数学（理）试题.pdf

理科数学 第 1 页 共 4 页 河北辛集中学 2017 级高三数学（理科）第一次阶段考试 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 2{ | 5 4 0}M x x x    ， { | 2 4}xN x  ，则 ( ) A. { | 2 4}M N x x   B. M N R C. { | 2 4}M N x x   D. { | 2}M N x x  2.记复数 z 的虚部为 Im( )z ，已知复数 5 22 1 iz ii   （i 为虚数单位），则 Im( )z 为（ ） A. 2 B. 3 C. 3i D. 3 3.已知曲线   32 3f x x 在点   1, 1f 处的切线的倾斜角为 ，则 2 2 2 sin cos 2sin cos cos        （ ） A. 1 2 B. 3 5 C. 2 D. 3 8  4.2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所 示的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米， 面额 100 元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投 掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A. 2726 mm5  B. 2363 mm10  C. 2363 mm5  D. 2363 mm20  5.已知双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的渐近线经过圆 E ： 2 2 2 4 0x y x y    的圆心，则双曲线C 的离心率 为( ) A. 5 B. 5 2 C. 2 D. 2 6.已知数列{ }na 为等比数列，且 2 2 3 4 7 64a a a a    ，则 4 6tan( )3 aa   （ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 3  7.执行如图的程序框图，若输出的 S 的值为 10 ，则①中应填（ ）理科数学 第 2 页 共 4 页 A. 19?n  B. 18?n  C. 19?n  D. 20?n  8.已知函数  f x 为 R 内的奇函数，且当 0x  时， ( ) 1 cosxf x e m x    ，记      2 2 1 3 3a f b f c f     ， ， ，则 , ,a b c 间的大小关系是（ ） A. b a c  B. a c b  C. c b a  D. c a b  9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( ) A. 2 3  B. 1 2   C. 2 6  D. 2 3  10.已知函数 ( ) 2sin( )f x x   （ 0 ， ,2       ）的部分图像如图所示，其中 5| | 2MN  .记命题 p ： 5( ) 2sin( )3 6f x x   ，命题 q：将 ( )f x 的图象向右平移 6  个单位，得到函数 22sin( )3 3y x   的图象，则以 下判断正确的是（ ） A. p q 为真 B. p q 为假 C. ( )p q  为真 D. ( )p q  为真 11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物 线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线 从点  3,1M 射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM 的周长为（ ） A. 71 2612  B. 9 10 C. 83 2612  D. 9 26 12.已知数列{ }na ，{ }nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 0na  ， 26 3n n nS a a  ， 1 2 (2 1)(2 1) n n n a n a ab     ，若 nk T 恒成立，则 k 的最小值为（ ）理科数学 第 3 页 共 4 页 A. 1 7 B. 1 49 C. 49 D. 8 441 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知在 ABC 中，| | | |BC AB CB    ， (1,2)AB  ，若边 AB 的中点 D 的坐标为 (3,1) ，点C 的坐标为 ( ,2)t ， 则t  __________． 14.已知 *1( ) ( )2 nx n Nx   的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 p ， q，则 64p q 的最小值为 __________． 15.已知 x ， y 满足 3 , ,6 0, x y t x y        其中 2t  ，若sin( )x y 的最大值与最小值分别为1， 1 2 ，则实数t 的取值范围为 __________． 16. 已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA， AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为___________. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 2 1( ) cos 3 sin( )cos( ) 2f x x x x x R，       ． （1）求函数 ( )f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （2）在锐角 ABC 中，内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，已知 ( ) 1 3f A a  ， ， sin sinb C a A ，求 ABC 的面积． 18.如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中CD AB∥ ，BC AB ，侧面 ABE  平面 ABCD ， 且 AB AE BE   2 2 2BC CD  ，动点 F 在棱 AE 上，且 EF FA . （1）试探究  的值，使CE ∥平面 BDF ，并给予证明； （2）当 1  时，求直线CE 与平面 BDF 所成的角的正弦值. 19.如今的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一 部分，为了解网络外卖在 A 市的普及情况， A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与 调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格（单位：人）.理科数学 第 4 页 共 4 页 （1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出了 3 人赠送外卖优惠券， 求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率； ②将频率视为概率，从 A 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 X ， 求 X 的数学期望和方差. 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    参考数据： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20.已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为点 1F ， 2F ，其离心率为 1 2 ，短轴长为 2 3 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点 1F 的直线 1l 与椭圆C 交于 M ， N 两点，过点 2F 的直线 2l 与椭圆C 交于 P ，Q 两点，且 1 2l l// ，证明： 四边形 MNPQ 不可能是菱形. 21.已知函数 1ln)(  axxaxf （1）讨论函数 )(xf 的单调性； （2）若函数 有两个极值点 )(, 2121 xxxx  ，且不等式 )()()( 2121 xxxgxg   恒成立，求 实数λ的取值范围． 22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 cos sin x t y      ，（ 0,t  为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 sin( ) 34     . （1）当 1t  时，求曲线C 上的点到直线 l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.