江苏南通市通州区2020届高三数学第二次调研试卷（Word版含答案）

2020 届高三第二次调研抽测 数学 I 参考公式： 柱体的体积公式 V 柱体＝Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置。 1.己知复数 z 满足 z(1＋2i)＝3＋4i(i 为虚数单位)，则|z|＝ 。 2.已知集合 A＝{1，a2，4}，B＝{2a，0}，若 A∩B≠ ，则实数 a 的值为 。 3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平 均分为 。 4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 。 5.甲、乙、丙、丁 4 名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同 一企业”的概率为 。 6.函数 的定义域为 。 7.已知双曲线 的右准线与渐近线的交点在抛物线 y2＝2px 上，则实数 p 的值 为 。 8.已知高为 3 的圆柱内接于一个直径为 5 的球内，则该圆柱的体积为 。 9.已知等比数列{an}的各项均为正数，若 a3＝2，则 a1＋2a5 的最小值为 。 10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋(y－1)2＝1，圆 C'： 。直线 l：y＝kx＋3 与圆 C 相切，且与圆 C'相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 。 ∅ 2( ) lg 1f x x = − 2 2 14 12 x y− = 2 2( 2 3) 6x y+ + =11.已知函数 f(x)＝(2|x|－1)，若关于 x 的不等式 f(x2－2x－2a)＋f(ax－3)≤0 对任意的 x∈[1，3] 恒成立，则实数 a 的取值范围是 。 12.在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边。若 a，b，c 成等比数列，且(b＋c)(b －c)＝a2－ ac，则 的值为 。 13.如图，己知半圆 O 的直径 AB＝8，点 P 是弦 AC(包含端点 A，C)上的动点，点 Q 在弧 上。若△OAC 是等边三角形，且满足 ，则 的最小值为 。 14.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)在区间(0，1]上有零点 x0，则 的最大值 为 。 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且∠ AOP＝α，将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 β 后到点 Q(a，b)，其中 β∈ 。 (1)若点 P 的坐标为 ，β＝ 时，求 ab 的值； (2)若 ，求 b2－a2 的取值范围。 16.(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AD，E，F 分 2 3 1 1 tan tanA C + BC 0OQ OP⋅ =  OP BQ⋅  0 0 1 1 4 9 3 xab x  + −    2,6 3 π π     3 4,5 5      4 π 6 πα =别是棱 AB，PC 的中点。求证： (1)EF//平面 PAD； (2)平面 PCE⊥平面 PCD。 17.(本小题满分 14 分) 中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展。已知某条高 铁线路通车后，发车时间间隔 t(单位：分钟)满足 5≤t≤25，t∈N*。经测算，高铁的载客量与 发车时间间隔 t 相关：当 20≤t≤25 时高铁为满载状态，载客量为 1000 人；当 5≤t > 1 2(1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F 作直线 l(不与 x 轴重合)和椭圆 C 交于 M，N 两点，设点 A( ，0)。 ①若△AMN 的面积为 ，求直线 l 方程； ②过点 M 作与 y 轴垂直的直线 l'和直线 NA 交于点 P，求证：点 P 在一条定直线上。 19.(本小题满分 16 分) 己知函数 f(x)＝lnx＋2ax(a∈R)，g(x)＝x2＋1－2f(x)。 (1)当 a＝－1 时， ①求函数 f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； ②比较 f(m)与 f( )的大小； (3)当 a>0 时，若对 x∈(1，＋∞)时，g(x)≥0，且 g(x)有唯一零点，证明：a< 。 20.(本小题满分 16 分) 己知数列{an}的前 n 项积为 Tn，满足 (n∈N*)。数列{bn}的首项为 2，且满足 nbn＋1＝ (n＋1)bn(n∈N*)。 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记集合 M＝{n|λan≤bnbn＋1(10n＋5)，n∈N*}，若集合 M 的元素个数为 2，求实数 λ 的取值 范围； (3)是否存在正整数 p，q，r，使得 a1＋a2＋…＋aq＝bp＋r·aq 成立?如果存在，请写出 p，q，r 满足的条件；如果不存在，请说明理由。 2020 届高三第二次调研抽测 数学 II(附加题) 21.本题包括 A，B 共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分。把答案写在答题卡相应的位置上。解 5 2 6 3 5 1 m ∀ 3 4 ( 1) 23 n n nT − =答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修 4－2：矩阵与变换 设点(x，y)在矩阵 M 对应变换作用下得到点(2x，x＋y)。 (1)求矩阵 M； (2)若直线 l：x－2y＝5 在矩阵 M 对应变换作用下得到直线 l'，求直线 l'的方程。 B.选修 4－4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，己知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，曲线 C 的参数方 程为 (θ 为参数，a≠0)。若直线 l 与曲线 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围。 22.【必做题】本题满分 10 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 某校高一年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机 抽取 10 首古诗，参赛者能够正确背诵 6 首及以上的进入正赛。若学生甲参赛，他背诵每一首 古诗的正确的概率均为 。 (1)求甲进入正赛的概率； (2)若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则是：电脑随机抽取 4 首古诗，每首古诗背诵正确加 2 分，错误减 1 分。由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为 ，求甲在正赛中积分 X 的 概率分布列及数学期望。 23.【必做题】本题满分 10 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 已知抛物线 C；y2＝2x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线 C 上异于顶点的动点。 (1)过点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 H，若△PHF 与△POF 的面积之比为 2：1，求点 P 的坐标； (2)过点 M(－ ，0)任作一条直线 m 与抛物线 C 交于不同的两点 A，B。若两直线 PA，PB 斜 率之和为 2，求点 P 的坐标。 3 1 4 3 x t y t = +  = + cos sin x a a y a θ θ = +  = 1 2 2 5 1 2