承德一中 2019-2020 学年度第一学期第 3 次月考
高三理科数学试卷
一. 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)
1.集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式 可得集合 A，解 可得集合 B，进而得到集合 A,B 的并集．
【详解】由题得 ， ，则有 ，故选
D．
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题．
2.设 是虚数单位，若复数 ，则 的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
复数 ，根据共轭复数的概念得到，共轭复数为： ．
故答案为 D．
3.下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
{ } { }11 3 2 4xA x x B x， += − ≤ = ≥ A B =
[ ]0 2， ( )1 3， [ ]1 4，
[ )2− + ∞，
3 1 3x− ≤ − ≤ 1 22 2x+ ≥
{ }| 2 4A x x= − ≤ ≤ { }|1B x x= ≤ { }| 2A B x x∪ = ≥ −
i 1z i
i= + z
1 1 i2 2
+ 11 i2
+
11 i2
− 1 1 i2 2
−
1
iz i
= +
1
2
i += 1 1
2 2 i−
>a b 1 1
a b
< >a b 2 2a b>
>a b c d< >a c b d− − >a b >c d >ac bd【分析】
对每一个选项进行判断，选出正确的答案.
【详解】A.若 ，则 ，取 不成立
B.若 ，则 ，取 不成立
C. 若 ， ，则 ，正确
D. 若 ， ，则 ，取 不成立
故答案选 C
【点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键.
4.已知在 中， 为线段 上一点，且 ，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先 ，由已知条件可知 ，再有 ，这样可用
表示出 ．
【详解】∵ ，∴ ，
，
∴ ，∴ ．
故选 C．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出 ，然后用基底
表示即可．
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
>a b 1 1
a b
< 1, 1a b= = −
>a b 2 2a b> 0, 1a b= = −
>a b c d< >a c b d− −
>a b >c d >ac bd 1, 1, 1, 2a b c d= = − = = −
ABC∆ P AB 3BP PA= CP xCA yCB= + 2x y+ =
9
4
7
4
5
4
3
4
CP CB BP= + 3
4BP BA= BA CA CB= − ,CA CB
CP
3BP PA= 3
4BP BA=
CP CB BP= + = 3 3 3 1( )4 4 4 4CB BA CB CA CB CA CB+ = + − = + xCA yCB= +
3 1,4 4x y= = 52 4x y+ =
CP ,CA CB A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积，
可得答案．
【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，
其底面半径为 1，高为 2，
故其表面积： ，
故选 ．
【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于
基础题．
6.已知向量 ， ，则“ ”是 为钝角的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【 详 解 】 因 为 ， ， 所 以 ， 则
，
3 4π + 9 42
π + 4 2π + 11 42
π +
23 3 92 1 2 1 2 2 2 1 44 4 2S
ππ π= × × + × + × × = +
B
( 1,2)a = − (1, )b m= 1
2m < ,a b
( 1,2)a = − (1, )b m= 1 2a b m⋅ = − +
2
2 1cos ,
5 1
a b ma b
a b m
⋅ −= =
⋅ +
若 ，则 ，
但当 时， 反向，夹角为 ；所以由 不能推出 为钝角；
反之，若 为钝角，则 且 ，即 且 ，能推出 ；
因此，“ ”是 为钝角的必要不充分条件.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
7.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】
依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可．
【详解】A 正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平
面，则另一条也垂直于该平面”，若 且 ，则 ，又 ，所以 ，A
正确；
B 错误：若 ，则 不一定垂直于平面 ；
C 错误：若 ，则 可能垂直于平面 ，也可能平行于平面 ，还可能 平面
内；
D 错误：若 ，则 可能在平面 内，也可能平行于平面 ，还可能垂
直于平面 ；
【点睛】本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度．
8.已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B （0，﹣4），C （0，4），则顶点 A 的轨迹方程是（ ）
A. （x≠0） B. （x≠0）
在
1
2m < 2
2 1cos , 0
5 1
a b ma b
a b m
⋅ −= = <
⋅ +
2m = − ,a b 180
1
2m < ,a b
,a b cos , 0a b >
( )
2e < 1 3e<
,a b
b
a
b
a
b
a 2b
a
>
2 2 2
2
2 2 1 4b c a ea a
−= = − >
5e >
e e
e
2y 4x= − P F ( )A 2,1−
( )
1 ,14
−
1 ,14
( )2, 2 2− −【答案】A
【解析】
由题意得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ．
过点 P 作 于点 ，由定义可得 ,
所以 ，
由图形可得，当 三点共线时， 最小，此时 ．
故点 的纵坐标为 1，所以横坐标 ．即点 P 的坐标为 ．选 A．
点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使
问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的
垂线段最短”解决．
11.若函数 在 上的最大值为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
( )2,2 2−
( 1,0)F − : 1l x =
PM l⊥ M PM PF=
PA PF PA PM+ = +
, ,P A M | | | |PA PM+ PA l⊥
P 1
4x = − 1( ,1)4
−
( ) ( )2 0xf x ax a
= >+ [ )1,+∞ 3
3
a
3
3 3 3 1+ 3 1−对于函数 进行求导，分类讨论，求得函数的单调性和最值，即可求解．
【详解】由题意，函数 ，则 ，
当 时，即 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得最大值 ，解得 ，不合题意；
当 时， 在 单调递减，所以最大值为 ，不成立；
当 时， 在 单调递减，此时最大值为 ，
解得 ，故选 D．
【点睛】本题主要考查了利用求解函数在区间上的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数
的单调性之间的关系，合理分类讨论求得函数的最值是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于中档试题．
12.如图，设椭圆 右顶点为 A，右焦点为 F，B 为椭圆在第二象限上的点，直线 BO 交椭圆于
C 点，若直线 BF 平分线段 AC 于 M，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为△ABC 的中位线，可得△OFA∽△AFB，且
的
( ) ( )2 0xf x ax a
= >+
( ) ( )2 0xf x ax a
= >+
( ) ( )
2
22
a xf x
x a
−=
+
1a > x a> ( ) ( )0,f x f x′ <
1 x a< < ( ) ( )0,f x f x′ >
x a= ( )f x 3
2 3
a
a
= 3 14a = <
1a = ( )f x [ )1,+∞ ( ) 1 31 2 3f = ≠
0 1a< < ( )f x [ )1,+∞ ( ) 1 31 1 3f a
= =+
3 1a = -
1
2
2
3
1
3
1
4，即可得出 e．
【详解】如图，设 中点为 ，连接 ，则 为 的中位线，于是 ，
且 ，即 ，可得 ．
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质，考
查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.已知 是定义域 R 上的奇函数,周期为 4,且当 时, ,则
_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的周期性可得 f（31）＝f（-1），结合奇偶性可得 f（-1）＝-f（1），进而结
合函数的解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，y＝f（x）的周期为 4，则 f（31）＝f（-1）
又由 f（x）是定义域为 R 的奇函数，则 f（-1）＝-f（1），
若当 x∈[0，1]时， ，则 f（1）＝1
则 ﹣1；
故答案为：﹣1
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于基础题．
14.设函数 为参数，且 的部分图象如图
所示，则 的值为______.
1
2
OF OM
FA AB
= =
AC M OM OM ABC∆ OFM AFB∆ ∆∽
1
2
OF OM
FA AB
= = 1
2
c
a c
=−
1
3
ce a
= =
( )f x [0,1]x∈ 2( ) log ( 1)= +f x x
(31)f =
1−
2( ) log ( 1)= +f x x
(31)f =
( ) ( )(sin , ,f x A x Aω ϕ ω ϕ= + )0, 0,0A ω ϕ π> > < <
ϕ【答案】
【解析】
【分析】
根据图象首先求得 最小正周期 ，从而解得 ；代入 可得
到 ，结合 即可求得结果.
【详解】由图象可得 最小正周期： ，即
又 ，
，
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方
式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.
15.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为______．
【答案】10
【解析】
3
π
( )f x 2T
ππ ω= = 2ω = 7
12f A
π = −
23 k
πϕ π= + 0 ϕ π< <
( )f x 4 7
3 12 6T
π π π = × + =
2π πω = 2ω∴ =
7 7sin12 6f A A
π π ϕ = + = −
7 3 26 2 k
π πϕ π∴ + = + k Z∈
23 k
πϕ π∴ = + k Z∈
0 ϕ π< <
3
πϕ∴ =
3
π
0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤ 2z x y= −【分析】
作出不等式组 表示的平面区域，利用线性规划知识求解．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域如下：
作出直线 ，当直线 往下平移时， 变大，
当直线 经过点 时，
【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于
基础题．
16.在数列 中， ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，利用“累加法”可得结
果.
【详解】因为
所以 ，
0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤
0 2 6
3 6
x y
x y
≤ + ≤
≤ − ≤
:l 2 0x y− = l 2z x y= −
l ( )2, 4A − ( )max 2 2 4 10z = − × − =
{ }na 1 1
1 1, ,( *)2019 ( 1)n na a a n Nn n+= = + ∈+ 2019a
1
1 ,( *)( 1)n na a n Nn n+ = + ∈+ 1
1 1 1
( 1) 1n na a n n n n+ − = = −+ +
1
1 ,( *)( 1)n na a n Nn n+ = + ∈+
1
1 1 1
( 1) 1n na a n n n n+ − = = −+ +
2 1
11 ,2a a− = −
3 2
1 1 ,2 3a a− = −,
,
各式相加，可得
，
，
所以， ，故答案为 1.
【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项
常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明
数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及
构造新数列法求解.
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
（1)求角 ；
（2）若 ，则 周长的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用切化成弦和余弦定理对等式进行化简，得角 的正弦值；
（2）利用成正弦定理把边化成角，从而实现 的周长用角 B 的三角函数进行表示，即周
长 ，再根据锐角三角形中角 ，求得函数值域.
【详解】（1）由 ，得到 ，
又 ，所以 .
...
2019 2018
1 1
2018 2019a a− = −
2019 1
11 2019a a− = −
2019
1 112019 2019a − = −
2019 1a =
ABC∆ A B C a b c
( )2 2 2 tan 3b c a A bc+ − =
A
3a = ABC∆
3A
π= (3 3 3,9+
A
ABC∆
3 6sin 6B
π = + + ,6 2B
π π ∈
( )2 2 2 sin 3
2 cos 2
b c a A bc
bc A bc
+ −
⋅ = 3sin 2A =
0, 2A
π ∈ 3A
π=（2） ， ，设周长为 ，由正弦定理知 ，
由合分比定理知 ，
即 ， ，
即
.
又因为 为锐角三角形，所以 .
，周长 .
【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者选定什么量为变量？然后，利
用函数与方程思想，把所求的目标表示成关于变量的函数，再研究函数性质进行问题求解.
18.已知数列 满足 ， .
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）将式子合理变形，即可化成 ，从而证明 是以首项为 2，公比为 2 的等
比数列，并利用等比数列通项公式求出 的通项公式.
3A
π= 3BC = x 2sin sin sin
BC AC AB RA B C
= = =
sin sin sin sin
BC AB BC AC
A A B C
+ += + +
3
3 3 sin sin2 2
x
B C
=
+ + ( )32 3 sin sin2 B A B x
∴ + + + =
3 2 3 sin sin 3x B B
π = + + + = 3 2 3 sin sin cos cos sin3 3B B B
π π + + +
1 33 2 3 sin sin cos2 2B B B
= + + +
3 33 2 3 sin cos2 2B B
= + +
3 13 6 sin cos2 2B B
= + +
3 6sin 6B
π = + +
ABC∆ ,6 2B
π π ∈
3sin ,16 2B
π + ∈
(3 3 3,9x ∈ +
{ }na 1 1a = 1 2 1n na a+ = +
{ }1na + { }na
3 ( 1)n nb n a= ⋅ + { }nb n nT
1(3 3) 2 6n
nT n +∴ = − ⋅ +
1 1 21
n
n
a
a
+ + =+ { }1na +
{ }na（2）由数列 的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用
错位相减法求解前 n 项和 .
【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得： ，则 ，又
故 是以首项为 2，公比为 2 等比数列，
所以 ，故
（2）由（1）知
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数
列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得 即可，其中 为
常数；（2）等比中项法：证得 即可.
19.如图，已知点 H 在正方体 的对角线 上，∠HDA= ．
（1）求 DH 与 所成角的大小；
（2）求 DH 与平面 所成角的正弦值．
的
{ }nb
nT
1 1 2( 1)n na a+ + = + 1 1 21
n
n
a
a
+ + =+ 1 1 2a + =
{ }1na +
11 2 2 2n n
na −+ = × = 2 1n
na = −
3 2n
nb n= ⋅
1 2 3 13 2 6 2 9 2 3( 1) 2 3 2n n
nT n n−∴ = × + × + × + + − ⋅ + ⋅
2 3 4 12 3 2 6 2 9 2 3( 1) 2 3 2n n
nT n n
+∴ = × + × + × + + − ⋅ + ⋅
1 2 3 13 (2 2 2 2 3 2n n
nT n +∴− = × + + + + ⋅ ）-
1(3 3) 2 6n
nT n +∴ = − ⋅ +
*
1
, 0)( 2,n
n
a q qn n Na −
≠= ≥ ∈ q
2
1 1n n na a a+ −=
11 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 060
1CC
1A BD【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设 H（m，m，1）（m＞0），求出 、 ，利用向量的夹角
公式可求 DH 与 CC′所成角的大小；
（2）求出平面 A1BD 的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
【详解】（1）以 为原点，射线 为 轴 正半轴建立空间直角坐标系 ．
设 H（m，m，1）（m＞0），
则 （1，0，0）， （0，0，1），连接 BD，B1D1．
则 （m，m，1）（m＞0），
由已知 ， 60°，∴可得 2m ，解得 m ，
∴ （ ， ，1），
∴cos ， ，
∴ ， 45°，即 DH 与 CC′所成角的大小为 45°；
（2）设平面 的法向量为 则 ，∴ ，
令 得 是平面 的一个法向量．
的
45 6
6
1CC DH
D DA x D xyz−
DA =
1CC =
DH =
DA＜ DH =＞ 22 1m= + 2
2
=
DH = 2
2
2
2
DH＜ 1
2
2CC =＞
DH＜ 1CC =＞
A BD′ ( , , ),n x y z= ( , , ) (1,0,1) 0
( , , ) (1,1,0) 0
n DA x y z
n DB x y z
⋅ = ⋅ =′
⋅ = ⋅ =
0
0
x z
x y
+ =
+ =
1,x = (1, 1, 1)n = − − A BD′，
设 DH 与平面 所成的角为
所以 ．
【点睛】本题考查向量知识的运用，考查空间角，正确运用向量的夹角公式是关键.
20.已知椭圆 的离心率为 ，过顶点 的直线 与椭圆 相
交于两点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在椭圆上且满足 ，求直线 的斜率 的值.
【答案】(1) ;（2） .
【解析】
【详解】(1)因为 e= ,b=1,所以 a=2,
故椭圆方程为 . 4 分
(2)设 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
联立 ，解得 (1+4k2)x2+8kx=0，
因为直线 l 与椭圆 C 相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以 x1+x2= ，x1×x2=0，
∵ ∴
点 M 在椭圆上，则 m2+4n2=4,∴ ,化简得
x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,
2 21 ( 1) 1 ( 1) 62 2cos 62 3
DH n
× + × − + × −
= = −
×
，
A BD′ θ
6sin cos 6DH nθ = = ，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 3
2
(0,1)A L C
,A B
C
M 1 3
2 2OM OA OB= + L k
2
2
1
{
14
y kx
x y
= +
+ =
1 3
2 2OM OA OB= +
2 2
1 2 1 2
1 ( 3 ) ( 3 ) 44 x x y y+ + + =∴4k·( )+4=0,解得 k=± .故直线 l 的斜率 k=± .
21.已知函数 f（x）= x2-（a+1）x+alnx+1
（Ⅰ）若 x=3 是 f（x）的极值点，求 f（x）的极大值；
（Ⅱ）求 a 的范围，使得 f（x）≥1 恒成立．
【答案】（Ⅰ）极大值为 ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由于 x=3 是 f（x）的极值点，则 f′（3）=0 求出 a，进而求出 f′（x）＞0 得到函数的增
区间，求出 f′（x）＜0 得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；
（Ⅱ）由于 f（x）≥1 恒成立，即 x＞0 时， 恒成立，设
，求得其导函数，分类讨论参数 a，得到函数 g（x）的最小值
大于等于 0，即可得到 a 的范围．
【详解】解：（Ⅰ）
∵x=3 是 f（x）的极值点，∴ ，解得 a=3
当 a=3 时， ，
当 x 变化时，
x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
f（x）的极大值为 ；
（Ⅱ）要使得 f（x）≥1 恒成立，即 x＞0 时， 恒成立，
1
2
1
2
1
2
( ) 51 2f = − 1
2a ≤ −
21 ( 1) ln 02 x a x a x− + + ≥
21( ) ( 1) ln2g x x a x a x= − + +
( ) ( )' 1 af x x a x
= − + +
( ) ( )' 3 3 1 03
af a= − + + =
( ) ( )( )2 1 34 3' x xx xf x x x
− −− += =
( ) 51 2f = −
( )21 1 02 x a x alnx− + + ≥设 ，则 ，
（ⅰ）当 a≤0 时，由 g′（x）＜0 得单减区间为（0，1），由 g′（x）＞0 得单增区间为（1，
+∞），
故 ，得 ；
（ii）当 0＜a＜1 时，由 g′（x）＜0 得单减区间为（a，1），由 g′（x）＞0 得单增区间为（0，
a），（1，+∞），此时 ，∴不合题意；
（iii）当 a=1 时，f（x）在（0，+∞）上单增， ，∴不合题意；
（iv）当 a＞1 时，由 g′（x）＜0 得单减区间为（1，a），由 g′（x）＞0 得单增区间为（0，
1），（a，+∞），此时 ，∴不合题意．
综上所述： 时，f（x）≥1 恒成立．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、
推导、判断能力．
22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），在以坐标原
点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 M 的极坐标为 ，直线 的极坐
标方程为 ．
（1）求直线 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；
（2）若 N 是曲线 C 上的动点，P 为线段 MN 的中点，求点 P 到直线 的距离的最大值．
【答案】（1） , ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线 l 的直角坐标方程与曲线
C 的普通方程；（2）设 N（ ，sinα），α∈[0，2π）．先求出点 P 到直线 l 的距离
( ) ( )21 12g x x a x alnx= − + + ( ) ( ) ( )( )1' 1 x x aag x x a x x
− −= − + + =
( ) 1( ) 1 02ming x g a= = − − ≥ ( ) ( )2f x f x k+ + ≥
( ) 11 02g a= − − ＜
( ) 11 02g a= − −此时 ＜
( ) 11 02g a= − − ＜
( ) ( )2f x f x k+ + ≥
3 cos
sin
x
y
α
α
= =
32 2, 4
π
l
sin 2 2 04
ρ θ π − + =
l
l
4 0x y− − = 2
2 13
x y+ = 7 2
2
3cosα再求最大值.
【详解】（1）因为直线 l 的极坐标方程为 ，
即 ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0．
将曲线 C 的参数方程 消去参数 a，
得曲线 C 的普通方程为 ．
（2）设 N（ ，sinα），α∈[0，2π）．
点 M 的极坐标（ ， ），化为直角坐标为（－2，2）．
则 ．
所以点 P 到直线 l 的距离 ，
所以当 时，点 M 到直线 l 距离的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性
质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推
理能力.
23.（1）已知 都是正数，且 ，求证： .
（2）已知已知 ，且 ，求证： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用比较法证明，欲证 ，只要证 即可，
的
3 1cos sin 62 2
2
d
α α− −
=
πsin 2 2 04
ρ θ − + =
3x cos
y sin
α
α
= =
2
2 13
x y+ =
3cosα
2 2 3π
4
3 1cos 1, sin 12 2P α α − +
3 1 πcos sin 6 sin 62 2 3 7 2
22 2
d
α α α − − − + = = ≤
5π
6
α = 7 2
2
,a b， a b¹ 5 5 2 3 2 3a b a b b a+ > +
, ,a b c∈R 1a b c+ + = 2 2 2 1
3a b c+ + ≥
5 5 2 3 2 3a b a b b a+ > + 5 5 2 3 2 3( ) 0a b a b b a− + >+然后利用因式分解判断每个式子的正负即可；
（2）由题意得：1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），即可证得结论.
【详解】（1）
.
∵ 都是正数,∴ ,又∵ ,
∴ ；
（2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥ ．
【点睛】本题考查了不等式的证明，熟悉公式和运用是解题的关键，属于中档题.
( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 3 3 2 5 3 2 5 2 3a b a b a b a a b b a b+ − + = − + −
( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2( )( )a a b b a b a b a b a b a b a ab b− − − = − − = + − + +
,a b 2 2, 0a b a ab b+ + + > 2, ( ) 0a b a b≠ ∴ − >
( ) ( ) ( )2 2 2 5 5 2 3 3 2( )( ) 0,a b a b a ab b a b a b a b+ − + + > ∴ + > +
1
3
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