承德一中 2019-2020 学年度第一学期第三次模拟考试
高三理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3
至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一.选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)
1.已知集合 ，集合 ，求 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合 、 ，再利用集合交集运算律可求出集合 。
【详解】解不等式 ，即 ，解得 ， .
解不等式 ，解得 ， ，
因此， ，故选：B。
【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，
属于基础题。
2.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特称量词的否定得到结果.
【详解】根据命题否定的定义可得结果为： ，
本题正确选项：
4 1| 2 2
xA x − = ≥
{ }2| 3 10 0B x x x= − − ≤ A B =
∅ [3,5] [ 2,3]− (3,5)
A B A B
4 112 22
x− −≥ = 4 1x − ≥ − 3x ≥ { }3A x x∴ = ≥
2 3 10 0x x− − ≤ 2 5x− ≤ ≤ { }2 5B x x∴ = − ≤ ≤
[ ]3,5A B =
α∃ ∈R sin 0α =
α∃ ∈R sin 0α ≠ α∀ ∈R sin 0α ≠
α∀ ∈R sin 0α < α∀ ∈R sin 0α >
Rα∀ ∈ sin 0α ≠
B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.
3.设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为 ， ，
而 ， ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以有 ．
故选 ．
4.若角 的终边经过点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可得 的三个三角函数值后可得正确的选项.
【详解】因为角 的终边经过点 ，故 ，
所以 ，故选 B.
【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.
3log 2a = 5log 2a = 2log πc =
a c b> > b c a> > c b a> >
c a b> >
3
2
1log 2 log 3a = = 5
2
1log 2 log 5b = =
2 2log 3 log 2 1c = > = 2log 5 1>
0 1a< < 0 1b< <
2 2log 5 log 3 1> >
2 2
1 1
log 5 log 3
<
0 1b a< < <
c a b> >
C
α ( )1,1P −
sin 1α = tan 1α = −
2cos 2
α = 2sin 2
α = −
α
α ( )1,1P − 2r OP= =
2 2sin ,cos ,tan 12 2
α α α= = − = −5.将函数 的图象向右平移 单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先将函数 中 x 换为 x- 后化简即可.
【详解】 化解为
故选 D
【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将 x 按要求
变换.
6.平面向量 与 的夹角为 . , ,则 等于( )
A. B. C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
利用数量积定义,利用 ,求解即可.
【详解】 ，向量 与 的夹角为 ，
， ，
，
故选 B.
【点睛】本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方，再结合向量的夹角能求出向量
的数量积，计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.
2 sin 2 4y x
π = + 12
π
52 sin 2 12y x π = −
52 sin 2 12y x π = +
2 sin 2 12y x
π = − 2 sin 2 12y x
π = +
2sin 2 4y x
π = + 12
π
2sin 2( )12 4y x
π π = − + 2sin 2 12y x
π = +
a b 60° (2.0)a = 1b| |= | |2a b+
3 2 3
2| 2 | ( 2 )a b a b+ = +
(2,0) |, | 1ba = = a b 60°
2 2| | 2 0 2a∴ = + = cos60 1oa b a b⋅ = =
2| 2 | ( 2 )a b a b∴ + = + 2 2| | 4 | | 4a b a b= + + ⋅ 2 3=7.已知 ，且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运用乘 1 法，可得由 x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（ ）﹣1，化简整理再由基
本不等式即可得到最小值．
【详解】由 x+y＝（x+1）+y﹣1
＝[（x+1）+y]•1﹣1
＝[（x+1）+y]•2（ ）﹣1
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当 x ，y＝4 取得最小值 7．
故选：C．
【点睛】本题考查基本不等式 运用：求最值，注意乘 1 法和满足的条件：一正二定三等，
考查运算能力，属于中档题．
8.在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应
的
0, 0x y> > 1 1 1
1 2x y
+ =+ x y+
3 5 7 9
1 1
1x y
++
1 1
1x y
++
( )1
1
xy
x y
++ + −+ ）
( )1
1
xy
x y
+⋅ =+
3=
ABC AD BC E AD EB =
3 1
4 4AB AC- 1 3
4 4AB AC-
3 1
4 4AB AC+ 1 3
4 4AB AC+
1 1
2 2BE BA BC= + 用向量的加法运算法则------- 三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到
，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选 A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向
量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要
认真对待每一步运算.
9.在等差数列 中，公差 ， 为 的前 项和，且 ，则当 为何值时，
达到最大值.( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 ， ，得到 进而可判断出结果.
【详解】因为在等差数列 中， ，所以 ，
又公差 ，所以 ，故
BC BA AC= +
3 1
4 4BE BA AC= + 3 1
4 4EB AB AC= −
( )1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC= + = + = + +
1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC = + + = +
3 1
4 4EB AB AC= −
{ }na 0d < nS { }na n 5 7S S= n nS
8 7 6 5
0d < 5 7S S= 6 70, 0,a a> <
{ }na 5 7S S= 6 7 7 5 0a a S S+ = − =
0d < 6 7a a> 6 70, 0,a a>
0a ≥ ( )0,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )0,x a∈ − ( )' 0f x < ( ),x a∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, a−
( ),a− +∞
0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )f x
( )0, a− ( ),a− +∞
[ ]1,e 0x ( )0f x ( )f x [ ]1,e 0
1a− ≤ 1a ≥ − ( )f x [ ]1,e ( )f x [ ]1,e
( )1f ( )1 1 0f a= − < 1a >
a e− ≥ a e≤ − ( )f x [ ]1,e ( )f x [ ]1,e
( )f e ( ) ( )1 0af e a e e
= + + − < ( )1
1
e ea e
+< − −
1 a e< − < 1e a− < < − ( )f x ( )1, a− ( ),a e−
( )f x [ ]1,e ( ) ( ) ( )1 ln 1f a a a a− = + − − + 0 ln( ) 1a< − <
( ) ( ) ( )1 1 ln 0a a a+ < + − < ( ) ( ) ( )1 ln 1 1 1 2a a a a a+ − − + > + − + =
( ) 2f a− >
a
( ) ( )1, 1,1
e e
e
+−∞ − ∪ +∞ − 解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“ 在 上有解”可以转化为“在
上，有 ”，而“ 在 恒成立”可以转化为“在 上，有
”.
选做题：本小题满分 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数），以原点 为极点，
以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知点 是曲线 上任一点，求点 到直线 距离的最大值.
【答案】（1） ； ;（2）
【解析】
【分析】
（1）消参数得 的普通方程，根据 得 的直角坐标方程
（2）根据直线与圆位置关系得最值.
【详解】（1）
因为 ，
所以 ，即
（2）因 圆心 到直线 距离为 ，
所以点 到直线 距离的最大值为
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，
考查综合分析求解能力，属中档题.
23.已知 .
为
( ) 0f x < [ ],a b
[ ],a b ( )min 0f x < ( ) 0f x < [ ],a b [ ],a b
( )max 0f x <
xOy l
1 2 ,(2
x t ty t
= +
= − O
x C
2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ+ + + =
l C
M C M l
: 1 0l x y+ − = 2 2( 1) ( 2) 1x y+ + + = 2 2 1+
l 2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = C
1 2 ,
2
x t
y t
= +
= − 1 0x y∴ + − =
2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = =
2 2 2 4 4 0x y x y+ + + + = 2 2( 1) ( 2) 1x y+ + + =
( 1, 2)− − 1 0x y+ − = | 1 2 1| 2 2
2
− − − =
M l 2 2 2 2 1.r+ = +
( )f x x a x= + +（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设关于 的不等式 有解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）当 时，利用零点分段法去绝对值，将 转化为分段函数的形式，并由此解出不
等式的解集.（2）先利用绝对值不等式求得 的最小值，这个最小值小于 ，由此列不等
式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】解：（1）当 时，不等式 等价于 ，
或 ，
或 ，
解得 或 ，即 .
所以不等式 的解集是 .
（2）由题意得 ，
因为 ，故 .
【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，
属于中档题.
1a = ( ) 3f x <
x ( ) 3f x < a
( 2,1)− 3 3a− < <
1a = ( )f x
( )f x 3
a
1a = 1 3x x+ + < ( )
1
1 3
x
x x
< −
− + −
微信/支付宝扫码支付