2020年中考数学考点解析：函数综合题

专题 14 函数的综合问题 1.一次函数与二次函数的综合。 2.一次函数与反比例函数的综合。 3.二次函数与反比例函数的综合。 4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。 【例题 1】(2019 黑龙江绥化)一次函数 y1＝－x+6 与反比例函数 y2＝ (x>0)的图象如图所示.当 y1>y2 时,自 变量 x 的取值范围是______. 第 18 题图 【答案】2=  ≤ 1 4 1 4 【答案】见解析。 【解析】（1）过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，如图 1 所示． 当运动时间为 t 秒时（0≤t≤4）时，点 P 的坐标为（3t，0），点 Q 的坐标为（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|， ∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100， ∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）当 PQ＝3 5时，25t2﹣80t+100＝（3 5）2， 整理，得：5t2﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2 = 11 5 ． （3）经过点 D 的双曲线 y = 푘 푥（k≠0）的 k 值不变． 连接 OB，交 PQ 于点 D，过点 D 作 DF⊥OA 于点 F，如图 2 所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB = 푂퐶2 + 퐵퐶2 = 10． ∵BQ∥OP， ∴△BDQ∽△ODP， ∴퐵퐷 푂퐷 = 퐵푄 푂푃 = 2푡 3푡 = 2 3， ∴OD＝6． ∵CB∥OA， ∴∠DOF＝∠OBC． 在 Rt△OBC 中，sin∠OBC = 푂퐶 푂퐵 = 6 10 = 3 4，cos∠OBC = 퐵퐶 푂퐵 = 8 10 = 4 5， ∴OF＝OD•cos∠OBC＝6 × 4 5 = 24 5 ，DF＝OD•sin∠OBC＝6 × 3 5 = 18 5 ， ∴点 D 的坐标为（24 5 ，18 5 ）， ∴经过点 D 的双曲线 y = 푘 푥（k≠0）的 k 值为24 5 × 18 5 = 432 25 ． 4. （2019 湖南湘西）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y = 푚 푥 的图象在第一象限交于点 A（3， 2），与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB＝4． （1）求函数 y = 푚 푥 和 y＝kx+b 的解析式； （2）结合图象直接写出不等式组 0＜푚 푥 ＜kx+b 的解集． 【答案】见解析。 【解析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y = 푚 푥 ，可得 m＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为 y = 6 푥， ∵OB＝4， ∴B（0，﹣4）， 把点 A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数 y＝kx+b，可得{3k + b = 2 푏 = ―4 ， 解得{k = 2 푏 = ―4， ∴一次函数解析式为 y＝2x﹣4； （2）不等式组 0＜푚 푥 ＜kx+b 的解集为：x＞3． 5.（2019山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y= 相交于A（－2，a、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为 C，△AOC的面积是2． （1）求 m、n的值； （2）求直线 AC的解析式． 【答案】见解析。 【解析】根据反比例函数的对称性可得点 A 与点 B 关于原点中心对称，则 B（2，a），由于 BC⊥x 轴，所以 n x C（2，0），先利用三角形面积公式得到 ×2×a＝2，解得 a＝2，则可确定 A（﹣2，2），然后把 A 点坐标 代入 y＝mxy＝mx 和 y＝ 中即可求出 m，n；根据待定系数法即可得到直线 AC 的解析式． （1）∵直线 y＝mx 与双曲线 y＝ 相交于 A（﹣2，a）、B 两点， ∴点 A 与点 B 关于原点中心对称， ∴B（2，﹣a）， ∴C（2，0）； ∵S△AOC＝2， ∴ ×2×a＝2，解得 a＝2， ∴A（﹣2，2）， 把 A（﹣2，2）代入 y＝mx 和 y＝ 得﹣2m＝2，2＝ ，解得 m＝﹣1，n＝﹣4； （2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b， ∵直线 AC 经过 A、C， ∴ ，解得 ∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣ x+1． 6.（2019 湖北咸宁）某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 80 元 的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 x 天的生产成本 y（元/件）与 x（天） 之间的关系如图所示，第 x 天该产品的生产量 z（件）与 x（天）满足关系式 z＝﹣2x+120． （1）第 40 天，该厂生产该产品的利润是　 　元； 1 2 1 2 1 2 （2）设第 x 天该厂生产该产品的利润为 w 元． ①求 w 与 x 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ ②在生产该产品的过程中，当天利润不低于 2400 元的共有多少天？ 【答案】见解析。 【解析】由图象可知，第 40 天时的成本为 40 元，此时的产量为 z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第 40 天的 利润．利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可． （1）由图象可知，第 40 天时的成本为 40 元，此时的产量为 z＝﹣2×40+120＝40 则第 40 天的利润为：（80﹣40）×40＝1600 元 故答案为 1600 （2）①设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得 {b = 70 30푘 + 푏 = 40，解得{b = 70 푘 = ―1 ∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+70 （Ⅰ）当 0＜x≤30 时 w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120） ＝﹣2x2+100x+1200 ＝﹣2（x﹣25）2+2450 ∴当 x＝25 时，w 最大值＝2450 （Ⅱ）当 30＜x≤50 时， w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800 ∵w 随 x 的增大而减小 ∴当 x＝31 时，w 最大值＝2320 ∴w = { ―2푥2 + 100푥 + 1200，(0＜푥 ≤ 30) ―80푥 + 4800，(30＜푥 ≤ 50) 第 25 天的利润最大，最大利润为 2450 元 ②（Ⅰ）当 0＜x≤30 时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400 元 解得 x1＝20，x2＝30 ∵抛物线 w＝﹣2（x﹣25）2+2450 开口向下 由其图象可知，当 20≤x≤30 时，w≥2400 此时，当天利润不低于 2400 元的天数为：30﹣20+1＝11 天 （Ⅱ）当 30＜x≤50 时， 由①可知当天利润均低于 2400 元 综上所述，当天利润不低于 2400 元的共有 11 天． 7. （2019 贵州省毕节市）已知抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（﹣3，0），与 y 轴交于点 C， 点 P 为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 S△CPD：S△BPD＝1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，﹣1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接 PE，若∠PEG ＝2∠OGE，请求出点 P 的坐标； （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【答案】见解析。 【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； S△CPD：S△BPD＝1：2，则 BD＝ BC＝ ×3 ＝2 ，即可求解； ∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故 OH＝OE＝1，即可求解； 利用 S 四边形 BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． （1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD＝ BC＝ ×3 ＝2 ， yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点 D（﹣1，2）； （3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H， 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 则直线 HE 的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x＝ （舍去正值）， 故点 P（ ， ）； （4）不存在，理由： 连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 直线 BC 的表达式为：y＝x+3， 设点 P（x，﹣x2﹣2x+3），点 H（x，x+3）， 则 S 四边形 BOCP＝S△OBC+S△PBC＝ ×3×3+ （﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 1 17 2 − ± 1 17 2 − − 1 17 2 − + 1 2 1 2 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点 P． 8.（2019 贵州黔西南州）已知抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（﹣3，0），与 y 轴交于点 C， 点 P 为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 S△CPD：S△BPD＝1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，﹣1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接 PE，若∠PEG ＝2∠OGE，请求出点 P 的坐标； （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【答案】见解析。 【解析】函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； S△CPD：S△BPD＝1：2，则 BD = 2 3BC = 2 3 × 3 2 = 2 2，即可求解； ∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故 OH＝OE＝1，即可求解； 利用 S 四边形 BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． （1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD = 2 3BC = 2 3 × 3 2 = 2 2， yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点 D（﹣1，2）； （3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 则直线 HE 的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x = ―1 ± 17 2 （舍去正值）， 故点 P（ ―1 ― 17 2 ， 17 ― 1 2 ）； （4）不存在，理由： 连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 直线 BC 的表达式为：y＝x+3， 设点 P（x，﹣x2﹣2x+3），点 H（x，x+3）， 则 S 四边形 BOCP＝S△OBC+S△PBC = 1 2 × 3×3 + 1 2（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点 P． 9.（2019 湖北十堰）已知抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，9 4），与 x 轴交于另一点 B， 顶点为 D． （1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标； （2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等 腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由； （3）若点 P 在抛物线上，且 푆△푃퐵퐷 푆△퐶퐵퐷 = m，试确定满足条件的点 P 的个数． 【答案】见解析。 【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题． 可能．分三种情形①当 DE＝DF 时，②当 DE＝EF 时，③当 DF＝EF 时，分别求解即可． 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，PH，PB．设 P[n， - 3 16 （n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题． （1）由题意：{16a + c = 0 4푎 + 푐 = 9 4 ， 解得{a = - 3 16 푐 = 3 ， ∴抛物线的解析式为 y = - 3 16（x﹣2）2+3， ∴顶点 D 坐标（2，3）． （2）可能．如图 1， ∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5， ①当 DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立． ②当 DE＝EF 时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5 ③当 DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴퐸퐹 퐵퐷 = 퐷퐸 퐴퐵， ∴퐸퐹 퐷퐸 = 퐵퐷 퐴퐵 = 5 8， ∵△AEF∽△BCE ∴퐸퐵 퐴퐷 = 퐸퐹 퐷퐸 = 5 8， ∴EB = 5 8AD = 25 8 ， 答：当 BE 的长为 5 或25 8 时，△CFE 为等腰三角形． （3）如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，PH，PB．设 P[n，- 3 16（n﹣2）2+3]， 则 S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH = 1 2 × 4×[ - 3 16（n﹣2）2+3] + 1 2 × 3×（n﹣2） - 1 2 × 4×3 = - 3 8（n﹣ 4）2 + 3 2， ∵ - 3 8＜0， ∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为3 2， ∵ 푆△푃퐵퐷 푆△퐶퐵퐷 = m， ∴当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值 = 3 2 5 = 3 10， 观察图象可知：当 0＜m＜ 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 4 个， 当 m = 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 3 个， 当 m＞ 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 2 个（此时点 P 在 BD 的左侧）． 10.（2019 湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 y = - 1 2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛 物线 y = - 1 2x2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标． 【答案】见解析。 【解析】求得 A、B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得 b、c 的值，获得抛物线的解析式． 通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标． B、O、E、F 四点作平行四边形，以已知线段 OB 为边和对角线分类讨论，当 OB 为边时，以 EF＝OB 的 关系建立方程求解，当 OB 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，利用直线相交获得点 E 坐标． （1）在y = - 1 2푥 + 2中，令 y＝0，得 x＝4，令 x＝0，得 y＝2 ∴A（4，0），B（0，2） 把 A（4，0），B（0，2），代入y = - 1 2푥2 +푏푥 + 푐，得 {c = 2 ― 1 2 × 16 + 4푏 + 푐 = 0，解得{b = 3 2 푐 = 2 ∴抛物线得解析式为y = - 1 2푥2 + 3 2푥 + 2 （2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F ∵BE∥x 轴，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 设 D 点的坐标为（x， - 1 2푥2 + 3 2푥 + 2），则 BF＝x，DF = - 1 2푥2 + 3 2푥 ∵tan∠DBE = 퐷퐹 퐵퐹，tan∠BAC = 퐵푂 퐴푂 ∴퐷퐹 퐵퐹 = 퐵푂 퐴푂，即 ― 1 2푥2 + 3 2푥 푥 = 2 4 解得 x1＝0（舍去），x2＝2 当 x＝2 时， - 1 2푥2 + 3 2푥 + 2 = 3 ∴点 D 的坐标为（2，3） （3） 当 BO 为边时，OB∥EF，OB＝EF 设 E（m， - 1 2푚 + 2），F（m， - 1 2푚2 + 3 2푚 + 2） EF＝|（ - 1 2푚 + 2）﹣（ - 1 2푚2 + 3 2푚 + 2）|＝2 解得 m1＝2，m2 = 2 ― 2 2，m3 = 2 + 2 2 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OF∥AB，直线 OFy = - 1 2푥交抛物线于点 F（2 + 2 2， ― 1 ― 2）和（2 - 2 2， ― 1 + 2） 求得直线 EF 解析式为y = - 2 2 푥 + 1或y = 2 2 푥 + 1 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为 -2 2 ―2或2 2 ―2 ∴E 点的坐标为（2，1）或（2 - 2 2，1 + 2）或（2 + 2 2，1 ― 2）或（ -2 - 2 2，3 + 2）或（ -2 + 2 2，3 ― 2） 11.（2019 湖南湘西）如图，抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）过点 E（8，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 （点 A 在点 B 的左侧），点 C、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已 知 OA＝2，且 OA：AD＝1：3． （1）求抛物线的解析式； （2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 M、N、G、F 构成四边形 MNGF，求四边形 MNGF 周长 的最小值； （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使△ODP 中 OD 边上的高为6 10 5 ？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L，且直线 KL 平 分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】见解析。 【解析】由点 E 在 x 轴正半轴且点 A 在线段 OE 上得到点 A 在 x 轴正半轴上，所以 A（2，0）；由 OA＝2， 且 OA：AD＝1：3 得 AD＝6．由于四边形 ABCD 为矩形，故有 AD⊥AB，所以点 D 在第四象限，横坐标与 A 的横坐标相同，进而得到点 D 坐标．由抛物线经过点 D、E，用待定系数法即求出其解析式．画出四边形 MNGF，由于点 F、G 分别在 x 轴、y 轴上运动，故可作点 M 关于 x 轴的对称点点 M'，作点 N 关于 y 轴的 对称点点 N'，得 FM＝FM'、GN＝GN'．易得当 M'、F、G、N'在同一直线上时 N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故 四边形 MNGF 周长最小值等于 MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点 M、M'、N、N'坐标， 即求得答案． 因为 OD 可求，且已知△ODP 中 OD 边上的高，故可求△ODP 的面积．又因为△ODP 的面积常规求法是过 点 P 作 PE 平行 y 轴交直线 OD 于点 E，把△ODP 拆分为△OPE 与△DPE 的和或差来计算，故存在等量关 系．设点 P 坐标为 t，用 t 表示 PE 的长即列得方程．求得 t 的值要讨论是否满足点 P 在 x 轴下方的条件． 由 KL 平分矩形 ABCD 的面积可得 K 在线段 AB 上、L 在线段 CD 上，画出平移后的抛物线可知，点 K 由点 O 平移得到，点 L 由点 D 平移得到，故有 K（m，0），L（2+m，0）．易证 KL 平分矩形面积时，KL 一定经 过矩形的中心 H 且被 H 平分，求出 H 坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得 m 的值． （1）∵点 A 在线段 OE 上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6） ∵抛物线 y＝ax2+bx 经过点 D、E ∴{4a + 2b = -6 64푎 + 8푏 = 0 解得：{a = 1 2 푏 = ―4 ∴抛物线的解析式为 y = 1 2x2﹣4x （2）如图 1，作点 M 关于 x 轴的对称点点 M'，作点 N 关于 y 轴的对称点点 N'，连接 FM'、GN'、M'N' ∵y = 1 2x2﹣4x = 1 2（x﹣4）2﹣8 ∴抛物线对称轴为直线 x＝4 ∵点 C、D 在抛物线上，且 CD∥x 轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点 C、D 关于直线 x＝4 对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即 C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0） ∵AM 平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4） ∵点 M、M'关于 x 轴对称，点 F 在 x 轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N 为 CD 中点 ∴N（4，﹣6） ∵点 N、N'关于 y 轴对称，点 G 在 y 轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN' ∴C 四边形 MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM' ∵当 M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C 四边形 MNGF＝MN+M'N' = (6 ― 4)2 + ( ― 4 + 6)2 + (6 + 4)2 + (4 + 6)2 = 2 2 + 10 2 = 12 2 ∴四边形 MNGF 周长最小值为 12 2． （3）存在点 P，使△ODP 中 OD 边上的高为6 10 5 ． 过点 P 作 PE∥y 轴交直线 OD 于点 E ∵D（2，﹣6） ∴OD = 22 + 62 = 2 10，直线 OD 解析式为 y＝﹣3x 设点 P 坐标为（t，1 2t2﹣4t）（0＜t＜8），则点 E（t，﹣3t） ①如图 2，当 0＜t＜2 时，点 P 在点 D 左侧 ∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（1 2t2﹣4t） = - 1 2t2+t ∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE = 1 2PE•xP + 1 2PE•（xD﹣xP） = 1 2PE（xP+xD﹣xP） = 1 2PE•xD＝PE = - 1 2t2+t ∵△ODP 中 OD 边上的高 h = 6 10 5 ， ∴S△ODP = 1 2OD•h ∴ - 1 2t2+t = 1 2 × 2 10 × 6 10 5 方程无解 ②如图 3，当 2＜t＜8 时，点 P 在点 D 右侧 ∴PE＝yP﹣yE = 1 2t2﹣4t﹣（﹣3t） = 1 2t2﹣t ∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE = 1 2PE•xP - 1 2PE•（xP﹣xD） = 1 2PE（xP﹣xP+xD） = 1 2PE•xD＝PE = 1 2t2﹣t ∴1 2t2﹣t = 1 2 × 2 10 × 6 10 5 解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6） 综上所述，点 P 坐标为（6，﹣6）满足使△ODP 中 OD 边上的高为6 10 5 ． （4）设抛物线向右平移 m 个单位长度后与矩形 ABCD 有交点 K、L ∵KL 平分矩形 ABCD 的面积 ∴K 在线段 AB 上，L 在线段 CD 上，如图 4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接 AC，交 KL 于点 H ∵S△ACD＝S 四边形 ADLK = 1 2S 矩形 ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴ 푆△퐴퐻퐾 푆△퐶퐻퐿 = ( 퐴퐻 퐶퐻)2 = 1 ∴AH＝CH，即点 H 为 AC 中点 ∴H（4，﹣3）也是 KL 中点 ∴푚 + 2 + 푚 2 = 4 ∴m＝3 ∴抛物线平移的距离为 3 个单位长度．