2020年中考数学考点解析：相交线与平行线

专题 15 相交线与平行线 一、相交线 1．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 邻补角的性质：邻补角互补。 2．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。 3．垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4．垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 5．同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1 与∠5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2 与∠6 像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。 二、平行线 专题知识回顾 1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做 a∥b 2.两条直线的位置关系：平行和相交。 3.平行线公理及其推论： （1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 4.平行线的判定： 判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 ； 判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行； 判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行. 5.平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 6.平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。 判定 2：内错角相等，两直线平行。 判定 3：同旁内角相等，两直线平行。 7．证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 【例题 1】（2019•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 【答案】C． 【解析】证明：延长 BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【例题 2】（2019 广西河池）如图， ，要使 ，则 的大小是 　　1 120∠ = ° / /a b 2∠ ( ) 专题典型题考法及解析 A． B． C． D． 【答案】 ． 【解析】平行线的判定 如果 ，那么 ． 所以要使 ，则 的大小是 ．故选： ． 【 例 题 3 】 （ 2019 广 西 省 贵 港 市 ） 如 图 ， 直 线 ， 直 线 与 ， 均 相 交 ， 若 ， 则 　　． 【答案】 ． 【解析】知识点是平行线的性质 如图， ， ， ， ． 60° 80° 100° 120° D 2 1 120∠ = ∠ = ° / /a b / /a b 2∠ 120° D / /a b m a b 1 38∠ = ° 2∠ = 142° / /a b 2 3∴∠ = ∠ 1 3 180∠ + ∠ = ° 2 180 38 142∴∠ = ° − ° = ° 专题典型训练题 一、选择题 1.（2019•贵州省铜仁市）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4 的度数为（　　） A．60° B．100° C．120° D．130°\ 【答案】C． 【解答】∵∠1＝∠3， ∴a∥b， ∴∠5＝∠2＝60°， ∴∠4＝180°﹣60°＝120°， 2.（2019 广东深圳）如图，已知 l1∥AB，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ） A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3 【答案】B 【解析】∵AC 为角平分线，∴∠1=∠2．∵l1∥AB，∴∠4=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠4，∠1=∠3．故 A、C、D 正确．∵l1∥AB，∴∠5=∠1+∠2，故 B 错误．故选 B． 3.（2019•湖北省鄂州市）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1 的度 数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 如图， 作 EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC， ∵∠AEC＝90°， ∴∠1＝90°﹣35°＝55° 4.（2019•海南省）如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1 上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直 线 l1、l2 于 B、C 两点，连结 AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】C 【解析】根据平行线的性质解答即可． ∵点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C， ∴AC＝AB， ∴∠CBA＝∠BCA＝70°， ∵l1∥l2， ∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°， ∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40° 5.（2019 广西北部湾）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为。 A. 60° B.65° C. 75° D.85° 【答案】C. 【解析】如图： ∵∠BCA=60°，∠DCE=45°， ∴∠2=180°-60°-45°=75°， ∵HF∥BC， ∴∠1=∠2=75°. 6.（2019•四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE 与 BD 交于点 C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E 的度数为（　　） A．135° B．125° C．115° D．105° 【答案】D 【解析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD 度数，再利用平行线的性质分析得出答案． ∵∠B＝30°，∠A＝75°， ∴∠ACD＝30°+75°＝105°， ∵BD∥EF， ∴∠E＝∠ACD＝105°． 7.（2019 湖北十堰）如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1． 解：∵直线 AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠1＝50°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直线 a∥b， ∴∠1＝∠3＝40° 8.（2019 湖北仙桃）如图，CD∥AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数 是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】D 【解析】∵CD∥AB， ∴∠AOD+∠D＝180°， ∴∠AOD＝70°， ∴∠DOB＝110°， ∵OE 平分∠BOD， ∴∠DOE＝55°， ∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°， ∴∠AOF＝70°﹣35°＝35° 9. （2019 湖北孝感）如图，直线 l1∥l2，直线 l3 与 l1，l2 分别交于点 A，C，BC⊥l3 交 l1 于点 B，若∠1＝ 70°，则∠2 的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解析】解：∵l1∥l2， ∴∠1＝∠CAB＝70°， ∵BC⊥l3 交 l1 于点 B， ∴∠ACB＝90°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°， 10.（2019 湖南湘西）如图，直线 a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3 的度数为（　　） A．40° B．90° C．50° D．100° 【答案】B 【解析】∵a∥b， ∴∠4＝∠1＝50°， ∵∠2＝40°， ∴∠3＝90°， 故选：B． 11.（2019 湖南邵阳）如图，已知两直线 与 被第三条直线 所截，下列等式一定成立的是 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 与 是同为角， 与 是内错角， 与 是同旁内角，由平行线的性质可知，选项 ， ， 成立的条件为 时，而 与 是邻补角，故 正确． 12.（2019 贵州遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4 的度数是（ ） A. 74° B. 76° C. 84° D. 86° 1l 2l 3l ( ) 2l∠ = ∠ 2 3∠ = ∠ 2 4 180∠ + ∠ = ° 1 4 180∠ + ∠ = ° 1∠ 2∠ 2∠ 3∠ 2∠ 4∠ A B C 1 2/ /l l 1∠ 4∠ D 【答案】B 【解析】平行线的性质与判定 由于∠1+∠2=180°可知两直线平行，所以∠3 的对顶角与∠4 互补，因为∠3=104°， 所以，∠4 的度数是 76°，所以选 B。 二、填空题 13.（2019 湖南郴州）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截．若 a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3 的度 数为 　度． 【答案】100 【解析】∵a∥b， ∴∠3＝∠4， ∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°， ∴130°＝30°+∠3， 解得：∠3＝100°． 故答案为：100． 14.（2019 年广西柳州市）如图，若 AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是___________． 【答案】∠1=∠3 【解析】平行线的判定 AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等得∠1=∠3，因此本题填∠1=∠3． 15.（2019 吉林长春）如图，直线 MN//PQ，点 A、B 分别在 MN、PQ 上，∠MAB=33°.过线段上的点 C 作 CD⊥ AB 交 PQ 于点 D，则∠CDB 的大小为 度 【答案】57． 【解析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出∠ABD 的度数， 再结合三角形内角和定理得出答案． ∵直线 MN∥PQ， ∴∠MAB=∠ABD=33°， ∵CD⊥AB， 3 2 1 A B C E D ∴∠BCD=90°， ∴∠CDB=90°-33°=57°． 16.（2019 江苏镇江）如图，直线 a∥b，△ABC 的顶点 C 在直线 b 上，边 AB 与直线 b 相交于点 D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝ ． 【答案】40° 【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三 角形内角和定理，先求出∠ACD 的度数是解题的关键． ∵△BCD 是等边三角形， ∴∠B＝∠BCD＝60°． ∵∠A＝20°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°． ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°． ∵a∥b， ∴∠1＝∠ACD＝40°． 17.（2019 江苏镇江）如图，直线 ， 的顶点 在直线 上，边 与直线 相交于点 ．若 是等边三角形， ，则 　　 ． 1 D C B A b a / /a b ABC∆ C b AB b D BCD∆ 20A∠ = ° 1∠ = ° 【答案】40 【解析】 是等边三角形， ， ， ， 由三角形的外角性质可知， 18.(2019•四川省绵阳市)如图，AB∥CD，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点 E，则∠1+∠2=______． 【答案】90° 【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°， BCD∆ 60BDC∴∠ = ° / /a b 2 60BDC∴∠ = ∠ = ° 1 2 40A∠ = ∠ − ∠ = ° ∵BE 是∠ABD 的平分线，∴∠1= ∠ABD， ∵BE 是∠BDC 的平分线，∴∠2= ∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°． 根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB=180°，再根据角平分线的定义可得∠1= ∠ABD，∠2= ∠CDB，进而 可得结论． 19.（2019 湖南益阳）如图，直线 AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　　度． 【答案】52． 【解析】根据平行线的性质解答即可． ∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2， ∵OA⊥OB，∴∠O＝90°， ∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°， ∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52° 20．（2019•威海）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，连接 BE，∠BEC＝∠ DEC，若 AB＝6，则 CD＝　　． 【答案】3 【解析】延长 BC、AD 相交于点 F，可证△EBC≌△EFC，可得 BC＝CF，则 CD 为△ABF 的中位线，故 CD＝ 可求出．如图，延长 BC、AD 相交于点 F， ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°， ∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE， ∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF， ∵AB∥DC，∴AD＝DF， ∴DC＝ ． 三、解答题 21.（经典题）如图，AB∥CD，点 E 是 CD 上一点，∠AEC=42°，EF 平分∠AED 交 AB 于点 F，求∠AFE 的度 数． 【答案】69°． 【解析】由平角求出∠AED 的度数，由角平分线得出∠DEF 的度数，再由平行线的性质可求出∠AFE 的度 数． ∵∠AEC=42°， ∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°， ∵EF 平分∠AED， ∴∠DEF= ∠AED=69°， 又∵AB∥CD， ∴∠AFE=∠DEF=69°．