2020年中考数学考点解析：一元一次方程及其应用

专题 06 一元一次方程及其应用 知识点 1：一元一次方程的概念 1.一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a≠0)。 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是 1 次； （3）整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2.方程的解： 　　判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点 2：一元一次方程的解法 1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 性质 1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 性质 2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质 2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。 （2）去括号 专题知识回顾 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。 （3）移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质 1， 移项要变号，不移不变号。 （4）合并同类项 把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。 （5）系数化为 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x＝b/a ,依据等式基本性质 2，计算要仔细，分子分母勿颠 倒。 要点诠释： 理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0 时，方程有唯一解 x＝b/a ； ②a=0，b=0 时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0 时，方程无解。 知识点 3：列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。 （2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． （3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 （4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 （1）行程问题： 距离=速度·时间 （2）工程问题： 工作量=工效·工时 （3）比率问题： 部分=全体·比率 （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ； （6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR，S 圆=πR2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab， C 正方形=4a， S 正方形=a2，S 环形=π(R2-r2),V 长方体=abc ，V 正方体=a3，V 圆柱=πR2h ，V 圆锥= πR2h. 知识点 4：方程与整式、等式的区别 （1）从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5，m＝n＝n＋m 等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知 数。两者缺一不可。 （2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用 运算符号连接起来，不含有等号。 （3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知 数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。 【例题 1】（经典题）解方程： 【答案】x= 10 1 %100×−= 成本 成本售价利润率 3 1 专题典型题考法及解析 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 左右同乘 12 可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1）， 化简可得：3x+3=8x﹣8， 移项可得：5x=11， 解可得 x= ． 故原方程的解为 x= 【例题 2】（2019•杭州）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设 男生有 x 人，则（　　） A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72 【答案】D． 【解析】设男生有 x 人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得： 3x+2（30﹣x）＝72． 【例题 3】（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只 知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　 　步． 【答案】12 【解析】设长为 x 步，宽为（60﹣x）步， x（60﹣x）＝864， 解得，x1＝36，x2＝24（舍去）， ∴当 x＝36 时，60﹣x＝24， ∴长比宽多：36﹣24＝12（步） 【例题 4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是： 同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走 路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少 步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人 走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】（1）当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步． （2）走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人． 【解析】（1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步．列方程求解即可。 由题意得 x：600＝100：60 ∴x＝1000 ∴1000﹣600﹣100＝300 所以当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步． （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人 只能走 60 步，及追及问题可列方程求解． 由题意得 y＝200+ y ∴y＝500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人． 专题典型训练题 一、选择题 1.（2019▪贵州毕节）如果 3ab2m﹣1 与 9abm+1 是同类项，那么 m 等于（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出 m 的方程解答即可． 根据题意可得：2m﹣1＝m+1， 解得：m＝2 2.（2019•湖南怀化）一元一次方程 x﹣2＝0 的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1 【答案】A 【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案． x﹣2＝0， 解得：x＝2． 3.（2018 江苏无锡）林地 108 公顷，旱地 54 公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林 地面积的 20%，设把 x 公顷旱地改为林地，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为 公顷，林地面积为 公顷，等量关系为“旱地 占林地面积的 20%”，即 . 故选 B. 54 20% 108x− = × ( )54 20% 108x x− = × + 54 20% 162x+ = × ( )108 20% 54x x− = + 54 x− 108 x+ ( )54 20% 108x x− = × + 4．（2018 湖南长沙）某车间有26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 【答案】C 【解析】题目已经设出安排 x 名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母 的个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得 1000（26﹣x）=2×800x，故 C 答案正确。 5．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人 出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所列方程 正确的是（　　） A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． ＝ D． ＝ 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 二、填空题 6.（经典题）方程﹣ （1﹣2x）= （3x+1）的解为___________. 【答案】x=﹣ ． 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 ﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1） ﹣7+14x=18x+6 ﹣4x=13 x=﹣ ． 7.（2019 贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促 销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是　 　元． 【答案】2000 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元， 由题意，得（1+40%）x×0.8＝2240． 解得 x＝2000 8.（2019 湖南湘西）若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为　 　． 【答案】4 【解析】考查一元一次方程的解 ∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2， ∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4． 9．（2018 福建）一件服装的标价为 300 元，打八折销售后可获利 60 元，则该件服装的成本价是　　元． 【答案】180 【解析】设该件服装的成本价是 x 元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于 x 的一元一次方程，解 方程即可得出结论． 设该件服装的成本价是 x 元， 依题意得：300× ﹣x=60， 解得：x=180． ∴该件服装的成本价是 180 元． 10.（2018 武汉）某商品的进价为每件 100 元，按标价打八折售出后每件可获利 20 元，则该商品的标价为 每件　 　元． 【答案】150． 【解析】考点是一元一次方程的应用．设该商品的标价为每件为 x 元，根据八折出售可获利 20 元，可得出 方程：80%x﹣100=20，再解答即可． 解得：x=150． 答：该商品的标价为每件 150 元． 11.（2019 贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促 销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是　 　元． 【答案】2000. 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可． 由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240． 解得：x＝2000 12.（2019•湖南株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者 行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速 度快的人走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度快的人去追赶，则速度快的 人要走　 　步才能追到速度慢的人． [【答案】250． 【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出 t 值，再将 其代入路程＝速度×时间，即可求出结论． 根据题意得：（100﹣60）t＝100， 解得：t＝2.5， ∴100t＝100×2.5＝250． 所以走路快的人要走 250 步才能追上走路慢的人． 13.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该 商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是　 　元． 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可． 由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240． 解得：x＝2000 14.（2019•湖南湘西州）若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为　 　． 【答案】4 【解析】∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2， ∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4． 15.（2019•湖南岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织 五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织多少 布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺． 【答案】 ．[ 【解析】设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织布 16x 尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x＝5， 解得：x＝ ， 即该女子第一天织布 尺． 三、解答题 16.（经典题）解方程 （1）4﹣x=3（2﹣x）； （2） ． 【答案】见解析。 【解析】（1）去括号得：4﹣x=6﹣3x， 移项得：﹣x+3x=6﹣4， 合并得：2x=2， 系数化为 1 得：x=1． （2）去分母得：5（x﹣1）﹣2（x+1）=2， 去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2， 移项得：5x﹣2x=2+5+2， 合并得：3x=9， 系数化 1 得：x=3． 17．（经典题）解方程 （1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）； （2）x﹣ =2﹣ ． 【答案】见解析。 【解析】（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10 移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10 合并得：2x=54 系数化为 1 得：x=27； （2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2） 去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4 移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3 合并得：5x=5 系数化为 1 得：x=1． 18.（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例．据 了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改 造土地面积多 600 亩． （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ （2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面 积不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【答案】见解析。 【解析】（1）设改造土地面积是 x 亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积 ＝1200 亩”列出方程并解答； 由题意，得 x+（600+x）＝1200,解得 x＝300． 则 600+x＝900． 所以改造土地面积是 300 亩，则复耕土地面积是 900 亩。 （2）设休闲小广场总面积是 y 亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园 总面积的 ”列出不等式并解答． 由题意，得 y≤ （300﹣y）． 解得 y≤75． 故休闲小广场总面积最多为 75 亩． 所以休闲小广场总面积最多为 75 亩． 19.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个 问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少 辆车？ 【答案】共有 39 人，15 辆车． 【解析】设共有 x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 根据题意得： +2＝ ， 去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39， ∴ ＝15， 则共有 39 人，15 辆车． 20．（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵 30 元，乙种树苗每棵 20 元， 且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的 2 倍少 40 棵，购买两种树苗的总金额为 9000 元． （1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共 10 棵，总费用不超过 230 元，求可能的购买方 案？ 【答案】见解析。 【解析】（1）设购买甲种树苗 x 棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵， 由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000， 70x＝9800，x＝140， ∴购买甲种树苗 140 棵，乙种树苗 240 棵。 （2）设购买甲树苗 y 棵。乙树苗（10-y）棵， 根据题意得：30y+20（10-y） 230 10y 30 y 3 购买方案 2：购买甲树苗 2 棵，乙树苗 8 棵； 购买方案 3：购买甲树苗 1 棵，乙树苗 9 棵； 购买方案 4：购买甲树苗 0 棵，乙树苗 10 棵。 21.(2019 安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其 中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队 加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此 速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天． 【解析】设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙 工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后求工作时间． 由题意，得 2x+（x+x﹣2）＝26， 解得 x＝7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， （天） 所以甲乙两个工程队还需联合工作 10 天． ≤ ≤ ≤