厦门市2020届高中毕业班3月线上质量检查数学（理）试题参考答案.pdf

B A1 B1 C1 O C A x y z 厦门市 2020 届高中毕业班 3 月线上质量检查 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1—5：DBCBC 6—10：AABAB 11—12：DC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 27 14．40 15． 12  16． ),2()2,( +−−  三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分. 17．本题主要考查正弦定理、余弦定理和解三角形等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与 方程、化归与转化等数学思想．本题满分 12 分． 解：（1）因为 cos cos ( )cosb A c B c a B− = − ， 所以sin cos sin cos (sin sin )cosB A C B C A B− = − ， ························ 2 分 所以sin cos sin cos 2sin cosB A A B C B+= ， 即sin( ) 2sin cosA B C B+= ， ···················································· 3 分 因为在 ABC△ 中， A B C+ = − ， (0, )C  ， 所以sin 2sin cosC C B= ，且sin 0C  ，······································ 4 分 所以 1cos 2B = ， ···································································· 5 分 因为 (0, )B  ，所以 3B = ． ·················································· 6 分 （2）因为 22BD DC==，所以 1BD = ， 2CD = ， 3BC = ， 因为 的面积为33，所以 1 3 sin 3 323c =，解得 4c = ， ································ 8 分 由余弦定理得 2 2 2 2 12 cos 4 2 2 4 2 2 332AD AB BD AB BD = + −   = + −    = ， ·········· 9 分 所以 2 2 2 2 22 (2 3) 16AD BD AB+ = + = = ，即 AD BD⊥ ， ··········································· 10 分 所以 2213AC AD BD= + = ， ············································································ 11 分 所以 13sin 13 CDCAD AC = = ． ··············································································· 12 分 18．本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力 和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想．本题满分 12 分． （1）证明：因为 AO ⊥ 平面 11BB C C ，所以 1AO B C⊥ ， ···················································· 1 分 因为 1BC BB= ，所以四边形 11BB C C 是菱形，所以 11BC B C⊥ ， ····································· 2 分 因为 1AO BC O=，所以 1BC⊥ 平面 1ABC ， ··························································· 4 分 所以 1B C AB⊥ ． ·································································································· 5 分 （2）因为 11AB 与平面 11BB C C 所成的角为30 ， 11A B AB∥ ， 所以 AB 与平面 11BB C C 所成的角为 ， 因为 AO ⊥ 平面 11BB C C ， 所以 AB 与平面 所成的角为 ABO∠ ， 所以 =30ABO ∠ ， 令 2BC = ，则 1 =2 = 3, =1B C BO OA， ， 以O 为坐标原点，分别以 1,,OB OB OA为 ,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，···················· 6 分 则 (0,0,0)O ， ( 3,0,0)B ， 1(0,1,0)B ， (0,0,1)A ， 1( 3,0,0)C − ， B C A D因为 111(0,0,1) ( 3,1,0) ( 3,1,1)OA OA AA OA BB= + − = −+ = + = ， 所以 1( 3,1,1)A − ，平面 11B C B 的一个法向量为 (0,0,1)OA = ， ······································ 8 分 设平面 1 1 1B C A 的一个法向量为 ( , , )xzn y= ， 则 1 1 11 11 0 0 n AB CBn  = = ，即 30 30 xz xy − + = − − = ， 令 1x = ，则 3y =− ， 3z = ， (1, 3, 3)n = − ， ················································································10 分 所以 21cos , 7| | | | n OAn OA n OA  = =  ， 所以二面角 1 1 1A B C B−−的余弦值为 21 7− ． ··························································· 12 分 19．本题考查茎叶图与直方图的应用，考查 22 列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识， 考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想．本题满分 12 分． 解：（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为 6 人，非“安全通”为 14 人，男生样本中“安全通”人数为 122010)025.0035.0( =+ 人，非“安全通”的人数为 8 人，列出 列联表如下： ·················································· 2 分 假设 0H ：“安全通”与性别无关， 所以 2K 的观测值为 841.3636.322182020 )141286(40 2  −=k ，····································· 4 分 所以没有 95%的把握认为“安全通”与性别有关． ························································· 5 分 （2）由题知，随机选 1 女生为“安全通”的概率为 3.0 ， 选 1 男生为“安全通”的概率为 6.0 ， ········································································· 6 分 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 0784.0)6.01()3.01()0( 22 =−−==XP ， 3024.0)6.01(6.0)3.01()6.01)(3.01(3.0)1( 1 2 221 2 =−−+−−== CCXP ， 2 2 1 1 2 2 22( 2) 0.3 (1 0.6) 0.3(1 0.3) 0.6(1 0.6) (1 0.3) 0.6 0.3924P X C C= = − + − − + − = ， 1944.0)6.01(6.03.06.0)3.01(3.0)3( 1 2 221 2 =−+−== CCXP ， 0324.06.03.0)4( 22 ===XP ， ········································································ 9 分 所以 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.0784 0.3024 0.3924 0.1944 0.0324 ···································· 10 分 所以 ( ) 0 0.0784 1 0.3024 2 0.3924 3 0.1944 4 0.0324 1.8EX =  +  +  +  +  = ． ·········· 12 分 20．本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力， 考查数形结合、化归转化思想．本题满分 12 分． 解：（1）设 ( , )P x y ， 因为点 P 在线段 AB 上，且| | 2| |BP PA= ，所以 3( ,0), (0,3 )2 xA B y ， ······························· 2 分 男生 女生 合计 安全通 12 6 18 非安全通 8 14 22 合计 20 20 40 因为| | 3AB = ，所以 223( ) (3 ) 92 x y+=，即 2 2 14 x y+=， 所以点 P 的轨迹  的方程为 ． ·································································· 5 分 （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 当l 的斜率存在时，设 :l y kx m=+， 由 2 2 1,4 x y y kx m  +=  =+ 得 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ， ···················································· 6 分 所以 2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m = − + −  ，即 224 1 0km− +  ， 2 1 2 1 222 8 4 4,4 1 4 1 km mx x x xkk −+ = − =++ ，·········································································· 7 分 因为直线 ,QM QN 的斜率之和为 2，所以 12 12 112yy xx +++=， 所以 12 12 ( 1)( )22m x xk xx +++=，即 2 ( 1) 2221 m kmk m +−=− ，所以 1mk=− ， ······················· 9 分 当 时，满足 ，即 0 ，符合题意， 此时 :1l y kx k= + − 恒过定点(1,1) ，········································································ 10 分 当 的斜率不存在时， 12xx= ， 12yy=− ， 因为直线 的斜率之和为 2，所以 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2y y y y x x x x x + + − + ++ = + = = ， 所以 2 1x = ，此时 :1lx= ，恒过定点 ， 综上，直线l 恒过定点 ． ················································································ 12 分 21．本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类 讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想．本题满分 12 分． 解：（1） ( ) e 2e ( 2)xxf x a a− = − + − 2e ( 2)e 2 e xx x aa+ − −= ·············································· 2 分 ( e 2)(e 1) e xx x a −+= ， ············································································ 3 分 当 0a  时， ( ) 0fx  ， ()fx在 R 上单调递减； ····················································· 4 分 当 0a  时，由 得 2lnx a ，所以 在 2,ln a − 上单调递减； ·················· 5 分 由 ( ) 0fx  得 2lnx a ，所以 在 2ln ,a + 上单调递增． ··································· 6 分 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）解法一： 当 2x = 时， 22( ) e 2e ( 2) 022f a a − = + + −  ，即 2 2 2(e ) 02 e a    +  −  ， 所以 0a  ， ······································································································· 7 分 令 ( ) ( ) ( 2)cos e 2e ( 2) ( 2)cosxxg x f x a x a a x a x−= − + = + + − − + ， 则 ( ) e 2e ( 2) ( 2)sinxxg x a a a x− = − + − + + 2e2( 2) ( 2)sine x x a a a x−= + − + + ··············· 8 分 若 2a  ，则当  0,x  时， ( ) 0gx  ，所以 ()gx在 0, 上单调递增； 当 ( , )x  + 时， ( ) e 2e ( 2) ( 2)sin e 2e ( 2) ( 2)x x x xg x a a a x a a a−− = − + − + +  − + − − + 2e 2e 4 4 4 04aa − −  − −  , 所以当 [0, )x + 时， 单调递增，所以 ( ) (0) 0g x g=． ····································· 10 分 若 02a，则 (0) 2( 2) 0ga = −  ， ( ) e 2e ( 2) ( 2)sin e 2e ( 2) ( 2) e 2e 4x x x x x xg x a a a x a a a a− − − = − + − + +  − + − − + = − − ， 由 e 2e 4 0xxa −− − = 得 2 4 2ln 0ax a ++=， 所以 2 4 2(ln ) 0ag a ++  ， 所以 0 2 4 2(0,ln ]ax a ++ ，使得 0( ) 0gx = ，且当 0(0, )xx 时， ( ) 0gx  ， 所以 在 上单调递减， 所以当 时， ( ) (0) 0g x g=，不合题意． 综上， a 的取值范围为 2a  ． ·············································································· 12 分 解法二： 当 2x = 时， 22( ) e 2e ( 2) 022f a a − = + + −  ，即 2 2 2(e ) 02 e a    +  −  ， 所以 0a  ， ······································································································· 7 分 若 ，由（1）知： ( )fx在 2ln ,x a  + 上单调递增， 因为 ，所以 2ln 0a  ， 所以 在 [0, )x + 上单调递增， 所以当 时， ( ) (0) 2 ( 2)cosf x f a a x = +  + . ············································· 9 分 若 ， 令 ( ) ( ) ( 2)cos e 2e ( 2) ( 2)cosxxg x f x a x a a x a x−= − + = + + − − + ， 则 ·············· 10 分 所以 ， ， 由 得 2 4 2ln 0ax a ++=， 所以 2 4 2(ln ) 0ag a ++  ， 所以 0 2 4 2(0,ln ]ax a ++ ，使得 ，且当 时， ， 所以 在 上单调递减， 所以当 时， ，不合题意． 综上， 的取值范围为 ． ·············································································· 12 分 22．本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函 数与方程思想．满分 10 分． （1） 2 2cos , 2sin x y   =+  = （ 为参数） 曲线 1C 的普通方程为( )2 224xy− + = ，即 2240x y x+ − = ····································· 2 分 cosx = ， siny = ， 2 4 cos 0  −= 曲线 1C 的极坐标方程为 4cos= ······································································ 5 分 （2）依题意设 1( , )A ， 2( , )B ， 由 4cos   =  = 得 1 4cos= ．由 4sin   =  = 得 2 4sin= ． 0 4 ， 12 ．  124cos 4sinAB OA OB    = − = − = − ． ··················································· 7 分 OM 是圆 1C 的直径，∴ 2OAM =． 在直角 OAMr 中， 4sinAM = ····································································· 8 分 在直角 BAMr 中， 4AMB =  AB AM= ，即 4cos 4sin 4sin  −= ··························································· 9 分  4cos 8sin= ，即 1tan 2 = ． ······································································ 10 分 23．本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力； 考查化归与转化，分类与整合思想．满分 10 分． 解：（1） ( ) 62f   ， 2 3 1 6aa + − + −  ，即 3 1 4aa− + −  ·································· 1 分 当 3a  时，不等式化为 3 1 4 3 aa a − + −    ， 4a ······················································· 2 分 当13a时，不等式化为 ( ) ( )3 1 4 13 aa a  − + −   ，此时 a 无解·········································· 3 分 当 1a  时，不等式化为 ( ) ( )3 1 4 1 aa a  − + −   ， 0a ··················································· 4 分 综上，原不等式的解集为{ | 0aa 或 4}a  ································································ 5 分 （2）要证 Rx ， 1( ) 3 +1f x a a − − 恒成立 即证 Rx ， 12sin 1 +1xa a − − − 恒成立 ······························································ 6 分 2sin x 的最小值为 2− ，只需证 12 1 +1a a−  − − − ，即证 11 +1 2a a− +  ···················· 8 分 又 1 1 1 1 11 +1 1 1 2 2a a a a aa a a a a− +  − + + = + = +   = 11 +1 2a a − +  成立，原题得证 ········································································ 10 分