2018—2019 学年第二学期高二年级期末考试
数学（文）试题
一、选择题。
1.已知集合 P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合 A，再求 ，进而求 .
【详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0 或 x≥2，即 P=（-∞，0]∪[2，+∞）
由题意得， =（0,2），∴ ，故选 C.
【点睛】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合
的运算法则，进而求得结果．
2.定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，
则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由对任意 x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 4c b 4c b2 4b c b c
∴ + ≥ ⋅ = 4c b 2b c
= =
b 2c= 2b 3
= 1c 3
= 4 1 4c b 5b c b c
+ = + +
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2( 4 0)D E F+ − >
( , )2 2
D E− − 2 21 42r D E F= + −
( )0,2A 2: 2 ( 0)C y px p= >
5
5
FM
MN
= p
1
8
1
4
5
5
FM
MN
=考点：抛物线的简单性质
【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对
于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距
离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题， ，
转化为 ，那分析图像等于知道 的余弦值，也就知道了直线 的斜率，
跟据斜率的计算公式，就可以得到结果．
12.设 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时，有 恒成立，
则不
等式 的解集是（ ）
A. ∪
B. ∪
C. ∪
D. ∪
【答案】B
【解析】
试题分析：因为当 时，有 恒成立，所以 恒成立，所以
在 内单调递减．因为 ,所以在 内恒有 ；在 内恒有
．又因为 是定义在 上的奇函数，所以在 内恒有 ；在
内恒有 ．又因为不等式 的解集，即不等式 的解集，由
上分析可得，其解集为 ∪ ，故应选 ．
考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．
【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档
5
5
FM
MN
=
R 2
( ) ( ) 0xf x f x
x
−
( 2,0)− (2, )+∞
( , 2)−∞ − (0,2)
( , 2)−∞ − (2, )+∞
( 2,0)− (0,2)
2
( ) ( ) 0xf x f x
x
− 0)，P 为 x 轴上一动点，经过 P 的直线 y＝2x＋m(m≠0)
与双曲线 C 有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率为________．
【答案】
【解析】
即双曲线的渐近线与直线 y＝2x＋m 平行，即 ＝2，所求的离心率 e＝ ＝ ＝
1
6
1ADD
1 1 11 1 13 2 6V = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
( )f x ( )f x′ ( ) sin cos2f x f x x
π = +
′
4f
π =
′
2−
2 2
2 2
y x
a b
−
5
2
a
b
c
a
2
1 b
a
＋.
三、解答题.
17.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在直线
上．
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）代入点到直线的方程，根据正弦定理完成角化边，对比余弦定理求角；（2）将等式化
简成“平方和为零”形式，计算出 的值，利用面积公式计算 的面积.
【详解】解：（1）由题意得 ，
由正弦定理，得 ，
即 ，
由余弦定理，得 ，
结合 ，得 .
（2）由 ，得 ，
从而得 ，
所以 的面积 .
【点睛】本题考查正、余弦定理的简单应用，难度较易.使用正弦定理进行角化边或者边化角
的过程时，一定要注意“齐次”的问题.
18. 【选修 4-4，坐标系与参数方程】
5
2
ABC∆ A B C a b c ( ),a b
( )sin sin sin sinx A B y B c C− + =
C
( )2 2 6 18a b a b+ = + − ABC∆
3C
π= 9 3
4
a b、 ABC∆
( )sin sin sin sina A B b B c C− + =
( ) 2 2a a b b c− + =
2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2
cos 1
2 2
a b cC ab
+ − ==
0 C π< <
3C
π=
( )2 2 6 18a b a b+ = + − ( ) ( )2 23 3 0a b− + − =
3a b= =
ABC∆ 21 9 33 sin2 3 4S
π= × × =在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t 为参数），在以 O 为极点， 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴的交点为 P，直线 与曲线 C 的交点为 A,B,求 的值.
【 答 案 】（ 1 ） 直 线 的 普 通 方 程 为 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
；（2） ．
【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程 转化、直线与圆的位置关
系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用
， ， 转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，
消参，得到关于 的方程，利用两根之积得到结论.
试题解析：（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，
，
曲线 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）将直线的参数方程 （ 为参数）代入曲线 ： ，得
到： ，
，
.
考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置
关系.
的
xOy l
2 ,2{
23 ,2
x t
y t
=
= +
x
4sin 2cos .ρ θ θ= −
l
l y l PA PB
l 3 0x y− + = C
2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − = 3
2 2 2x y ρ+ = sin yρ θ = cos xρ θ =
t
l 3 0x y− + =
2 4 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= −
C 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − =
2
2{
23+ 2
x t
y t
=
=
t C 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − =
2 2 2 3 0t t+ − =
1 2 3t t = −
1 2 3PA PB t t= =19.如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，
（Ⅰ）求证： 平面 BCD；
（Ⅱ）求点 E 到平面 ACD 的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明 平面 BCD，需要证明 ， ，证明时主要是
利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件
空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以 为坐标原点，以 方向
为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面 的法向量 和斜线的方向向量 ，代入公式
计算
试题解析：（Ⅰ）证明： 为 的中点， ，
, ， ， ，
又 ， ，
， 均在平面 内， 平面 6
（Ⅱ）方法一：以 为坐标原点，以 方向为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直
角坐标系，则 ，
2, 2.CA CB CD BD AB AD= = = = = =
AO ⊥
21
7
AO ⊥ AO OC⊥ AO BD⊥
O , ,OB OC OA
x y z
ACD ( 3, 1, 3)n = − − 1 3( , ,0)2 2EC = −
EC n
d n
⋅
=
,AB AD O= BD AO BD∴ ⊥
2AD = 1OD = 1AO∴ = 2, 3CB CD BD OC= = = ∴ =
2,CA = 2 2 2CA OA OC∴ = + AO OC∴ ⊥
BD OC O∩ = ,BD OC BCD AO∴ ⊥ BCD
O , ,OB OC OA x y z
1 3(0,0,1), (1,0,0), (0, 3,0), ( 1,0,0), ( , ,0)2 2A B C D E−
(0, 3, 1), ( 1, 3,0)AC CD= − = − − 设 为平面 的法向量，则 ，
取 ，
，则点 到平面 的距离为 12
方法二：设点 在 上，且 ，连 ，
为 的中点，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面
平面 ， 平面 平面 ，且交线为
过点 作 于点 ，则 平面
分别为 的中点，则 平面 ， 平面 ，
平面 ， 点到平面 的距离即 ，
故点 到平面 的距离为
n 90ABC ADE∠ = ∠ = ° ACD n AC⊥ n CD⊥
3 0,{
3 0,
y z
x y
− =∴
+ =
n ( 3, 1, 3)= − −
1 3( , ,0)2 2EC = − E ACD 3 21
77
EC n
d n
⋅
= = =
H CD 1
4DH DC= AH
2,CB CD DB= = = O BD OH CD∴ ⊥
AO ⊥ BCD CD ⊂ BCD ,AO CD∴ ⊥
, ,AO OH O AO OH∩ = ⊂ AOH CD∴ ⊥ AOH
CD ⊂ ACD ∴ AOH ⊥ ACD AH
O OP AH⊥ P OP∴ ⊥ ACD
,O E ,BD BC / / ,OE CD OE ⊄ ACD CD ⊂ ACD
/ /OE∴ ACD E∴ ACD OP
313 7 2121, , ,2 2 77
2
AO OHAO OH AH OP AH
×⋅= = = ∴ = = =
E ACD 21
7考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离
20.已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点 P（4，0）且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求
出 的值，若不明确，需分焦点在 轴和 轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的
综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的
题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与
椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式 ：计算一元二
次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
试题解析：解：（1）由题意知 ，
.又双曲线的焦点坐标为 ， ，
椭圆的方程为 .
（2）若直线 的倾斜角为 ，则 ，
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2
2
2 12
y x− =
OA OB⋅
2 2 2
2
2 2
1 1,2 4
c c a be ea a a
−= = ∴ = = =
2 24
3a b= (0, 3), 3b± = 2 24, 3a b∴ = =
∴ 2 2
14 3
x y+ =
l 0 ( 2,0), (2,0), 4A B OA OB− ⋅ = − 当直线 的倾斜角不为 时，直线 可设为 ，
，由
设 ， ，
， ，综上所述：范围为 .
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.
21.莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各
抽取 50 名同学调查对莫言作品的了程度，结果如下：
阅读过莫言的作品
数（篇）
0～25 26～50 51～75 76～100 101～130
男生 3 6 11 18 12
女生 4 8 13 15 10
（1）试估计该学校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率.
（2）对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根
据题意完成下表，并判断能否有 的把握认为“对莫言作品的非常了解”与性别有关？
非常了解 一般了解 合计
男生
女生
合计
l 0 l 4x my= +
2 2
2 2
4{ (3 4) 24 36 03 4 12
x my m y myx y
= + ⇒ + + + =+ =
2 2 20 (24 ) 4 (3 4) 36 0 4m m m∆ > ⇒ − × + × > ⇒ >
1 1 2 2( 4, ), ( 4, )A my y B my y+ + 1 2 1 22 2
24 36,3 4 3 4
my y y ym m
+ = − =+ +
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) 4 16OA OB my my y y m y y my y y y⋅ = + + + = + + +
2
116 43 4m
= −+
2 134, ( 4, )4m OA OB> ∴ ⋅ ∈ −
13[ 4, )4
−
75%注：K2＝
P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0 025
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据古典概型概率公式求出阅读某莫言作品在 篇以上的频率，从而估计该
校学生阅读莫言作品超过 50 篇概率；（2）利用公式 K2＝ 求得
，与邻界值比较，即可得到结论.
试题解析：（1）由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 ，
据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 ；
（2）
非常了解 一般了解 合计
男生 30 20 50
女生 25 25 50
合计 55 45 100
根据列联表数据得
所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关.
【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般
步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式
.
2( )
( )( )( )( )
n ad bc
a b c d a c b d
－
＋ ＋ ＋ ＋
79
100P =
50
( )
( )( )( )( )
2n ad bc
a b c d a c b d
－
＋ ＋ ＋ ＋
2K
11+18+12+13+15+10 79=50+50 100
79
100P =
( )2
2 100 30 25 20 25 1.010 1.32350 50 55 45K
× × − ×= ≈ ( )f x
( ) ( ) 2g x f x x= + ( )g x ( )2, 1− − a
1{ 0
c
b
=
= ( ),0−∞ ( ),a +∞ ( )0,a
( ), 2 2−∞ −
0 b c
0a > ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )g x
( )2, 1− − ( ) 0g x′ < ( )2, 1− − a
( ) 2f x x ax b= − +′
( )
( )
0 1{ 0 0
f
f ′
=
=
1{ 0
c
b
=
=
( ) ( )2f x x ax x x a= − = −′ 0a >
( ),0x∈ −∞ ( ) 0f x′ >
( )0,x a∈ ( ) 0f x′ <
( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
（3） ，
依题意，存在 ，使不等式 成立，
即 时， ，
当且仅当“ ”，即 时等号成立，
所以满足要求的 的取值范围是 ．
考点：利用导数研究函数的单调性及函数的有解问题．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的
单调性、求解单调区间和函数的有解问题的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能
力、转化与化归思想的应用，试题有一定难度和也是高考的常考题，属于中档试题，其中第
三问的解答是本题的难点，平时注意总计和积累．
( )f x ( ),0−∞ ( ),a +∞ ( )0,a
( ) 2 2g x x ax= − +′
( )2, 1x∈ − − ( ) 2 2 0g x x ax= − +
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