承德一中 2019-2020 学年度第一学期第三次模拟考试
高三文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3
至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一.选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)
1.设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法得到集合 B，再由集合的交集运算得到结果.
【详解】集合 ，集合 ，
根据集合的交集运算得到 .
故答案为：C.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为 ，所以应选答案 A。
3.命题“若 ， 都是奇数，则 是偶数”的逆否命题是（ ）
A. 若两个整数 与 的和 是偶数，则 ， 都是奇数
{ }2, 1,0,1,2A = − − 1 1B x x
= >
2 0x y− + = 3 6 0x y− − = (4,6) z ax by= + 0, 0a b> >
4 6 12a b+ = 2 3 6a b+ = 2 3
a b
+ =
2 3 2 3 13 13 25( ) ( ) 26 6 6 6
a b b a
a b a b
++ = + + + =9.如图所示的茎叶图为高三某班 名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的 ， ， ，
， 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 ， 分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
50 1a 2a 3a
50a m n
38m = 12n = 26m = 12n =
12m = 12n = 24m = 10n =【答案】B
【解析】
试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于 和成绩不小于 且小于 的人数，
由茎叶图可知，成绩不小于 的有 个，成绩不小于 且小于 的有 个，故 ，
．
考点：程序框图、茎叶图．
【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判
断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求
个成绩中成绩不小于 和成绩不小于 且小于 的个数，由茎叶图可知，成绩不小于 的
有 个，成绩不小于 且小于 的有 个．
10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )
A. 3 B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合求出各棱的长，可得答案．
【详解】由三视图可得几何体的直观图如图所示：
5有： 面 ， ，
中， ， 边上的高为 2，
。
该三棱锥最长的棱的棱长为 .
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图，根据已知画出满足条件的直观图是解答的关
键，属于中档题．
11.已知函数 恰有两个极值点 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数 求导数，得出导数 有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，
结合图象找到临界的相切状态，通过求解切线斜率即可构造不等式，求解得 的取值范围．
【详解】 函数
由于函数 的两个极值点为 ，
即 ， 是方程 的两个不等实根
即方程 有两个不等式实根，且 ，
设 ，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；
PB ⊥ ABC 2PB =
ABC∆ , 2AB AC BC= = BC
5, 5 4 3, 4 4 2 2AB AC PA PC∴ = = = + = = + =
3PA =
( ) ( )x xf x e x ae= − ( )1 2 1 2,x x x x< a
10, 2
( )1,3 1 ,32
1 ,12
( )f x ( ) 0f x′ =
a
( ) ( )x xf x e x ae= − ( ) ( )1 2 x xf x x a e e′∴ = + − ⋅
( )f x 1x 2x
1x 2x ( ) 0f x′ =
1 2 0xx ae+ − = 0a ≠
1
2
xx ea
+∴ =
( )1
1 02
xy aa
+= ≠ 2
xy e=要使这两个函数有 个不同的交点，应满足如图所示的位置关系
临界状态为图中虚线所示切线
恒过 ，设与曲线 切于点
则
若有 个不同的交点，则
解得：
所以 的取值范围是
本题正确选项：
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数
形结合的应用问题，关键是能够将问题转化为两个函数有两个交点的问题，根据切线斜率求
得临界值．
12.正三棱锥 S－ABC 的外接球半径为 2，底边长 AB＝3，则此棱锥的体积为
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积。
2
( )1
1 02
xy aa
+= ≠ ( )1,0− 2
xy e= ( ), mm e
2
xy e′ = 0
1
m
m ek e m
−∴ = = + 0m∴ = 1k∴ =
2 1 12a
>
10 2a< <
a 10, 2
A
9 3
4
9 3
4
3 3
4
27 3
4
27 3
4
3
4【详解】设正三棱锥的高为 h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心
因为底面边长 AB=3，所以
当顶点 S 与球心在底面 ABC 的同侧时，如下图
此时有 ，即
可解得 h=3
因而棱柱的体积
当顶点 S 与球心在底面 ABC 的异侧时，如下图
有 ，即
可解得 h=1
所以
综上，棱锥的体积为 或
所以选 B
【点睛】本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题。
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
2
22 2 33 33 3 2AH AD = = − =
2 2 2AH OH OA+ = ( ) ( )2 2 23 2 2h+ − =
1 1 3 3 9 33 33 2 2 4S ABCV − = × × × × =
2 2 2AH OH OA+ = ( ) ( )2 2 23 2 2h+ − =
1 1 3 3 3 33 13 2 2 4S ABCV − = × × × × =
9 3
4
3 3
413.已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ,
=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得 ， ，代值计算即可。
【详解】由题可得 ，
【点睛】本题考查任意角的三角函数值计算，属于基础题。
14.在 中，角 , , 的对边分别为 ， ， .已知 ， ， ,则
角 的大小为__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据正弦定理，求出 sinB，进而求出 B 的大小.
【详解】∵ ， ， ,
由正弦定理 ,可得 ，
可得 ，又 ，所以 或 ,
故答案为 或 .
【点睛】本题考查了正弦定理的直接应用，属于简单题.
15.已知数列为 ；其前 n 项和为
_____________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
α O x ( )3,4P −
sinα
4
5
( )2 23 4 5r = − + = sin y
r
α =
( )2 23 4 5r = − + = 4sin 5
y
r
α = =
ABC∆ A B C a b c 2a = 3b = 45A °=
B
3
π 2
3
π
2a = 3b = 45A °=
sin sin
a b
A B
=
2 3
sin2
2
B
=
3sin 2B = ( )0,B π∈
3B
π= 2
3
π
3
π 2
3
π
1 1 1 11, , , ,......,1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ... n+ + + + + + + + + +
2
1
n
n +将数列 的通项化简，将其裂项，利用裂项求和法求出前 项和。
【详解】 ，设该数列的前 项和为 ，
因此， ，
故答案为： 。
【点睛】本题考查数列的裂项求和法，要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求，同时要注
意裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。
16.奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有
，则关于 的不等式 的解集为
__________．
【答案】
【解析】
令 ，
则 ，
由条件得当 时， ，
∴函数 上单调递减．
又函数 为偶函数，
∴函数 在 上单调递增．
①当 时， ，不等式 可化为 ，
∴ ；
在
1
1 2 3 n
+ + + +
n
( ) ( )
1 1 2 2 2
11 2 3 1 1
2
n nn n n n n
= = = −++ + + + + + n nS
2 2 2 2 2 2 2 2 2 221 2 2 3 3 4 1 1 1n
nS n n n n
= − + − + − + + − = − = + + +
2
1
n
n +
( )f x ( ) ( ),0 0,π π− ( )f x′ 0 πx< <
( ) ( )sin cos 0f x x f x x′ − < x ( ) 2 sin4f x f x
π <
,0 ,4 4
π π π − ∪
( ) ( )( )( ) , ,0 0,sin
f xg x xx
π π= ∈ − ∪
2
( )sin ( )cos( ) sin
f x x f x xg x x
′=′ −
0 x π< < ( ) 0g x′ <
( )g x ( )0,π
( )g x
( )g x ( ),0π−
( )0,x π∈ sin 0x > ( ) 2 sin4f x f x
π <
( ) ( )4
sin sin 4
ff x
x
π
π<
4
π π< =
−
04 x
π− < <
( ,0) ( , )4 4
π π π−
( ,0) ( , )4 4
π π π−
{ }na 2 6a = 3 6 27a a+ =
{ }na
{ }nb 13n
nb −= { }·n na b n nT
3na n= ( ) 12 1 ·3 3
4
n
n
nT
+− +=
1,a d 1,a d 1,a d
{ }na 3na n= · ·3n
n na b n= { }·n na b
n
{ }na d 2 6a = 3 6 27a a+ =
1
1
6{2 7 27.
a d
a d
+ =
+ =解得 （4 分）
所以 ．…………（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，所以 ．…………（6 分）
①……（7 分）
②……（8 分）
① ②，得：
（9 分）
故： ………（10 分）
即 ．…………（12 分）
考点：1.等差数列的定义与性质；2.错位相减法求和.
【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、错位相减法求和，属中档题；数列前 项和常
用的方法有六种：(1)公式法；（2）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前 n
项相加的过程中相互抵消）；
（3）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（4）分组求和法(根据数列通项公式的
特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（5）奇偶项分析法（适合于整个数列特
征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．（6）倒
序相加法.
18.已知 中，角 , , 所对的边分别为 ，且
（1）求角 的大小：
（2）若 ， 的外接圆半径 , 为边 上一点，且 ,求
的内切圆半径 .
【答案】（1） ；（2）
1 3,{ 3.
a
d
=
=
3na n=
3na n= · ·3n
n na b n=
2 31 3 2 3 3 3 ·3n
nT n= × + × + × + +
2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 ·3n
nT n += × + × + × + +
−
( )1 2 3 1 13 1 3
2 1 3 3 3 3 ·3 ·31 3
n
n n n
nT n n+ +
−
− = × + + + + − = −−
( ) 13 3 1
2 ·32
n
n
nT n +
−
− = −
( ) 12 1 ·3 3
4
n
n
nT
+− +=
n
ABC∆ A B C , ,a b c 2 2 2a c b ac+ = +
B
2a = ABC∆ 21
3R = D AB : 1:3BD AB =
BCD∆ r
3B
π= 3 1
2
−【解析】
【分析】
(1)由余弦定理，得 ，进而求出 B,（2）利用正弦定理得 b 再求出 c,利用△BCD 为直
角三角形即可求出内切圆的半径.
【详解】（1）由 得 .
故
又 ，
(2)由 得 ，
由 ,解的 ，
由余弦定理得
的内切圆半径 .
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查公式的运用，是中档题.
19.已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐
标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
【答案】(1)最小正周期为 ,单调递减区间为 (2)
【解析】
【分析】
1cos 2B =
2 2 2a c b ac+ = + 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
0 B π< <
3B
π∴ =
2 212sin 3
b RB
= = 7b =
2 2 2a c b ac+ = + 3c = 1BD =
3CD =
2 2 2 , 90CD BD BC CDB∴ + = ∠ = °
BCD∴∆ 3 1
2 2
CD DB BCr
+ − −= =
( ) 2cos 2 4f x x
π = + x∈R
( )f x
( ) 2cos 2 4f x x
π = + ( 0)m m >
( )g x y m
π 3, ( )8 8k k k Z
π ππ π − + + ∈ 8
π（1）利用周期公式即可求得函数的最小正周期，利用复合函数单调性规律及余弦函数的单调
性列不等式： ，解不等式即可求得函数 的单调递减区
间.
（2）利用三角函数图像变换，写出变换后的三角函数解析式为： ，即
可求得其对称轴方程为： ，利用函数 的图象关于 轴对称即
可列方程： ，解得： ，再利用 即可
求得 的最小值，问题得解。
【详解】（1）由题可得： ，
令： ，整理得：
解得： ，
所以函数 的单调递减区间为： .
（2）
令： ， ，所以
所以 的对称轴为:
又函数 的图象关于 轴对称，所以
2 2 2 ,( )4k x k k Z
ππ π π≤ + ≤ + ∈ ( )f x
2cos( 2 )4y x m
π= − +
2 ,( )4x m k k Z
π π= − + ∈ ( )g x y
1 10 2 ,( )4m k k Z
π π= − + ∈ 1
1,( )8 2
km k Z
π π= − ∈ 0m >
m
2 2
2T
π π πω= = =
2 2 24k x k
ππ π π≤ + ≤ + ( )k ∈Z 32 2 24 4k x k
π ππ π− + < < +
3
8 8k x k
π ππ π− + < < + ( )k ∈Z
( )f x 3, ( )8 8k k k Z
π ππ π − + + ∈
( ) 2cos(2 ) 2cos 2( ) 2cos(2 2 )4 4 4
mf x x y x m x m
π π π = + → = − + = − +
向右平移 个单位
2 2cos( 2 )4y x m
π→ = − +纵坐标不变
横坐标伸长到原来的 倍
2 4x m k
π π− + = ( )k ∈Z 2 ,( )4x m k k Z
π π= − + ∈
( ) 2cos( 2 )4g x x m
π= − + 2 ,( )4x m k k Z
π π= − + ∈
( )g x y 1 10 2 ,( )4m k k Z
π π= − + ∈解得： ，由 可知：
的最小值为 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期公式及利用复合函数单调性规律知识求函数的单调
区间，还考查了三角函数图像的平移、伸缩变换及三角函数的性质，考查计算能力及转化能
力，属于中档题。
20.已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，求函数 最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数 的值；
（2）求导，求出 时的极值，比较极值和 之间的大小的关系，最后求
出函数的最小值.
【详解】（1） ，函数 在
处取得极值，所以有 ；
（2）由（1）可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数
单调递减，故函数在 处取得极大值，因此 ，
， ，故函数 的最小值为 .
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
21.已知 ．
(I)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 的值；
(II)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
的
【
1
1,( )8 2
km k Z
π π= − ∈ 0m >
m
8
π
3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = −
a
[ 2,1]x∈ − ( )f x
1 3−
a
[ 2,1]x∈ − ( 2) (1)f f− 、
3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3f x x ax f x x a=⇒= − − − 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = −
2' 3( 1( )0 11 3 0) af a− − == ⇒− =⇒
3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x f x x x x= − − = − = + −⇒
( 2, 1)x∈ − − ' ( ) 0f x > ( )f x ( 1,1)x∈ − ' ( ) 0f x < ( )f x
1x = − 3( 1) ( 1) =13 ( 1) 1f − = − − × − −
3( 2) ( 2) 3 ( 2) 1 3=f − = − − × − − − 3(1) 1 3 1 1 = 3f = − × − − ( )f x 3−
( ) ( ) 211 e 2
xf x x ax= − −
( )y f x= (1, (1))f x a
( )f x 0x = a【答案】（I） ； （II） .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用导函数与原函数切线的关系可得关于 a 的方程，解方程即可求得实数 a 的值.
(Ⅱ)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定实数 a 的取值范围.
【详解】(I)因为 , 的定义域为 ，
所以 ，
由题设知 ，即 解得 ．
此时 ，所以 的值为 ．
（II）由(I)得 .
① 若 ，则当 时， 所以 ；
当 时， 所以 ．
所以 在 处取得极大值.
② 若 ，则当 时， ， ，所以 ．
所以 不是 f (x) 极大值点．
综上可知，a 的取值范围是（ ，+∞）．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知
识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析
几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
选做题：本小题满分 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.以直角坐标系的原点 为极点， 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是
（ 为参数）.
的
e (1, )+∞
( ) ( ) 211 e 2
xf x x ax= − − ( )f x ( , )−∞ +∞
( )' e xf x x ax= − ( )' 1 e .f a= −
( )' 1 0f = e 0,a− = a e=
e(1) 02f = − ≠ a e
( )' e (e )x xf x x ax x a= − = −
1a > ( , 0)x ∈ −∞ 0,e 1,e 0,x xx a< < − < '( ) 0f x >
(0,ln )x a∈ ln0,e e 0,x ax a a> − < − = '( ) 0f x <
( )f x 0x =
1a ≤ (0,1)x∈ 0x > e e 1 0x xa− ≥ − > '( ) 0f x >
0
1
O x
1C 2sin 4cos 0ρ θ θ− = 2C 1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= − +
=
ϕ（1）求曲线 的直角坐标方程及 的普通方程；
（2）已知点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），设直线 与曲线 相
交于 ， 两点，求 的值．
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）曲线 的极坐标方程转化为 ，由此能求出曲线 的直角坐标
方程；曲线 的参数方程消去参数，能求出 的普通方程．
（2）将直线 的参数方程代入 ，得 ，利用韦达定理，能求出
的值．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 直角坐标方程 ，
因为 ，
所以 的普通方程为
（2）由题知点 在直线 上
将直线 的参数方程 代入 得，
设 两点对应的参数为
的
1C 2C
1( ,0)2P l
1 2
2 2
2
2
x t
y t
= +
=
t l 1C
M N 1 1
| | | |PM PN
+
2 4y x= 2 2( 1) 4x y+ + = 3
1C 2 2sin 4 cos 0ρ θ − ρ θ = 1C
2C 2C
l 2 4y x= 2 4 2 4 0t t− − =
1 1
| | | |PM PN
+
2sin 4cos 0ρ θ θ− =
2 2sin 4 cos 0ρ θ − ρ θ =
1C 2 4y x=
1 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= − +
=
2C 2 2( 1) 4x y+ + =
1( ,0)2P l
l
1 2
2 2
2
2
x t
y t
= +
=
2 4y x= 2 4 2 4 0t t− − =
,M N 1 2,t t则
所以
【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程、普通方程的求法，考查两线段的倒数和的求法，充
分利用根与系数的关系解题，是中档题
23.选修 4—5；不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当 时，解关于 的不等式 ；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：由 带入后，利用零点分区间讨论法解绝对值不等式；由于 ，则
， ，因此 和 可以去掉绝对值符号，化为 ，对
和 分情况进行讨论解决.
（Ⅰ）原问题等价于
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，不符合题意，舍；
若 ，则 ，解得 ；
不等式的解集为
（Ⅱ） 对 恒成立
1 2 1 24 2, 4t t t t+ = = −
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 t t t t
PM PN t t t t t t
+ −+ = + = =
2
1 2 1 2
1 2
( ) 4 3t t t t
t t
+ −= =
( ) 2 1 1f x x a x= − + −
1a = x ( ) 4f x ≥
{ 1
2
x x
y y
=
=
′
′
1[ ,2]2
a
2( , ] [2, )3
−∞ − ∪ +∞ 3a ≥
1a = 1[ ,2]2x∈
2 1 0x − ≥ 2 0x − ≤ 2 1x − 2x − 1 3 3a x x− ≥ −
1 2x≤ ≤ 1 12 x≤ ≤
2 1 1 4x x− + − ≥
1
2x ≤ 2 3 4x− ≥ 2
3x ≤ −
1 12 x< ≤ 4x ≥
1x > 3 6x ≥ 2x ≥
] [2, 2,3
−∞ − ∪ +∞
1 3 3a x x∴ − ≥ − 1 ,22x ∈ 时，
时，
综上：
1 12 x≤ < ( )1 3 3a x x− ≥ − 3a∴ ≥
1 2x≤ ≤ ( )1 3 3a x x− ≥ − 3a∴ ≥ −
3a ≥
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