四省八校2020届高三数学（理）上学期第二次质检试卷（Word版含答案）

“四省八校”2020 届高三第二次教学质量检测考试 数学(理科) 2019.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的。 1.若全集 U＝R，集合 A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的 集合为 A.{x|－2≤x0(i 为虚数单位)，则实数 a 等于 A.－1 B.0 C.1 D.2 3.平面内到两定点 A，B 的距离之比等于常数 λ(λ>0 且 λ≠1)的动点 P 的轨迹叫做阿波罗尼斯 圆。已知 A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝ |PB|，则点 P 的轨迹围成的平面图形的面积为 A.2π B.4π C. D. 4. ， 是单位向量，“( ＋ )2b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 7.已知 ，则 sin2α＝ A.－ B.－ C. D. 8.已知 ＝(1，x)， ＝(y，1)(x>0，y>0)。若 // ，则 的最大值为 A. B.1 C. D.2 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.50π B.50 π C.100π D.100 π 10.某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于 2019 年 11 月 20 日在学校演艺大厅开幕， 开幕式文艺表演共由 6 个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文 明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺 表演演出顺序的编排方案共有 A.120 种 B.156 种 C.188 种 D.240 种 1l.已知双曲线 的离心率为 ，A，B 是双曲线上关于原点对称的两 点，M 是双曲线上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1∈[1，2]， 则 k2 的取值范围为 A.[ ， ] B.[ ， ] C.[－ ，－ ] D.[－ ，－ ] 12.已知 对任意 x∈(0，1)恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.(0，e＋1) B.(0，e＋1] C.(－∞，e＋1) D.(－∞，e＋1] 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 4sin( )4 5 π α+ = 7 25 1 5 1 5 7 25 a b a b xy x y+ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 5 2 1 8 1 4 1 4 1 2 1 4 1 8 1 2 1 4 1 1lnx xe x e a x −− > +13.已知数列{an}是公比 的等比数列，且 a3＝a1·a2，则 a10＝ 。 14. 的展开式中含 x3 项的系数为 。 15.已知变量 x，y 满足约束条件 ，若－x＋y≥－m2＋4m 恒成立，则实数 m 的 取值范围为 。 16.对任意实数 x，以[x]表示不超过 x 的最大整数，称它为 x 的整数部分，如[4.2]＝4，[－7.6] ＝－8 等。定义{x}＝x－[x]，称它为 x 的小数部分，如{3.1}＝0.1，{－7.6}＝0.4 等。若直线 kx ＋y－k＝0 与 y＝{x}有四个不同的交点，则实数 k 的取值范围是 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(12 分) 在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 。 (1)求角 C 的大小； (2)若 b＝1，求 c 的取值范围。 18.(12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，点 M 在线段 PC 上，PD＝BD＝BC＝ ，N 是线段 PB 的中点，且三棱锥 M－BCD 的体积是四棱锥 P－ABCD 的体积的 。 (1)若 H 是 PM 的中点，证明：平面 ANH//平面 BDM； (2)若 PD⊥平面 ABCD，求二面角 B－DM－C 的正弦值。 19.(12 分) 某烘焙店加工一个成本为 60 元的蛋糕，然后以每个 120 元的价格出售，如果当天卖不完，剩 下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理。 (1)若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：个， n∈N)的函数解析式； 1 2 0 q x dx= ∫ 61( 2) ( 0)x xx + − > 2 0 2 2 0 1 1 x x y x y − ≤  − + ≥  + + ≥ cos sin sin cos b c a A C C A = + 3 1 6(2)烘焙店记录了 100 天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 ①若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期 望及方差； ②若烘焙店一天加工 16 个或 17 个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工 16 个还是 17 个？请说明理由。 20.(12 分) 已知椭圆 C： 的左焦点为 F(－1，0)，且点(1， )在椭圆 C 上。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，直线 m：x＝－2，过 F 作垂直于 l 的直线与直线 m 交于点 T，求 的最小值和此时 l 的方程。 21.(12 分) 已知函数 f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2。 (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数 f(x)和 g(x)的图象有两个交点，它们的横坐标分别为 x1，x2，求证：x1＋x2 > 2 2 − TF AB 11 2 3 2 x t y t  = +  = 2 cos sin x y θ θ  = = cos 3 sin x y α α =  = +求|PQ|的最大值。 23.(10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知 x＋2y＋3z＝ 。 (1)求 x2＋y2＋z2 的最小值 M； (2)若 a，b∈R＋，a＋b＝M，求证： 。 14 1 1 4a b + ≥