2020年中考数学考点解析：等腰、等边三角形问题

专题 17 等腰、等边三角形问题 一、等腰三角形 1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶 角，底边和腰的夹角叫底角. 2.等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用 性质 1 证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称 轴． 5.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 二、等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 专题知识回顾 2. 性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； 性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 （1） 三个角都相等的三角形是等边三角形； （2） 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形； （3） 有两个角是 60°的三角形是等边三角形。 三、含 30 的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它对的等于的一半. 四、解题方法要领 1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在 等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利 用其定义和有关性质，快捷地证出结论。 2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问 题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。 3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边 或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。 【例题 1】（2019•重庆）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于 点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F． 0 专题典型题考法及解析 （1）若∠C＝36°，求∠BAD 的度数； （2）求证：FB＝FE． 【答案】见解析。 【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明：∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC， ∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE． 【例题 2】（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CE∥AB，若 AB＝8，CE＝6，则 BC 的长为　 　． 【答案】2 【解析】连接 AC 交 BD 于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO ＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得 DE＝EF＝DF＝2，由勾股 定理可求 OC，BC 的长．如图，连接 AC 交 BD 于点 O ∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°， ∴AC 垂直平分 BD，△ABD 是等边三角形 ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4 ∵CE∥AB ∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60° ∴∠DAO＝∠ACE＝30° ∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2 ∵∠CED＝∠ADB＝60° ∴△EDF 是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝2 ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2 ∴OC＝ ＝2 ∴BC＝ ＝2 【例题 3】（2019•黄石）如图，在△ABC 中，∠B＝50°，CD⊥AB 于点 D，∠BCD 和∠BDC 的角平分线相 交于点 E，F 为边 AC 的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　） A．125° B．145° C．175° D．190° 【答案】C 【解析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF 是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°， 根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115° ＝175°． ∵CD⊥AB，F 为边 AC 的中点， ∴DF＝ AC＝CF， 又∵CD＝CF， ∴CD＝DF＝CF， ∴△CDF 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∵∠B＝50°， ∴∠BCD+∠BDC＝130°， ∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点 E， ∴∠DCE+∠CDE＝65°， ∴∠CED＝115°， ∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°， 故选：C． 一、选择题 1.（2019 宁夏） 如图，在△ABC 中， ，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 ．连接 DE， 过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若 ，则 的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】】平行线的性质、等腰三角形的性质． 因 为 ， 所 以 ， 因 为 ， 所 以 AC BC= AD AE= 40C∠ = ° GAD∠ 40° 45° 55° 70° AC BC= (180 ) 2 70BAC C∠ = ° − ∠ ÷ = ° (180 ) 2 70BAC C∠ = ° − ∠ ÷ = ° 专题典型训练题 ，因为 ，所以 ，故本题正确选项为 C． 2.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点 固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE 的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】 D 【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 。 ∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 设∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°， ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即 x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 3.（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是（　　） (180 ) 2 55ADC BAD∠ = ° − ∠ ÷ = ° / /GH DE 55GAD ADC∠ = ∠ = ° A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30° 4.（2019•湖南长沙）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动 点，则 CD+ BD 的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M．由 tanA＝ ＝2，设 AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构 建方程求出 a，再证明 DH＝ BD，推出 CD+ BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题． 如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M． ∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝ ＝2，设 AE＝a，BE＝2a， 则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20， ∴a＝2 或﹣2 （舍弃），∴BE＝2a＝4 ， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4 （等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝ ＝ ＝ ，∴DH＝ BD， ∴CD+ BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM，∴CD+ BD≥4 ， ∴CD+ BD 的最小值为 4 ． 5.（2019•湖南邵阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD 是斜边 BC 上的中线，将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则∠BED 等于（　　） A．120° B．108° C．72° D．36° 【答案】B 【解析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出 AD＝ BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理 求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角 形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°． ∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝54°． ∵AD 是斜边 BC 上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°． ∵将△ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处， ∴∠ADF＝∠ADC＝72°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°． 二、填空题 6.（2019•湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为　　． 【答案】36°． 【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． ∵等腰三角形的一个底角为 72°， ∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36° 7.（2019•湖南邵阳）如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0），点 B 在第一象 限，将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′，则点 B′的坐标是　　． 【答案】（﹣2，﹣2 ）． 【解析】作 BH⊥y 轴于 H，如图，利用等边三角形的性质得到 OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再计算出 BH， 从而得到 B 点坐标为（2，2 ），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点 B′的坐标． 作 BH⊥y 轴于 H，如图， ∵△OAB 为等边三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°， ∴BH＝ OH＝2 ， ∴B 点坐标为（2，2 ）， ∵等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′， ∴点 B′的坐标是（﹣2，﹣2 ）． 故答案为（﹣2，﹣2 ）． 8.（2019•湖北天门）如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在 四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知 CD＝9.6m，则旗杆 AB 的高 度为　 　m． 【答案】14.4． 【解析】作 DE⊥AB 于 E，如图所示： 则∠AED＝90°，四边形 BCDE 是矩形， ∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°， ∴∠ADC＝90°+30°＝120°， ∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m， 在 Rt△ADE 中，∠ADE＝30°， ∴AE＝ AD＝4.8m， ∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m 9.（2019▪贵州毕节）如图，以△ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD．若∠ B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的大小为　 　． 【答案】34°． 【解析】根据三角形的内角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠ BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°． ∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD ∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 10. （2019•湖北武汉）如图，在▱ABCD 中，E.F 是对角线 AC 上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的大小为　 　． 【答案】21°． 【解析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝ AF＝AE＝EF， 得出 DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x， 得出方程，解方程即可． 设∠ADE＝x， ∵AE＝EF，∠ADF＝90°， ∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝ AF＝AE＝EF， ∵AE＝EF＝CD， ∴DE＝CD， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCA＝x， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x， ∴2x＝63°﹣x， 解得：x＝21°， 即∠ADE＝21°． 11.(2019 黑龙江绥化)如图,在△ABC 中,AB＝AC,点 D 在 AC 上,且 BD＝BC＝AD,则∠A＝______度. 【答案】16 【解析】∵BD＝AD,设∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝ 2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°. 三、解答题 12.（2019 湖北孝感）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC 与 AD 交于点 E，AC＝BD，求证：AE＝BE． 【答案】见解析。 【解析】由 HL 证明 Rt△ACB≌Rt△BDA 得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB 和△BDA 是直角三角形， 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，{AB = BA AC = BD， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AE＝BE． 13.（2019•杭州）如图，在△ABC 中，AC＜AB＜BC． （1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证：∠APC＝2∠B． （2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B 的度 数． 【答案】见解析。 【解析】（1）证明：∵线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P， ∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B； （2）根据题意可知 BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA， ∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B， ∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°， ∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°． 14．（2019•重庆）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D． （1）若∠C＝42°，求∠BAD 的度数； （2）若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F．求证：AE＝FE． 【答案】见解析。 【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC 于点 D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°， 又∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°； （2）∵AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AC， ∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE． 15．（2019•南岸区）如图，直线 AB∥CD，∠ACD 的平分线 CE 交 AB 于点 F，∠AFE 的平分线交 CA 延长线于 点 G． （1）证明：AC＝AF； （2）若∠FCD＝30°，求∠G 的大小． 【答案】见解析。 【解析】（1）证明：∵∠ACD 的平分线 CE 交 AB 于点 F， ∴∠ACF＝∠DCF， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠DCF， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AC＝AF； （2）解：∵∠FCD＝30°，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠GAF＝60°，∠AFC＝30°， ∵∠AFE 的平分线交 CA 延长线于点 G． ∴ ＝75°， ∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣60°﹣75°＝45°． 16．（2019•攀枝花）如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，且 BD＝CE．求证： （1）点 D 在 BE 的垂直平分线上； （2）∠BEC＝3∠ABE． 【答案】见解析。 【解析】（1）连接 DE， ∵CD 是 AB 边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE 是 AC 边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE， ∵BD＝CE，∴BD＝DE， ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上； （2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB， ∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE． 17.（2019•湖北十堰）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线上 一点，且∠CDE＝ ∠BAC． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径． 【答案】见解析。 【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质， 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． （1）如图，连接 OD，AD， ∵AC 是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC， ∵∠CDE＝ ∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90° 又∵OD 是⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC， 设 DC＝x，则 AC＝3x， ∴AD＝ ＝2 x， ∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ∴DE＝4 ，x＝ ， ∴AC＝3x＝14， ∴⊙O 的半径为 7． 18.（2019•甘肃武威）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 在 BC 边上，⊙D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E． （1）求证：AC 是⊙D 的切线； （2）若 CE＝2 ，求⊙D 的半径． 【答案】见解析。 【解析】连接 AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°， 根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到 AC 是⊙D 的切线；连接 AE，推出 △ADE 是等边三角形，得到 AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到 AE＝CE＝2 ，于是得到结论． （1）证明：连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC 是⊙D 的切线； （2）解：连接 AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°， ∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2 ，∴⊙D 的半径 AD＝2 ． 19. （2019•湖南衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速运 动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同 时停止运动．设运动时间为以 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作 平行四边形 CQFE． （1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； （3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t 为何值时， AB'的值最小？并求出最小值． 【答案】见解析。 【解析】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等 三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． （1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当 BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3， ∴t＝3 时，△BPQ 是直角三角形． （2）存在． 理由：如图 1 中，连接 BF 交 AC 于 M． ∵BF 平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥BQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝ ∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣ t）， 解得 t＝3． （3）如图 2 中，作 PK∥BC 交 AC 于 K． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°， ∵PK∥BC， ∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK 是等边三角形，∴PA＝PK， ∵PE⊥AK，∴AE＝EK， ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝ （AK+CK）＝ AC＝3（cm）． （4）如图 3 中，连接 AM，AB′ ∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC， ∴AM＝ ＝3 ， ∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3 ﹣3， ∴AB′的最小值为 3 ﹣3．