示不超过 m 的最大整数，则[ (100)]f （ ） A 17 B 18 C 19 D 20 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上） 13. 已知 1 2 2 1 (3 1 )a x x dx    ，则 61( )2a x x      展开式中的常数项为 。 14. 已知函数 )(xf 在定义域 ),0(  上是单调函数，若对任意的 ),0( x ，都有 2]1)([  xxff ，则 )5 1(f 的值是___________. 15. 已知直线 2( 0)y kx k   与抛物线 2: 8C x y 相交于 ,A B 两点，F 为C 的焦点，若| | 2| |FA FB ， 则 k  。 16. 设正数数列 na 的前 n 项和为 nb ，数列 nb 的前 n 项积为 nc ，若 1n nb c  则数列 1{ } na 中最接近 2020 的数是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 将解答过程写在相应答题区域，答在区域之外的判作无效． 17.（本题 12 分）已知公差不为零的等差数列 na 各项均为正数，其前 n 项和为 nS ，满足  2 2 22 1S a a  且 1 2 4, ,a a a 成等比数列。 （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 2 na n nb a  g ，求数列 nb 的前 n 项和为 nT . 18. （本题 12 分）如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面垂直， 1AA AB AC  1 ，AB AC ， ,M N 分别是 1CC ， BC 的中点，点 P 在直线 1 1A B 上，且 111 BAPA  （Ⅰ）证明：无论 取何值，总有 AM  PN ； （Ⅱ）当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？ 并求该角取最大值时的正切值． （Ⅲ）是否存在点 P ，使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面 角为 030 ，若存在，试确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由． A B C 1A 1B 1C P M N4 19. （本题 12 分）某公司共冇职工 8000 名，从中随机抽取了 100 名，调查上、下班乘车所用时间，得 下 表： 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额 y (元）与乘车时 间t (分钟）的关系 是 ]20[40200 ty  ，其中 ]20[ t 表示不超过 ]20[ t 的最大整数.以样本频率为概率： (I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)； (II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少有两名路途补贴超过 300 元的概率. 20. （本题 12 分）已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆经过点 (2,1).M （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线l 平行于OM ，且与椭圆交于 A、B 两个不同点，连接（或延长） ,MA MB 分别交 x 轴于点 ( ,0), ( ,0)S s T t ，探求 s t 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 21.（本题 12 分） 已知函数   2 , .xf x e kx x R   （1）若 1 2k  ，求证：当 (0, )x  时， ( ) 1f x  ； （2）若 ( )f x 在区间 (0, ) 上单调递增，试求 k 的取值范围； （3）求证： 4 * 4 4 4 4 2 2 2 2( 1)( 1)( 1) ( 1) ( )1 2 3 e n Nn      L 请考生在第 22 ～ 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos  ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 35 2 1 2 x t y t      （t 为参数）. ⑴ 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； ⑵ 设曲线C 与直线l 相交于 P 、Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 xmxxf 4|2|)(  （1）当 2m 时，解不等式 1)( xf ； （2）若不等式 2)( xf 的解集为 | 2x x   ,求 m 的值。 所用时间（分 钟） [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) 人数 25 50 15 5 5