河北省2020届高三文科数学上学期第三次联考试题（附解析Word版）

河北省 2020 届高三年级上学期第三次联考 数 学（文科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.设 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 ，得到 ，即可求解实数 的取值范围，得到答案。 【详解】由题意，集合 ， ， 因为 ，则 ，即实数 取值范围是 。 故选：A。 【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关 系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 2.己知命题 p： ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】 : . 故选 C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 的 { }1 1A x x= − < < { }0B x x a= − > A B⊆ a ( , 1]−∞ − ( , 1)−∞ − [1, )+∞ (1, )+∞ A B⊆ 1a ≤ − a { }1 1A x x= − < < { } { }0B x x a x x a= − > = A B⊆ 1a ≤ − a ( , 1]−∞ − ,2 1000nn N∃ ∈ > p¬ ,2 1000nn N∀ ∈ < ,2 1000nn N∀ ∉ < ,2 1000nn N∀ ∈ ≤ ,2 1000nn N∀ ∉ ≤ p¬ ,2 1000nn N∀ ∈ ≤解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 i 的幂运算性质可得 ，再由复数的除法运算可求得 z，从而求出 . 【详解】 ，则 ， 所以， . 所以本题答案为 B. 【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数 表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题. 4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个 人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天 后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24 里 B. 48 里 C. 96 里 D. 192 里 【答案】D 【解析】 【分析】 每天行走的步数组成公比为 的等比数列,根据前 6 项和为 378 列式可解得. 【详解】设第 天行走了 步,则数列 是等比数列,且公比 , 因为 , 所以 , 2019(1 )i z i− = − | |z = 1 2 2 2 2 2019i i= − | |z 2019(1 ) ii z i− = − = (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i + − += = = = − +− − + 2 21 1 2| | 2 2 2z    = − + =       1 2 n na { }na 1 2q = 1 2 3 4 5 6 378a a a a a a+ + + + + = 2 3 4 5 1(1 ) 378a q q q q q+ + + + + =所以 , 所以第一天走了 192 里. 故选 D 【点睛】本题考查了等比数列的前 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数 为偶函数，且对于任意的 ，都有 ,设 ， ， 则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先判断函数在 的单调性，然后根据偶函数化简 ，然后比较 2， ， 的大小，比较 的大小关系. 【详解】若 ，则函数在 是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足 ， 即 ， ， 在 单调递增， ， 即 . 故选 C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质 的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型. 1 2 3 4 5 378 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 a = + + + + + 6 378 378 1921 11 ( ) 2(1 )2 64 11 2 = = = − − − n ( )f x ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x − − ( )1 20 x x> ≠ (2)a f= 3(log 7)b f= 0.1( 2 )c f −= − b a c< < c a b< < c b a< < a c b< < ( )0, ∞+ ( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− = 3log 7 0.12− , ,a b c ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0f x f x x xx x − > ≠− ( )0, ∞+ ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− = 0.10 2 1−< < 31 log 7 2< < ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )0.1 32 log 7 2f f f−∴ < < c b a< y ϕ tanϕ = 3 3 3 3 3 − 3− y ( ) sin(2 )6f x x π= − ϕ 0ϕ > sin[2( ) ] sin(2 2 )6 6y x x π πϕ ϕ= + − = + − y 2 6 2k π πϕ π− = + k Z∈ 2 3 kπ πϕ = + k Z∈ 0ϕ > 0k = ϕ 3 π tan tan 33 πϕ = = 21( ) cos4f x x x= + ( )t f t（ ， ） k ( )k g t= 1( ) sin2f x x x′ = − ( )t f t（ ， ） 1( ) sin2k f t t t= ′ = −得出函数 ，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。 【详解】由题意，函数 ，则 ， 则在点 处的切线的斜率为 ， 即 ，可得 ， 所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D 项， 又由当 时， ，排除 C 项， 只有选项 A 项符合题意。 故选：A。 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中 解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题。 8.已知两点 ， 以及圆 ： ，若圆 上存在点 ，满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知：以 AB 为直径的圆与圆 有公共点，从而得出两圆 圆心距与半径的关系，列出不等式得出 的范围． 【详解】 ， 点 在以 ， 两点为直径的圆上， 该圆方程为： ，又点 在圆 上， 两圆有公共点． 两圆的圆心距 解得： 故选 D ( ) 1 sin2 tg t t−= 21( ) cos4f x x x= + 1( ) sin2f x x x′ = − ( )t f t（ ， ） 1( ) sin2k f t t t= ′ = − ( ) 1 sin2 tg t t−= ( ) ( )1 1( ) sin( ) s n )2 2( it tg tt t g t− = = −− − − − = − ( )g t 2t π= ( ) 1 si 1 02 2 4n2g t π π π== −− C P 0AP PB⋅ =  r [ ]3,6 [ ]3,5 [ ]4,5 [ ]4,6 ( ) ( )2 2 23 4 ( 0)x y r r− + − = > r  0AP PB⋅ =  ∴ P ( )1,0A − ( )1,0B 2 2 1x y+ = P C ∴ 2 23 4 5d = + = ∴ 1 5 1r r− ≤ ≤ + 4 6r≤ ≤【点睛】本题考查了圆与圆 位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题． 9.在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ，E 是 BC 的中点，则 A. 32 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量的基本运算展开，再分别求数量积即可． 【详解】 ，由数量积的几何意义可得： 的 值 为 与 在 方 向 投 影 的 乘 积 ， 又 在 方 向 的 投 影 为 ， ，同理 ， ．故选 C. 【点睛】本题考查向量的数量积，正确理解向量的数量积是解本题的关键，属于基础题． 10.已知直线 与椭圆 交于 两点，且线段 中 点为 ，若直线 （ 为坐标原点）的倾斜角为 ，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用点差法求解可得直线 和 斜率间的关系，进而得到 ，再根据椭圆离心率的 定义可得所求． 【详解】设 ， 的 8AB = 4CD = / /AB CD AB AD⊥ ( )AB AC AE⋅ + =   ( )AB AC AE AB AC AB AE⋅ + = ⋅ + ⋅        AB AC⋅  AB AC AB AC AB 1 42 AB = 32AB AC∴ ⋅ =  8 6 48AB AE⋅ = × =  ( ) 32 48 80AB AC AE∴ ⋅ + = + =   3 1 0x y− + = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ,A B AB M OM O 150° C 1 3 2 3 3 3 6 3 AB OM 2 2 1 3 b a = 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )A x y B x y M x y∵点 在椭圆 上， ∴ ， 两式相减整理得 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴椭圆 的离心率为 ． 故选 D． 【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出 的值，再由离心率的定义 直接求解．②由题意列出含有 的方程(或不等式)，借助于 消去 ，然后转化成关于 的方程(或不等式)求解． 11.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，若球 的表面积为 ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由球 O 的表面积为 29π，可得 x2+y2=25， 写出侧面积，再由基本不等式求最值． ,A B 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x y x y a b a b + = + = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a + −⋅ = −+ − 2 0 1 2 2 0 1 2 y y y b x x x a −⋅ = −− 2 2OM AB bk k a ⋅ = − 2 2 3 3 3 1tan150 3 3 3 3 b a °× = − × = − = − 2 2 1 3 b a = C 2 2 2 61 ( ) 3 c be a a = = − = , ,a b c 2 2 2 2 2 2 2e 1 ( )c a b b a a a −= = = − , ,a b c 2 2 2b a c= － b e A BCD− O AD ⊥ ABC 90BAC∠ = ° 2AD = O 29π A BCD− 255 2 4 + 5 415 2 4 + 276 3 2 + 2510 2 2 +【详解】设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y， 由 4πR2=29π，得 4R2=29．又 x2+y2+22=（2R）2，得 x2+y2=25．三棱锥 A-BCD 的侧面积： S=S△ABD+S△ACD+S△ABC= 由 x2+y2≥2xy，得 xy≤ 当且仅当 x=y= 时 取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 x+y≤5 ,当且仅当 x=y= 时取等号，∴S≤5 + = 当且仅当 x=y= 时取等号. ∴三棱锥 A-BCD 的侧面积的最大值为 .故选 A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想 象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是中档题． 12.已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当 时，不等式 .若对 ，不等式 恒成立，则正整 数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 ，求出 ，由题可得 是在 上的奇函数且在 上为单调递增函数，将 转化成 ，利用 在 上为单调递增函数可得： 恒成 1 1 12 22 2 2x y xy⋅ + ⋅ + 25 2 5 2 2 2 5 2 2 2 1 25 2 2 × 255 2 4 + 5 2 2 255 2 4 + R ( )f x y ( )f x′ 0x ≥ ( ) ( )1xf x f x′ > − x∀ ∈R ( ) ( ) 0x x xe f e e ax axf ax− + − > a 1 2 3 4 ( ) ( ) 1F x x f x= −   ( ) ( ) ( )' ' 1F x xf x f x= + − ( )F x R R ( ) ( ) 0x x xe f e e ax axf ax− + − > ( ) ( )1 1x xe f e ax f ax − > −    ( )F x R 0xe ax− >立，利用导数求得 ，解不等式 可得 ，问题得 解． 【详解】因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 又因为 是在 上的偶函数，所以 是在 上的奇函数， 所以 是在 上的单调递增函数， 又因为 ，可化为 ， 即 ，又因为 是在 上的单调递增函数， 所以 恒成立， 令 ，则 ， 因为 ，所以 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，则 ， 所以 . 所以正整数 的最大值为 2. 故选 B 【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础 知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题．. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知双曲线 的右焦点为 ，则 到其中一条渐近线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得双曲线焦点到渐近线的距离为 ，由此求得 到渐近线的距离. ( ) min lnxe ax a a a− = − ln 0a a a− > 0 a e< < ( ) ( )' 1xf x f x> − ( ) ( )' 1 0xf x f x− + > ( ) ( ) 1F x x f x= −   ( ) ( ) ( )' ' 1 0F x xf x f x= + − > ( )f x R ( )F x R ( )F x R ( ) ( )x x xe f e axf ax e ax− > − ( ) ( )1 1x xe f e ax f ax − > −    ( ) ( )xF e F ax> ( )F x R 0xe ax− > ( ) xg x e ax= − ( )' xg x e a= − 0a > ( )g x ( ),lna−∞ ( )ln ,a +∞ ( )min ln 0g x a a a= − > 1 ln 0a− > 0 a e< < a 2 2 14 yx − = F F 2 b F【详解】对于任意双曲线 ，其中一个焦点 到渐近线 （即 ）的距离为 .又 ，焦点 到其中一条 渐近线的距离为 . 故填：2. 【点睛】本小题主要考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查点到直线距离公式，属于基础题. 14.已知锐角 满足 ，则 等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】 已知 ，计算 ，继而计算 ，利用和差公式得到 得到答案. 【详解】∵锐角 满足 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，整体代换： 是解题的关键. 2 2 2 2 1x y a b − = ( ),0F c± by xa = ± 0bx ay± = ( )22 0bc a bcd bcb a ± ×= = = + ± 2 4 2b b= ⇒ = F 2 ,α β 5 10sin ,sin( )5 10 α α β= − = − β 4 π 5 10sin ,sin( )5 10 α α β= − = − cos ,cos( )α α β− tan ,tan( )α α β− tan β ,α β 5 10sin ,sin( )5 10 α α β= − = − 2 22 5 3 10cos 1 sin ,cos( ) 1 sin ( )5 10 α α α β α β= − = − = − − = sin 1 sin( ) 1tan ,tan( )cos 2 cos( ) 3 α α βα α βα α β −= = − = = −− 1 1 tan tan( ) 2 3 11 11 tan tan( ) 1 2 3 [( ( )]tan tan α α ββ α α β α α β +− −= − − = = =+ ⋅ − − ⋅ 4 πβ = 4 π ( )β α α β= − −15.已知数列 的前 项和 .若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先由 求出 ，再由 是 中的最大值，即可求出结果. 【详解】因为 ， 所以当 时， ； 当 时， 也满足上式； 当 时， ， 当 时， ， 综上， ； 因为 是 中的最大值， 所以有 且 ，解得 . 故答案为 【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法，熟记递推公式 即可，属于 基础题型. 16.设 为椭圆 : 的两个焦点． 为 上点， 的内心 I 的纵坐标 为 ，则 的余弦值为_____. { }na n 2 2 1, 4 ( 1) , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ 5a { }na m 53,5  +∞   ( )2 2 1, 4 1 , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ na 5a { }na ( )2 2 1, 4 1 , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ 2 4n≤ ≤ 1 1 2n n n na S S − −= − = 1n = 1 1 1a S= = 6n ≥ 1 2n n na S S n a−= − = − + 5n = 5 5 4 5 45a S S a= − = − 12 4 5 45 5 2 6 n n n a a n n a n − ≤ = − = − + ≥ ， ， ， 5a { }na 5 45 8a − ≥ 5 45 12a a− ≥ − + 53 5a ≥ 53,5  +∞  1n n na S S −= − 1 2,F F C 2 2 14 x y+ = M C 1 2MF F∆ 2 3− 1 2F MF∠【答案】0 【解析】 【分析】 因为 的内心 I 的纵坐标为 ，所以可知道 的内切圆的半径为 ， 又由三角形的内切圆半径 ，可得到三角形的面积 ，接着根据焦点三角形的面积 确定 ，进而求出答案. 【详解】如图， 由题意知 的内切圆的半径为 ，又由三角形的内切圆半径 ， 即 ， 又由焦点三角形的面积 ， 所以 ，所以 ，所以 【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式 ，确定 的 余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. 分别为 的内角 的对边.已知 . 1 2MF F∆ 2 3− 1 2MF F∆ 2 3− 2Sr = 周长 S 2 1 2 1tan 2  = ∠  S b F MF 1 2F MF∠ 1 2MF F∆ 2 3− 2Sr = 周长 1 (2 3)(4 2 3) (2 3)(2 3) 12S = − + = − + = 2 1 2 1 2 1 1tan tan2 2S b F MF F MF   = ∠ = ∠       1 2 1tan 12 F MF ∠ =   1 2 2F MF π∠ = 1 2cos 0F MF∠ = 2 1 2 1tan 2  = ∠  S b F MF 1 2F MF∠ , ,a b c ABC△ , ,A B C ( )sin 4sin 8sina A B A+ =（1）若 ，求 ； （2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，将 ，化角为边，即可求出 ，再利用正弦定 理即可求出 ； （2）根据 ，选择 ，所以当 的面积取得最大值时， 最大， 结合（1）中条件 ，即可求出 最大时，对应的 的值，再根据余弦定理求出边 ，进而得到 的周长． 【详解】（1）由 ，得 ， 即 . 因为 ，所以 . 由 ，得 . （2）因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立. 因为 的面积 . 所以当 时， 的面积取得最大值， 此时 ，则 ， 所以 的周长为 . 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在 考查学生的转化能力和数学运算能力． 18.设数列 满足： ， . ⑴求 ； 1, 6b A π= = sin B 3C π= ABC△ ABC△ 1sin 8B = 5 13+ ( )sin 4sin 8sina A B A+ = a sin B 3C π= in1 2 sS ab C= ABC△ ab 4 8a b+ = ab ,a b c ABC△ ( )sin 4sin 8sina A B A+ = ( )4 8a a b a+ = 4 8a b+ = 1b = 4a = 4 1 sinsin 6 B =π 1sin 8B = 4 8 2 4 4a b ab ab+ = ≥ = 4ab ≤ 4 4a b= = ABC△ 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C π= ≤ × × = 4 4a b= = ABC△ 2 2 24 1 2 4 1 cos 133c π= + − × × × = 13c = ABC△ 5 13+ { }na 2 1 2 32 1 1 1 1...3 3 3 nna a a a n−+ + + + = n∈ +N na⑵求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时， ；当 时，得到 两式相减求得 ，进而可得 ； （2）由（1）知 ，利用乘公比错位相减法，即可求得 . 【详解】（1）由题意，数列 满足： ， ， 当 时， ； 当 时， 两式相减得： ， 解得 ， 当 时上式也成立，所以 . （2）由（1）知 ， 则 所以 两式相减得： 所以 . 【点睛】本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应 用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键， 易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基 { }na n nS ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )1 3 1n nS n= − × + 1n = 1 1a = 2n ≥ ( )2 1 2 3 12 2 1 1 1... 13 3 3 nna a a a n−−+ + + + = − ( ) ( )12 1 3 , 2n n na n −= × ≥− na ( ) 12 1 3n na n −= − × nS { }na 2 1 2 32 1 1 1 1...3 3 3 nna a a a n−+ + + + = n∈ +N 1n = 1 1a = 2n ≥ ( )2 1 2 3 12 2 1 1 1... 13 3 3 nna a a a n−−+ + + + = − ( )22 1 1 1 2 13 nn a n n n− = − − = − ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )2n ≥ 1n = ( ) 12 1 3n na n −= − × ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )0 1 2 11 3 3 3 5 3 ... 2 1 3n nS n −= × + × + × + + − × ( )1 2 33 1 3 3 3 5 3 ... 2 1 3n nS n= × + × + × + + − × ( )1 2 3 12 1 2(3 3 3 ... 3 ) 2 1 3n n nS n−− = + + + + + − − × ( )0 1 2 3 11 2(3 3 3 3 ... 3 ) 2 1 3n nn−= − + + + + + + − − × 1 31 2 1 3 n−= − + × − ( )2 1 3nn− − × 1 3 1n= − + − ( )2 1 3nn− − × ( )2 2 3 2nn= − × − ( )1 3 1n nS n= − × +本计算能力等. 19.如图所示，在等腰梯形 中， ， ， ，将 三角形 沿 折起，使点 在平面 上的投影 落在 上． （1）求证：平面 平面 ； （2）若点 为 的中点，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 试题分析：（1）要证平面 平面 ，只需证 平面 ，分析条件易得 和 ； （2）由 ，只需求 即可. 试题解析： （1）证明：在等腰梯形 中，可设 ，可求出 ， ， 在 中， ，∴ ， ∵点 在平面 上的投影 落在 上， ∴ 平面 ，平面 平面 ，∴ ， 又 ， ，∴ 平面 ， 而 平面 ∴平面 平面 . （2）解：因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 因为 为 中点，三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等， 所以 , ABCD / /AD BC 2AD CD AB= = = 60ABC∠ =  ABD BD A BCD G BD ACD ⊥ ABD E AC G ADE− 3 6 ACD ⊥ ABD CD ⊥ ABD AG CD⊥ BD DC⊥ G ADE G ACD A CDG 1 1V V V2 2− − −= = A CDGV − ABCD 2AD CD AB= = = 2 3BD = 4BC = BCD 2 2 2BC BD DC= + BD DC⊥ A BCD G BD AG ⊥ BCD ABD ⊥ BCD AG CD⊥ BD DC⊥ AG BD G∩ = CD ⊥ ABD CD ⊂ ACD， ACD ⊥ ABD 2AD AB= = ABD ADB∠ = ∠ AD BC ADB CBD∠ = ∠ 60ABC∠ = ° 30ABD∠ = ° 1AG = E AC G ADE− G CDE− 1 1 2 2G ADE G ACD A CDGV V V− − −= =因为 ，所以 . 20.已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 C 上，且 ⊥ ，△F1MF2 的面积为 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， ，若直线 l 始终与圆 相切，求半径 r 的值. 【答案】（1） .（2） . 【解析】 【分析】 （1）由椭圆离心率为 ，点 M 在椭圆 C 上，且 MF2⊥F1F2，△F1MF2 的面积为 ，列出 方程组求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程． （2）设直线 l 的方程为 y＝kx+m，代入椭圆方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此 利用韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式能求出半径的 r 的值． 【详解】(1)设 ，由题意得 ∴ ， 故椭圆 C 的方程为 . (2)当直线 l 的斜率存在时，设其直线方程为 ，设 A( ， )，B( ， )， 联立方程组 ，整理得 ， 由方程的判别式△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0， 1 1 31 2 33 2 3A CDGV − = × × × × = 1 3 2 6G ADE A CDGV V− −= = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = ＞ ＞ 1F 2F 3 2 M 2MF 1F 2F 3 2 0OA OB⋅ =  2 2 2 ( 0)x y r r+ = ＞ 2 2 14 x y+ = 2 5 5r = 3 2 3 2 1 2 2F F c= 2 3 2 1 322 2 c a bc a  =  × × = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = y kx m= + 1x 1y 2x 2y 2 24 4 y kx m x y = +  + = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =得 (1) ， ，由∠AOB=90°，得 即 而 ，则 ∴ 整理得 把 代入(1)得 . 而 ，∴ ，显然满足 ， 直线 l 始终与圆 相切，得圆心(0，0)到直线 l 的距离 d=r， 则 ， 由 ，得 ∵ ，∴ . 当直线 l 的斜率不存在时，若直线 l 与圆 相切，此时直线 l 的方程为 . ∴ 综上所述： . 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意椭圆性质、韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式的合理运用． 21.设函数 ， . （1）设函数 ，若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值 2 24 2 0k m− + ＞ 1 2 2 8 4 1 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −= + 0OA OB⋅ =  1 2 1 2 0x x y y+ = 1 2 1 1 1 1( )( )y y k x m k x m= + + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( ) 0x x y y k x x mk x x m+ = + + + + = 2 2 2 2 2 4 4 8(1 ) 04 1 4 1 m kmk mk mk k − −+ + ⋅ + =+ + 2 25 4 4 0m k− − = 2 24 5 4k m= − 2 3 4m ＞ 2 25 4 4 0m k− − ≥ 2 4 5m ≥ 2 3 4m ＞ 2 2 2x y r+ = 2 2 2 21 mr d k = = + 2 24 4 5 5m k= + 2 4 5r = 0r＞ 2 5 5r = 2 2 4 5x y+ = 2 5 5x = ± 2 5 5r = 2 5 5r = ( ) ln ( )f x a x a R= ∈ ( ) cosg x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= + 3( , )2x π π∈ ( ) 0h x ≥ a范围； （2）设 ，方程 在区间 上有实数解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求得函数的导数 ，分类讨论得到函数的单调性，列出不等式，即可求 解； (2)由题意，设函数 ，求导得 ，分类讨论得到 函数的单调性，结合题意，得出不等式组，即可求解。 【详解】（1）由题意，函数 ，所以 . ①当 时，因为 ，所以 ，故 ，不符合题意； ②当 时，因 ，所以 ，故 在 上单调递增. 欲使 对任意的 都成立， 则需 ，所以 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . (2)设函数 ，则函数 的定义域是 ， . ①当 时， 的单调增区间是 ，单调减区间是 . 方程 在区间 上有实数解，等价于函数 在 上有零点， 其必要条件是 ，即 ，所以 . 而 ，所以 ， ②若 ， 在 上是减函数， ， 在 上没有零点； 为 0a > 2( ) 0af x x ax− + = (1, )e a 1 lna π≥ ( 5 1)(1, )2 e− ' ( ) sinah x xx = − 2( ) ( )x af x x axϕ = − + ' ( )( 2 )( ) a x a xx x ϕ − += ( ) ( ) ( ) ln cosh x f x g x a x x= + = + ' ( ) sinah x xx = − 0a ≤ 3( , )2x π π∈ ln 0,cos 0x x> < ( ) 0h x < 0a > 3( , )2x π π∈ ' ( ) 0h x > ( )h x 3( , )2 π π ( ) 0h x ≥ 3( , )2x π π∈ ( ) 0h π ≥ ln cos 0a π π+ ≥ 1 lna π≥ a 1 lna π≥ 2( ) ( )x af x x axϕ = − + ( )xϕ (0, )+∞ 2 2 ' 2 ( )( 2 )( ) a ax x a x a xx x x ϕ + − − += = 0a > ( )xϕ (0, )a ( , )a +∞ 2( ) 0af x x ax− + = (1, )e ( )xϕ (1, )e ( ) 0aϕ ≥ 2 ln 0a a ≥ 1a ≥ (1) 1aϕ = − (1) 0ϕ ≥ 1a = ( )xϕ (1, )e (1) 0ϕ = ( )xϕ (1, )e③若 ， ， 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 在 上有零点等价于 ，即 ，解得 综上所述，实数的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题与有解问题的求解，着重 考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构 造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出 参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 22.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极 坐标方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经 过点 ，且倾斜角为 . （1）写出曲线 的直角坐标方程以及点 的直角坐标； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值. 【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ； 点的直角坐标为 （2） 【解析】 【分析】 （1）由极坐标与直角坐标的互化可得 的直角坐标方程为 ， 点的直角坐标为 ； （2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中 的几何意义 ，再求解即可. 【详解】解：（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， 1a > (1) 0ϕ > ( )xϕ (1, )a ( , )a +∞ ( )xϕ (1, )e ( ) 0 1 e a e ϕ 3 3 6 3x x− ≤ ⇒ ≤ ( ) 6f x ≤ [ ]1,1− ( ) 4 2 1 2 8 9f x x x x+ − = + + − ≥ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 8 9a a∴ − > ( 9)( 1) 0a a− + > 1a∴ < − 9a > a∴ ( ), 1 (9, )−∞ − +∞