2018-2019 学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高二试题
文科数学
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合 B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查二次不等式的解法，属于基础题.
2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A. 中至少有两个偶数 B. 中至少有两个偶数或都是奇数
C. 都是奇数 D. 都是偶数
【答案】B
【解析】
【详解】自然数 中恰有一个是偶数”的否定为：“自然数 中有 0 个、2 个、3 个
偶数”.即 中至少有两个偶数或都是奇数，故选：B.
{1,2,3}A = { }2| 2 3 0,B x x x x Z= − − < ∈ A B =
{ }1 {1 2}，
{ }01 2 3，，， { }1 01 2 3，，，，−
{ } { }2| 2 3 0, 0,1,2B x x x x Z= − − < ∈ =
{1,2,3}A =
A B = { }01 2 3，，，
, ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c3.若幂函数 的图像经过原点，则 的值为（ ）
A. 1 或 3 B. 2 或 3 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用幂函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】∵幂函数 的图像经过原点，
∴ 即
故选：C
【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，考查运算能力，属于基础题.
4.下列函数中，在 内为增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用常见函数的图像与性质即可得到结果．
【详解】对于 A， 在 内为增函数；
对于Ｂ， 为周期函数，在 上不具有单调性；
对于Ｃ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
对于Ｄ， ，在 内为减函数，
故选：Ａ
( ) 22 24 4 m my m m x − −= − + m
( ) 22 24 4 m my m m x − −= − +
2
2
4 4 1
2 0
m m
m m
− + =
− − ＞ =3m
(0, )+∞
exy x= +
siny x=
2y x x= -
lny x=−
exy x= + (0, )+∞
siny x= (0, )+∞
2y x x= - 1(0, )2
1( ,+ )2
∞
lny x=− (0, )+∞【点睛】本题考查常见函数的图像与性质，考查函数的单调性，考查数形结合思想，属于容
易题．
5.已知函数 的定义域为 ，下图是 的导函数 的图像，则下列结论中正
确的有（ ）
①函数 在 上单调递增；
②函数 在 上单调递减；
③函数 在 上单调递减；
④函数 在 上单调递增；
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】D
【解析】
【分析】
观察导数的图象利用导数的符号，确定函数的单调性及单调区间．
【详解】解：①由图象可知，当 a＜x＜b 时，f'（x）＞0，所以此时函数单调递增，所以①
正确．
②当 a＜x＜b 时，f'（x）＞0，函数单调递增，当 b＜x＜c 时，f'（x）＜0，函数单调递减，
所以②错误．
③当 c＜x＜d 时，f'（x）＜0，函数单调递减，所以③正确．
④当 d＜x＜e 时，f'（x）＞0，函数单调递增，所以④正确．
故正确的是①③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，利用导函数的正负研究原函数的单
调性．
f x（ ） ( , )a e f x（ ） f x′（ ）
f x（ ） a b（ ， ）
f x（ ） a c（ ， ）
f x（ ） c d（ ， ）
f x（ ） d e（ ， ）6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是
乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”
四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；
当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
故选 C.
点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是
获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
7.下列命题正确的是（）
A. 命题“ ”为假命题，则命题 与命题 都是假命题；
B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
C. 若 使得函数 的导函数 ，则 为函数 的极值点；
D. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复合命题的真假判断 A，根据四种命题的关系判断 B，根据极值的定义判断 C，根据命题
的否定判断 D．
【详解】解：对于 A：命题“p∧q”为假命题，则命题p 与命题 q 至少有一个假命题，故 A 错
误；
对于 B：由 ，可得 ，即原命题为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故
B 正确；
p q∧ p q
| |x y> x y>
0x f x（ ） ( )0 0f x′ = 0x f x（ ）
0x R∃ ∈ 2
0 0 1 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + <
| | yx y> ≥ x y>对于 C：若 x0 使得函数 f（x）的导函数 f’（x0）＝0，如果两侧的导函数的符号相反，则 x0
为函数 f（x）的极值点；否则，不是函数的极值点，所以 C 不正确；
对于 D：命题“存在 x0∈R，使得 ”的否定是：
“对任意 x∈R，均有 x2+x+1≥0”．故D 错误，
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的关系应用，
考查命题及其否定，极值定义，属于中档题．
8.设 ，则 的值是（ ）
A. B. -6 C. D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的对应法则即可得到结果.
【详解】∵
∴
故选：A
【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查指数与对数的运算法则，属于中档题.
9.下列四个条件中，不是 的充分不必要条件的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
2
0 0 1 0x x+ + ＜
1 ,( 2)( ) 2
( 1),( 2)
x
xf x
f x x
=
+ >
1 0a b> > >
1 0b a> > >
1 0b a> > >【分析】
由充要条件的判断方法，逐个验证可得．
【详解】对于 A， 时， ，即 又 ，
∴ 即 ，充分性具备，故错误；
对于 B， 时， ，即 又 ，
∴ 即 ，充分性具备，故错误；
对于 C， 时， 故 ，充分性具备，故错误；
对于 D， 时， ，即 又 ，
∴∴ 即 ，充分性不具备，故正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．
10.若函数 且 在 R 上为减函数，则函数 的图象
可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
1a b> > lg lgb 0a＞ ＞ 1 10 lg lgba
＜ ＜ ， lg3 0＞
lg3 1g30 lg lgba
＜ ＜ ， log 3 log 3a b<
1 0a b> > > lg lgba0＞ ＞ 1 1
lg lgba
＜ ＜0， lg3 0＞
lg3 1g3 0lg lgba
＜ ＜ ， log 3 log 3a b<
1 0b a> > > log 3 0a ＜ ，log 3 0b ＞ ， log 3 log 3a b<
1 0b a> > > lgb lga0＞ ＞ 1 1
lgb lga
＜ ＜0， lg3 0＞
lg3 1g3 0lgb lga
＜ ＜ ， blog 3 log 3a<
( ) ( 0x xf x a a a−= − > 1)a ≠ log (| | 1)ay x= −【解析】
【分析】
由函数 为减函数，得 ，又由当 时，函数 ，在根据图象的变
换和函数的奇偶性，即可得到函数 图象，得到答案.
【详解】由题意，函数 且 在 R 上 减函数，可得 ，
又由函数 的定义域为 或 ，
当 时，函数 ，
将函数 的图象向右平移 1 个单位，即可得到函数 的图象，
又因为函数 为偶函数，图象关于 轴对称，
故选 D
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函
数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理
与运算能力，属于基础题.
11.已知函数 ，则 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数的图象，结合图象即可得到结果.
【详解】函数 ，作出其图像：
为
.
( )f x 0 1a< < 1x > log ( 1)ay x= −
log (| | 1)ay x= −
( ) ( 0x xf x a a a−= − > 1)a ≠ 0 1a< <
log (| | 1)ay x= − 1x > 1x < −
1x > log (| | 1) log ( 1)a ay x x= − = −
logay x= log ( 1)ay x= −
log (| | 1)ay x= − y
2( ) ,2
xf x xx
+= ∈+ R ( )2 2 (2 )f x x f x− < −
[ 1,2− ） 1 2−（ ，） 0 2]（ ， 0 2（ ，）
1 x 02( ) = 22 , 02
xf x xx xx
≥+ = ++ −
，
＜若 ，
则 ，或 ，
解得： 无解
故解集：
故选：D
【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，考查分类讨论与数形结合思想，属于中档题.
12. 定义域为 ， ，对任意 ，则不等式
解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令 g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，利用导数可判断函数 g（x）的单调性，由已知条件可得函数 g
（x）的零点，由此可解得不等式．
【详解】解：令 g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，则 g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f
（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，即 g（x）在 R 上单调递增，
的
( )2 2 (2 )f x x f x− < −
2
2 0
2 0
x
x x
− ≥
− +
(0, )+∞ ( ,0)−∞
( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( , 1) (0,1)−∞ − 又 f（0）＝2，∴g（0）＝e0f（0）﹣e0﹣1＝2﹣1﹣1＝0，
故当 x＞0 时，g（x）＞g（0），即 exf（x）﹣ex﹣1＞0，整理得 exf（x）＞ex+1，
∴exf（x）＞ex+1 的解集为{x|x＞0}．
故选：A．
【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单
调性的关系，综合性较强，属于中档题．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.已知正数 满足 ，则 的最小值为________
【答案】24
【解析】
【分析】
由题意可知， ，结合基本不等式可求.
【详解】∵正数 满足 ，
∴
当且仅当 时等号成立，
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是利用 1 的代换配凑基
本不等式的应用条件.
14.已知实数 满足 则 的最大值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程
a b， 3 2 1a b+ = 2 3
a b
+
( )2 3 2 3 4b 9= =12+ +3 b2a a
b a aba b
+ + +
a b， 3 2 1a b+ =
( )2 3 2 3 4b 9= =12+ + 12+2 36=3 2 24b
a
a ab a b ab + + ≥ +
1 1b6 4a = =，
x y，
2 0
1 0
0
x y
x y
y
− ≤
− + ≥
≥
，
，
，
2x y+组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出 表示的可行域，如图，
设 ，则 ，
当 在 轴上截距最大时， 最大，
由 ，得 ，点 ，
由图可知，直线 过 时，
最大值为 ，故答案为 5.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数
最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最
后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.设函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上是减函数，
且图象过点 ，则不等式 的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，结合函数的单调性以及特殊值可
得当 x＜0 时，f（x）＞0，当 0＜x＜1 时，f（x）＜0，又由奇偶性可得当 1＜x＜2 时，f
2 0
1 0
0
x y
x y
y
− ≤
− + ≥
≥
，
，
，
2z x y= + 1 1
2 2y x z= − +
1 1
2 2y x z= − + y z
2 0
1 0
x y
x y
− =
− + =
1
2
x
y
=
=
( )1,2A
1 1
2 2y x z= − + ( )1,2A
z 1 2 2 5z = + × =
1y f x= +（ ） ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( ,0)−∞
1 0（，） 1 0x f x− R q： ( )22 x
y a a= −
p q∧ a
p q∨ a
{ | 1 1}a a a＞ 或 ＜－ 1 1| 3 2a a a > < − 或
p q∧ p q
p q∨ p q p q p q【详解】若 为真，则 ，而 ， 或
令 A=
若 为真，则 或 . 令 B=
(1) 若 为真，则 真， 真，
则 为真的范围为
(2)若 为真命题，则 真 假，或 假 真，或 真 真，
则 为真的范围为 .
【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定，一元二次不等式的解法，充要条件的判断，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.设函数 ，若曲线 在点 处的切线与 轴垂直。
（1）求 的值；
（2）求函数 的极大值和极小值.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用切线与 轴垂直可得 a；
（2）令 0，解得 或 ，列出表格，即可得出函数的单调性极值．
【详解】（1） ，
由题可知， ，即 ，
解得 .
（2）由（1）知 ，因此 ， ，
p 2 2( 1) 4 0a a∆ = − − < 23 2 1 0a a＋ － ＞ 1
3a > 1.a＜－
1{ | 1}3a a a＞ 或 ＜－
q 22 1a a－ ＞ 1a， ＞ 1
2a < − 1{ | 1 }2a a a＞ 或 ＜－
p q∧ p q
p q∧ { | 1 1}A B a a a∩ ＝ ＞ 或 ＜－
p q∨ p q p q p q
p q∨ 1 1| 3 2A B a a a ∪ = > < − 或
3 2( ) 9 1f x x ax x= + − − y f x= （ ） ( 1, ( 1))f− − y
a
f x（ ）
3a = − ( ) 4f x =极大值 ( ) 28f x = −极小值
y
( )f x′ = 1x = − 3x =
2( ) 3 2 9f x x ax+′ = −
( 1) 0f ′ − = 3 2 1 9 0a+ − − =（ ）
3a = −
3a = − 3 2( ) 3 9 1f x x x x= − − − 2( ) 3 6 9f x x x′ = − −令 解得 或
列表:
当 时， ；当 时，.
【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了
推理能力和计算能力，属于中档题．
19.已知函数 是偶函数．
(1)求 的值； (2)若方程 有解，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
试题分析：(1)由函数 是偶函数
；(2)由
.
试题解析: (1)由函数 f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4
－x＋1)－2kx，即 log4 ＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一
切 x∈R 恒成立，∴k＝－ ．
(2)由 m＝f(x)＝log4(4x＋1)－ x＝log4 ＝log4(2x＋ ),∵2x>0,∴2x＋
≥2,∴m≥log42＝ ．
( ) 0,f x′ = 1x = − 3x =
1x = − ( ) ( 1) 4f x f= − =极大值 3x = ( ) (3) 28f x f= = −极小值
( ) 4log (4 1) 2 ( )xf x kx k R= + + ∈
k ( )f x m= m
1
4k = − 1 ,2
+∞
( )f x ( ) 4
4 1( ) 44 1
x
xf x f x log kx−
+⇒ ⇒ +－ ＝ ＝－
4
14 4 4 4
xlog kx x kx k⇒ ⇒ ⇒ −＝－ ＝－ ＝ ( ) 4 (4 1)xm f x log x＝ ＝ ＋ －
4 4 4
4 1 1 1(2 ) 22 2 2
x
x
x xlog log log≥ =＋＝ ＝ ＋故要使方程 f(x)＝m 有解，m 的取值范围为[ ，＋∞)．
20.已知函数 且 是奇函数， .
（1）求函数 在 上 值域；
（2）若函数 在 上的最小值为-2，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）先求出参数 k、a，再根据 y＝2x 是增函数，y＝2﹣x 是减函数，则 f（x）＝2x﹣2﹣x 在[1，
+∞）上单调递增，从而得到函数的值域；
（2）设 t＝f（x），由（1）及题设知： ，再根
据含参数二次函数性质求解．
【详解】(1) 由题设知： 得 ，
是增函数 ， 是减函数，
在 上单调递增.
∴所求值域为 ,即 .
(2) 设
即 在 上的最小值为 ，
∴当 时， ，得 ；
当 时， ， ，得 ；
的
( ) ( 0x xf x ka a a−= − > 1)a ≠ 3(1) 2f =
f x（ ） [1, )+∞
2 2( ) 2 ( )x xg x a a mf x−= + − [1, )+∞ m
3 ,2
+∞
2 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2y g x f x mf x t mt= = − + = − +
(0) 1 0
1 3(1) 2
f k
f ka a
= − = = − =
1
2
k
a
=
=
( ) 2 2 2x x xf x y−∴ = − ∴ = 2 xy −=
( ) 2 2x xf x −∴ = − [1, )+∞
[ (1), )f +∞ 3 ,2
+∞
2 2( ), ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2t f x y g x f x mf x t mt= = = − + = − +
2 2( ) 2y t m m= − + − 3 ,2
+∞ 2−
3
2m ≥ 2
min, 2 2t m y m= = − = − 2m =
3
2m < 3
2t = min
9 3 2 24y m= − + = − 25 3
12 2m = > （舍）【点睛】本题考查指数型函数的图像与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，考查换元
法、分类讨论思想，属于中档题.
21.已知函数
(1)若函数(x)在(0,2)上递减,求实数 a 的取值范围;
(2)设 求证:
【答案】（1） .（2）见解析.
【解析】
试题分析：(1)求出函数的导数,问题转化为恒有 成立,求出 a 的范围即可;
(2)求出 的导数,分 时，和 讨论函数的单调性求出 的最小值即可.
试题解析：（1） 函数 在 上递减 , 恒有 成立,
而 ,恒有 成立,
当 时 所以： .
（2） 当 时，
所以 在 上是增函数，故
当 时，
解得 或 ，所以函数 在 单调递增，
所以
综上所述：
22.【选修 ：不等式选讲】
2m∴ =
2( ) ln ( )f x a x x Rx
= + ∈
( ) ( ) ( 2) , [1, )h x f x a x x= + − ∈ +∞ ( ) 2h x ≥
1a ≤
2a x
≤
( )h x 2a ≥ 2a < ( )h x
( )f x ( )0,2 ⇔ ( )0,2x∀ ∈ ( ) 0f x′ ≤
( ) 2
2 0axf x x
−′ = ≤ ⇒ ( )0,2x∀ ∈ 2a x
≤
( )0 2x∈ ， 2 1x
> 1a ≤
2a ≥ ( ) ( ) ( )2h x f x a x= + − = ( )2 ln 2a x a xx
+ + −
( ) 2
2 2 0axh x ax
+′ −= − ≥
( )h x [ )1,+∞ ( ) ( )1h x h a≥ = 2≥
2a < ( ) ( ) ( )2h x f x a x= − − = ( )2 ln 2a x a xx
+ − −
( ) ( )( )( )
2 2
2 2 12 2 0
a x xaxh x ax x
− + −−= − + = =′
2 02x a
= −
( ) 2h x ≥
4 5−已知 ．
（1）当 ，解关于 的不等式 ；
（2）当 时恒有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
分析：
（1）可利用绝对值的定义去掉不等式中绝对值符号，从而分段求解；
（2）由绝对值的定义，知当 时， ，从而只要解不等式
，此题要注意 ，即 这个隐含条件．
详解：
（1） 时， ， ．
化为
解之得： 或
所求不等式解集为： ．
（2） ， ．
或
又 ，
综上，实数 取值范围为： .
点睛：
解含绝对值的不等式，一般可按照绝对值定义，分类去掉绝对值符号，化含绝对值的
不等式为不含绝对值的不等式，分别求解，最后求出并集即可，这也是解绝对值问题
的常用方法，当然也有许多时候可用绝对值的性质或几何意义求得结论．
的
2( ) 1 , ( ) 2f x x x a g a a a= − + + = − −
3a = x ( ) ( ) 2f x g a> +
[ ),1x a∈ − ( ) ( )f x g a≤ a
( , 4) (2, )−∞ − +∞ [3, )+∞
[ ,1)x a∈ − ( ) 1f x a= +
21 2a a a+ ≤ − − −
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