2020年中考数学考点解析：一次函数

专题 11 一次函数 1．一次函数的定义 一般地，形如 （ ， 是常数，且 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。 2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。 3．一次函数的性质： （1）当 k>0 时，图象主要经过第一、三象限；此时，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，直线交 y 轴于正半轴； （4）当 b0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时， 向上平移；当 b ∴ 2 0b = − 5x = 1 2y y>  1l 2l 直线 直线 ， ， 直线 向下平移若干个单位后得直线 ， ， 当 时， 8.（2019•浙江杭州）已知一次函数 y1＝ax+b 和 y2＝bx+a（a≠b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（　　） A B C D 【答案】A 【解析】根据直线①判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判 断． A.由①可知：a＞0，b＞0． ∴直线②经过一、二、三象限，故 A 正确； B.由①可知：a＜0，b＞0． ∴直线②经过一、二、三象限，故 B 错误； C.由①可知：a＜0，b＞0． ∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故 C 错误； D.由①可知：a＜0，b＜0， ∴ 1 / /l 2l 1 2k k∴ =  1l 2l 1 2b b∴ > ∴ 5x = 1 2y y> ∴直线②经过二、三、四象限，故 D 错误． 二、填空题 9.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数 y＝k1x+b1 与 y＝k2x+b2 的图象如图所示，则关于 x，y 的方 程组 的解是　 　． 【答案】 ． 【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． ∵一次函数 y＝k1x+b1 与 y＝k2x+b2 的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于 x，y 的方程组 的解是 ． 10.（2019 贵州黔西南州）如图所示，一次函数 y＝ax+b（a、b 为常数，且 a＞0）的图象经过点 A（4，1）， 则不等式 ax+b＜1 的解集为　 　． 【答案】x＜4 【解析】函数 y＝ax+b 的图象如图所示，图象经过点 A（4，1），且函数值 y 随 x 的增大而增大， 故不等式 ax+b＜1 的解集是 x＜4． 11.（2019 湖南郴州）某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶． 【答案】150 【解析】这是一个一次函数模型，设 y＝kx+b，则有{k + b = 120 2푘 + 푏 = 125， 解得{k = 5 푏 = 115， ∴y＝5x+115， 当 x＝7 时，y＝150， ∴预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶。 12.（2019 山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数 y= x 和 y=－ x 的图象分别为直线 l1，l2，过 l1 上的点 A1（1， ）作 x 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 x 轴的垂 线交 l2 于点 A4，…依次进行下去，则点 A2019 的横坐标为____________． 3 3 3 3 3 【答案】－31009 【解析】从简单的入手，分别求出 A2 到 A9 的横坐标，找出循环，依此规律结合 2019=504×4+3 即可找出 点 A2019 的坐标． 当 x=1 时，y=－ x=－ ，∴A2（1，－ ）；当 y= x=－ ，x=－3，∴A3（－3，－ ）；当 x= －3 时，y=－ x=3 ，∴A4（－3，3 ）；当 y= x=3 时，x=9，∴A5（9，3 ）；同理可得 A6 （9，－9 ），A 7（－27，－9 ），A 8（－27，27 ），A 9（81，27 ），…，∴A 4n+1（32n，32n× ），A4n+2（32n，－32n× ），A4n+3（－32n+1，－32n+1× ），A4n+4（－32n+1，32n+1× ），（n 为自然 数）．∵2019=504×4+3，∴点 A2019 的横坐标为－32×504+1=－31009． 13.（2019 辽宁本溪）函数 y=5x 的图象经过的象限是 . 【答案】一、三. 【解析】函数 y=5x 的图象经过一三象限， 故答案为一、三. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 14.（2019 江苏徐州）函数 y＝x＋1 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴上，若△ABC 为 等腰三角形，则满足条件的点 C 共有_________个. 【答案】4 【解析】本题解答时要分类讨论.作 AB 的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB 为等腰三角形；以 B 为圆心 BA 长为半径交 x 轴于 C2，△C2AB 为等腰三角形，以 A 为圆心，AB 长为半径，交 x 轴于 C3，C4，则△C3AB，△ C4AB 为等腰三角形，所以满足条件的 C 点的有 4 个. 三、解答题 15.（2019•河北）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到 位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲 返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头 （m）． （1）当 v＝2 时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲（m）， 求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） y x C3 C4A O （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此 过程中行进的路程． 【答案】见解析。 【解析】（1）①排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），则排头也离开原排头 t（s）， ∴S 头＝2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s， 此时 S 头＝2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s ∴S 甲＝S 头﹣S 甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200； 因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m，在甲从排头返回到 排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲＝﹣4t+1200． （2）T＝t 追及+t 返回＝ + ＝ ， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为： v×（T﹣150）＝v×（ ﹣﹣150）＝400﹣150v； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T＝ ，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m． 16.（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元． （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请设计出最省钱的 购买方案，并说明理由． 【答案】见解析。 【解析】（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元， 根据题意，得 ， ∴ ， ∴A 的单价 30 元，B 的单价 15 元； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为 W 元， 由题意可知，z≥ （30﹣z）， ∴z≥ ， W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z， 当 z＝8 时，W 有最小值为 570 元， 即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少。 17.（2019•浙江湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米．甲从小区步行去学 校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行 走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米．设甲步行的时间为 x（分），图 1 中线段 OA 和折线 B﹣C﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程 y（米）与甲步行时间 x（分）的函数关系的图象；图 2 表 示甲、乙两人之间的距离 s（米）与甲步行时间 x（分）的函数关系的图象（不完整）． 根据图 1 和图 2 中所给信息，解答下列问题： （1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）在图 2 中，画出当 25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 【答案】见解析。 【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答． （1）由图可得， 甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分）， 乙出发时甲离开小区的路程是 10×80＝800（米）， 答：甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米； （2）设直线 OA 的解析式为 y＝kx， 30k＝2800，得 k＝80， ∴直线 OA 的解析式为 y＝80x， 当 x＝18 时，y＝80×18＝1440， 则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分）， ∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟）， ∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米）， 当 x＝25 时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米）， ∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米）， 答：乙骑自行车的速度是 180 米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是 700 米； （3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分）， 乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分）， 当 25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如右图所示． 18.（2019 北京市） 在平面直角坐标系 中，直线 l： 与直线 ，直线 分别交 于点 A，B，直线 与直线 交于点 ． （1）求直线 与 轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 围成的区域（不含边界）为 ． ①当 时，结合函数图象，求区域 内的整点个数； ②若区域 内没有整点，直接写出 的取值范围． 【答案】见解析。 【解析】（1）当 时，由 ；∴直线 与 轴的交点坐标为 . （2）①如下图，当 k=2 时，直线 ： ，把 代入直线 ，则 .∴ ； 把 代入直线 ， ∴ ， ∴ . . 画出函数 的图象及直线 ，直线 组成的区域， xOy ( )1 0y kx k= + ≠ x k= y k= − x k= y k= − C l y AB BC CA， ， W 2k = W W k 0x = ( )1 0 1y kx k= + ≠ = l y ( )0,1 l 2 1y x= + 2x = l 5y = ( )2,5A 2y = − l 2 2 1x− = + 3 2x = − 3 , 22B − −   ( )2, 2C − 2 1y x= + 2x = 2y = − 显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域 内的整点个数有 6 个. ② 由类似①分析图象知区域 内没有整点时有 或 . 19. （2019 黑龙江省龙东地区）小明放学后从学校回家，出发 5 分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷 忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发 10 分钟时，小明才想起没拿数学作 业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 y（米）与小强所用时间 t（分钟）之 间的函数图象如图所示． （1）求函数图象中 a 的值； （2）求小强的速度； （3）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】见解析。 【解析】对于（1），结合图象，全面、仔细分析运动对象和运动过程，（0,300）这个点的含义是：小明出发 5 分钟时，离学校 300 米，此时小强出发.由此可知小明离开学校后的速度.点 A（10，a）的含义是：小强出 x分钟 B A 12100 300 a y（米） W W 1 0k− ≤ < 2k = − 发 10 分钟后，小明离学校 a 米，此时小明运动的时间为 10+5=15 分钟，结合以上两个条件，可以求出 a 的 值；对于（2），小强出发 12 分钟后与小明相遇，此时小明运动了 15+2=17 分钟，其中最后两分钟是折返后 的行程，由此可计算出两人相遇地点与学校之间的距离，再根据小强运动到相遇地点所用的时间，即可计 算出小强的速度；对于（3），先确定点 B 的坐标，再根据待定系数法即可求出线段 AB 的函数解析式. 【解题过程】（1）a= =900 （2）小明的速度为 300÷5=60（米/分） 小强的速度为（900-60×2）÷12=65（米/分） （3）由题意得 B（12,780） 设 AB 所在直线的解析式为 y=kx+b(k≠0), 把 A（10,900），B（12,780）代入得： ，解得 ， ∴线段 AB 的解析式为 y=-60x+1500，(10≤x≤12) 20.（2019•贵州省安顺市）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价 格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元）与每千元降价 x（元） （0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】见解析。 【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 300 (10 5)5 × + 10 900 12 780 k b k b + =  + = 60 1500 k b = −  = 当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y＝140； ∴ ， 解得： ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝10x+100； （2）由题意得： （60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1．x2＝9， ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元． 21．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b），B（c，d），若点 T（x，y）满足 x ＝ ，y＝ 那么称点 T 是点 A，B 的融合点． 例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点 T（x，y）满足 x＝ ＝1，y＝ ＝2 时，则点 T（1，2） 是点 A，B 的融合点． （1）已知点 A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点 D（3，0），点 E（t，2t+3）是直线 l 上任意一点，点 T（x，y）是点 D，E 的融合点． ①试确定 y 与 x 的关系式． ②若直线 ET 交 x 轴于点 H．当△DTH 为直角三角形时，求点 E 的坐标． 【答案】见解析。 【解析】x＝ （﹣1+7）＝2，y＝ （5+7）＝4，即可求解； ①由题意得：x＝ （t+3），y＝ （2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三 种情况，分别求解即可． （1）x＝ （﹣1+7）＝2，y＝ （5+7）＝4， 故点 C 是点 A、B 的融合点； （2）①由题意得：x＝ （t+3），y＝ （2t+3）， 则 t＝3x﹣3， 则 y＝ （6x﹣6+3）＝2x﹣1； ②当∠DHT＝90°时，如图 1 所示， 设 T（m，2m﹣1），则点 E（m，2m+3）， 由点 T 是点 D，E 的融合点得：m＝ ， 解得：m＝ ，即点 E（ ，6）； 当∠TDH＝90°时，如图 2 所示， 则点 T（3，5）， 由点 T 是点 D，E 的融合点得：点 E（6，15）； 当∠HTD＝90°时，该情况不存在； 故点 E（ ，6）或（6，15）．