高三年级 10 月 7-8 日月考 数学试卷（理科）
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出集合 A，B，由此利用交集定义能求出 A∩B．
【详解】∵集合 ＝ ，
＝{1，0，-1，-2，… }，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件 ，属于易错题．
2.命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.
【详解】命题的否定为： ， ，故选 D.
【点睛】全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的
一般形式是 ， ，其否定为 .
{ } { }1 0 , 1A x R x B x Z x= ∈ + > = ∈ ≤ A B =
{ }0 1x x≤ ≤ { }1 1x x− < ≤ { }0,1 { }1
{ }1 0A x R x= ∈ + > { }1A x x= > −
{ }1B x Z x= ∈ ≤
{ }0,1A B∩ =
x Z∈
4, 0x R x x∀ ∈ + ≥
4, 0x R x x∀ ∈ + < 4, 0x R x x∀ ∈ + ≤
4
0 0 0, 0x R x x∃ ∈ + ≥ 4
0 0 0, 0x R x x∃ ∈ + <
x R∃ ∈ 4 0x x+ <
x M∀ ∈ ( )p x ( ),x M p x∃ ∈ ¬
x M∃ ∈ ( )p x ( ),x M p x∀ ∈ ¬3.设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由指数函数的性质得 ，由对数函数的性质得 ，根据正切函数的性质得 ，
即可求解，得到答案．
【 详 解 】 由 指 数 函 数 的 性 质 ， 可 得 ， 由 对 数 函 数 的 性 质 可 得
，
根据正切函数的性质，可得 ，所以 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记
指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到 的取值范围是解答的关键，着重
考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4.若 cos（ ）= ，则 sin2θ=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式，化简得 ，即可求解.
【详解】因为 ，
又由 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和
余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
0.52a = 0.5log 0.6b = 4tan 5c
π=
a b c< < c b a< <
b c a< < c a b< <
1a > ( )0,1b∈ 0c <
0.52 1a = >
( )0.5log 0.6 0,1b = ∈
4tan 05c
π= < c b a< <
, ,a b c
π θ4
− 1
2
1
2
− 3
2
− 1
2
3
2
2sin 2 cos[2( )] 2cos ( ) 14 4
π πθ θ θ= − = − −
1cos( )4 2
π θ− =
2 21 1sin 2 cos( 2 ) cos[2( )] 2cos ( ) 1 2 ( ) 12 4 4 2 2
π π πθ θ θ θ= − = − = − − = × − = −题.
5.设 是两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“ ”是
“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.
【详解】如果 ， ，那么由 则可得到 即可得到 ；反之
由 ， ， ，不能得到 ，故，如果 ， ，那么“ ”
是“ ”的
充分不必要条件.故选 A.
【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题.
6.函数 图象的大致形状是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再求 ， 利用排除法可得解.
,m n a β m α⊂ / /a β n β⊥
m n⊥
m α⊂ / /a β n β⊥ n α⊥ m n⊥
m n⊥ m α⊂ / /a β n β⊥ m α⊂ / /a β n β⊥
m n⊥
2( ) ( 1)cos1 xf x xe
= −+
( )1f 2f
π
【 详 解 】 由 题 意 得 ， ， 所 以
，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项 A，C；
令 ，则 ， 。故选 B．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.．
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用两角差的正余弦公式展开求得 tanα 的值，再利用二倍角公式求得 的值．
【详解】由题 ，则
故
故选：A
【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属
于基础题．
8.设函数 在 上可导，导函数为 图像如图所示，则()
( ) 2 11 cos cos1 e 1 e
x
x x
ef x x x
− = − = ⋅ + +
( ) ( )1 cos1 e
x
x
ef x x
−
−
−− = ⋅ −+
( )1 cos1 e
x
x
e x f x
−= ⋅ = −+
( )f x
1x = ( ) 1
2 11 1 cos1 cos1 01 e 1 e
ef
− = − = ( ) 0f x′ < ( )f x
2 1x− < < ( 1) ( ) 0x f x′− < ( ) 0f x′ > ( )f x
1 2x< < ( 1) ( ) 0x f x′− > ( ) 0f x′ > ( )f x
2x > ( 1) ( ) 0x f x′− < ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (2)f ( 2)f −
D ABC− O DC ⊥ ABC 60ACB∠ = °
3 2AB = 2 3DC = O
24π 30π 36π 42π设底面 外接圆的半径为 ，且圆心为 ，则可根据条件得到 ，利用
正弦定理可求 ，从而求出 后可求球的表面积.
【详解】如图，设底面 外接圆 半径为 ，且圆心为 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 四点共面.
取 的中点为 ，连接 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，故四边形 为平行四边形，故 ，
，
在 中， 即 ，
所以 ，所以球的表面积为 ，选 C.
【点睛】本题考查三棱锥外接球半径的求法，注意利用球心的性质确定球心的位置.另外，在
计算线段的长度时，注意利用解三角形的相关知识来帮助求解.
10.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范
围为( )
的
ABC r 1O
2
2
2
DCR r = +
r R
ABC r 1O 1OO ⊥ ABC
DC ⊥ ABC 1OO DC 1, , ,D C O O
CD E OE OE DC⊥
DC ⊥ ABC 1CO ⊂ ABC 1DC CO⊥
1OE CO 1ECO O 1
1 32OO CD= =
2 2 2
1 1 1 3R CO OO CO= + = +
ABC∆ 1
3 2 3 22 2 6sin 3
2
CO ACB
= = =∠ 1 6CO =
3R = 24 3 36S π π= × =
( ) ( )2
1
2
log 4 5f x x x= − + + ( )3 2, 2m m− + mA. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用复合函数同增异减法得出函数 的单调递增区间为 ，
于此得出 ，然后列不等式组可解出实数 的取值范围.
【详解】由 ，即 ，解得 .
二次函数 的对称轴为 .
由复合函数单调性可得函数 的单调递增区间为 ．
要使函数 在区间 内单调递增，
则 ，即 ，解得 ，故选：C.
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性与参数，解本题的关键在于将区间转化为函数单
调区间的子集，利用集合的包含关系求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11.定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，设函
数 ，则函数 与 的图像所有交点的横坐标之和为（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数．
【详解】∵f（x+1）＝﹣f（x），
4 ,33
4 ,23
4 ,23
4 ,3
+∞
( ) ( )2
1
2
log 4 5f x x x= − + + ( )2,5
( ) ( )3 2, 2 2,5m m− + ⊆ m
2 4 5 0x x− + + > 2 4 5 0x x− − < 1 5x− < <
2 4 5y x x= − + + 2x =
( ) ( )2
1
2
log 4 5f x x x= − + + ( )2,5
( ) ( )2
1
2
log 4 5f x x x= − + + ( )3 2, 2m m− +
( ) ( )3 2, 2 2,5m m− + ⊆
3 2 2
2 5
3 2 2
m
m
m m
− ≥
+ ≤
− < +
4 23 m≤ <
R ( )f x ( 1) ( )f x f x+ = − [ ]0,1x∈ ( ) 2 1f x x= − +
11( ) ( 1 3)2
x
g x x
− = − ≤ ≤
( )f x ( )g x∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
∴f（x）的周期为 2．
∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），
故 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称．
又 g（x）＝（ ）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线 x＝1 对称，
作出 f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有 4 个交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数
与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．
12.已知函数 ( 为自然对数的底数)， .若存在实
数 ，使得 ，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
解方程 求得 ，结合 求得 的取值范围 .将 转化为
直线 和 在区间 上有交点的问题来求得 的最大值.
【详解】由 得 ，注意到 在 上为增
1
2
( ) 2
x e ef x e x−= + − e ( ) ln 4g x x ax ea= − − +
1 2,x x 1 2( ) ( ) 12
ef x g x− = = 2
1
1 | |x ex
≤ ≤ a
5
2e 2
5
e e+
2
e
( )1 12
ef x − = 1x 2
1
1 | |x ex
≤ ≤
2x 2,e e ( )2 1g x =
( ) 3y a x e= + − lny x= 2,e e a
( )1 12
ef x − = 1
1 1 0x ee x e− + − − = ( ) 1x eh x e x e−= + − − R函 数 且 ， 所 以 . 由 于 的 定 义 域 为 ， 所 以 由 得
. 所 以 由 得 ， 画 出 和
的 图 像 如 下 图 所 示 ， 其 中 由 图 可 知 的 最 大 值 即 为
.故选 C.
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查指数方程和对数方程的解法，考查化归与转化
的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）
13.函数 的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式
组求得函数的定义域.
( ) 0h e = 1x e= ( )g x ( )0, ∞+ 2
1
1 | |x ex
≤ ≤
2
2e x e≤ ≤ ( )2 1g x = ( )2 2ln 3x a x e= + − ( )2lny x e x e= ≤ ≤
( ) 3y a x e= + − ( ) ( )2,1 , ,2A e B e a
( )
( )
1 3 2
ACk e e e
− −= =− −
1 ln( ) 2 2x
xf x
−= −
( )0,1 (1, ]e【详解】依题意得 ，得 ，即函数的定义为 .
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一
个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于
零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题.
14.若 ，则实数 的值为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意找出 的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算，求出实数 的
值
【详解】由于 ；
所以 ，即 ；
故答案为：1
【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题，
15.设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在
上有两个不同的零点，则称 和 在 上是“关联函数”，区间 称
为“关联区间”.若 与 在 上是“关联函数”，则实数 的
取值范围是_________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
0
1 0
2 2 0x
x
lnx
>
− ≥
− ≠
0
0
1
x
x e
x
>
< ≤
≠
( ) ( ]0,1 1,e∪
2
1
1( 2 ) 3 ln 2mx dxx
+ = +∫ m
1 2mxx
+ m
2
2 2
1
1
1( 2 ) (ln ) | (ln 2 4 ) (ln1 ) ln 2 3mx dx x mx m m mx
+ = + = + − + = +∫
3 ln 2 3 ln 2m + = + 1m =
( )f x ( )g x [ ],a b ( ) ( )y f x g x= −
[ ],x a b∈ ( )f x ( )g x [ ],a b [ ],a b
( ) lnf x x x= − ( ) 2g x mx
= − + [ ]1,3 m
113 ln 2, ln33
− − 令 ， 可 得 出 ， 将 问 题 转 化 为 直 线 与 函 数
在区间 上的图象有两个交点，求实数 的取值范围，然后利用导数
分析函数 的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数 的取值范围.
【详解】令 ，得 ，得 .
问题等价于直线 与曲线 在区间 上的图象有两个交点，求实数
的取值范围.
，令 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，且 .
又 ， ，且 .
因此，当 时，直线 与函数 在区间 上的
图象有两个交点，故答案为： .
【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用
参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.
16.已知四边形 为矩形, , 为 的中点,将 沿 折起,得到
四棱锥 ,设 的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
① 平面 ，且 的长度为定值 ；
②三棱锥 最大体积为 ；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得 .
其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】
的
( ) ( ) 0f x g x− = 2lnm x x x
= − + y m=
( ) 2lnh x x x x
= − + [ ]1,3 m
( )y h x= m
( ) ( ) 0f x g x− = 2ln 0x x mx
− + − = 2lnm x x x
= − +
y m= ( ) 2lnh x x x x
= − + [ ]1,3
m
( ) 2
2 2
1 2 21 x xh x x x x
− −′ = − − = ( ) 0h x′ = 2x =
1 2x< < ( ) 0h x′ < 2 3x< < ( ) 0h x′ >
( )y h x= 2x = ( ) ( )min 2 3 ln 2f x f= = −
( )1 3f = ( ) 113 ln33f = − ( ) ( )1 3f f>
113 ln 2 ln33m− < ≤ − y m= ( ) 2lnh x x x x
= − + [ ]1,3
113 ln 2, ln33
− −
ABCD 2 4AB AD= = M AB ADM∆ DM
1A DMBC− 1AC N
/ /BN 1A DM BN 5
N DMC− 2 2
3
1DM AC⊥【分析】
取 的中点 ，连接 、 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，可
判断出命题①的正误；由 为 的中点，可知三棱锥 的体积为三棱锥
的一半，并由平面 平面 ，得出三棱锥 体积的最大值，
可判断出命题②的正误；取 的中点 ，连接 ，由 ，结合 得
出 平面 ，推出 得出矛盾，可判断出命题③的正误.
【详解】如下图所示：
对于命题①，取 的中点 ，连接 、 ，则 ， ，
，由勾股定理得 ，
易知 ，且 ， 、 分别为 、 的中点，所以，
，
四边形 为平行四边形， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，命题①正确；
对于命题②，由 为 的中点，可知三棱锥 的体积为三棱锥 的一半，
当平面 平面 时，三棱锥 体积取最大值，
取 的中点 ，则 ，且 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
AD E EM EN BMEN //BN EM
N 1AC N DMC−
1A DMC− 1A BM ⊥ BCDM 1A DMC−
DM F AF 1A E DM⊥ 1AC DM⊥
DM ⊥ 1ACF DM CF⊥
1A D E EM EN 1 1 2A D A M= = 1 1A E =
1 90MA E∠ = 2 2
1 1 5EM A E A M= + =
//BM CD 1
2BM CD= E N 1A D 1AC
1// 2EN CD
∴ BMEN 5BN EM= = //BN EM
BN ⊄ 1A DM EM ⊂ 1A DM //BN∴ 1A DM
N 1AC N DMC− 1A DMC−
1A BM ⊥ BCDM 1A DMC−
DM F 1A F DM⊥ 1
1 1 2 2 22 2A F DM= = × =
1A DM ⊥ BCDM 1A DM ∩ BCDM DM= 1A F DM⊥
1A F ⊂ 1A DM 1A F∴ ⊥ BCDM的面积为 ，
所以，三棱锥 的体积的最大值为 ，
则三棱锥 的体积的最大值为 ，命题②正确；
对于命题③， ， 为 的中点，所以， ，
若 ，且 ， 平面 ，
由于 平面 ， ，事实上，易得 ， ，
，由勾股定理可得 ，这与 矛盾，命题③错误.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命
题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来
计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.
三、解答题（共 6 小题，共 70 分）
17.设命题 p：函数 在区间 单调递增，命题 使得
.如果命题“p 或 q”是真命题，命题“p 且 q”是假命题，求实数 a 的
取值范围.
【答案】 或
【解析】
【分析】
对于命题 ，利用求得函数 的导数，利用分离常数法求得 的取值范围.对于命题 ，利
用判别式为非负数，求得 的取值范围.由于 或 真， 且 假，故 一真一假，分别求
得 真 假和 假 真时， 的取值范围，然后取并集求得题目所求 的取值范围.
【详解】解：当 P 为真命题： ， 在[2,3]恒成立，即 ，
∵ 为单调增函数，∴ ，即 ；
DMC∆ 1 1 4 2 42 2DMCS CD BC∆ = ⋅ = × × =
1A DMC−
1
1 1 4 24 23 3 3DMCS A F∆ ⋅ = × × =
N DMC− 2 2
3
1 1A D A M= F DM 1A F DM⊥
1AC DM⊥ 1 1 1AC A F A∩ = DM∴ ⊥ 1ACF
CF ⊂ 1ACF CF DM∴ ⊥ 2 2CM DM= = 4CD =
2 2 2CM DM CD∴ + = CM DM⊥ CF DM⊥
21( ) 2ln2f x x x ax= − − [ ]2,3 0 ,q x R∃ ∈：
2
0 02 8 6 0x ax a+ − − ≤
4 2a− −＜ ＜ 1a >
p ( )f x a q
a p q p q ,p q
p q p q a a
( ) 2f x x ax
= − −′ ( )' 0f x ≥ 2a x x
≤ −
2x x
− min
2( ) 1a x x
≤ − = 1a ≤当 q 真命题时，即 ，∴ 或 ；
由题意 p，q 一真一假，即当 p 真 q 假： ；当 q 真 p 假： ，
综上所述， 或 .
【点睛】本小题主要考查还有逻辑连接词真假性求参数的取值范围，考查利用导数求解单调
性的问题，属于中档题.
18.在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
它的终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)若角 满足 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由三角函数的定义，求得 的值,再利用两角和的正弦公式，即可求解．
（2）利用三角函数的基本关系式，求得 ,又根据 ，得到
，代入即可求解，得到答案．
【详解】（1）由题意，角 的终边经过点 ,则
由三角函数的定义，可得 ,
所以 .
（2）因为 ，所以 ,
为 ( )24 4 8 6 0a a∆ = + + ≥ 4a ≤ − 2a ≥ −
4 2a− −＜ ＜ 1a >
4 2a− −＜ ＜ 1a >
xOy α x
3 4,5 5P − −
sin 3
πα +
β 5sin( ) 13
α β+ = cos β
4 3 3sin 3 10
πα + + = −
56cos 65
β = − 16cos 65
β =
sin ,cosα α
12cos( ) 13
α β+ = ± ( )β α β α= + −
cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + +
α 3 4,5 5P − −
2 23 4 15 5OP = − + − =
4 3sin ,cos5 5
α α= − = −
1 3 1 4 3 3 4 3 3sin sin cos3 2 2 2 5 2 5 10
πα α α + + = + = × − + × − = −
5sin( ) 13
α β+ =
2
2 5 12cos( ) 1 sin( ) 1 13 13
α β α β + = ± − + = ± − = ± 又因为 ，所以
当 时， ；
当 时， .
综上所述： 或 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义，以及
三角函数恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
于基础题．
19.如图，已知四棱锥中，四边形 为矩形， ， ，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 BC 平面 SDC，即可证得 AD 平面 SDC，即可证得 SC AD，利用 SC2+SD2=DC2
证得 SC SD，问题得证。
（2）以点 O 为原点，建立坐标系如图，求得 S(0,0, ),C(0， ,0), A(2，- ,0),B(2，
,0)，利用 即可求得 E(2, ,0)，求得 ，
，利用空间向量夹角公式计算即可得解。
【详解】（1）证明： BC SD ，BC CD
则 BC 平面 SDC 又
( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + +
12cos( ) 13
α β+ = 56cos 65
β = −
12cos( ) 13
α β+ = − 16cos 65
β =
56cos 65
β = − 16cos 65
β =
ABCD 2 2AB = 2BC SC SD= = =
BC SD⊥
SC ⊥ SAD
1
2AE EB= SEC SBC
2 13
13
⊥ ⊥ ⊥
⊥
2 2 2
2
1
2AE EB= 2
3
− SEC平面 的法向量为 =(2 2,3,3)n
SBC平面 的法向量为 =(0,1,1)m
⊥ ⊥
⊥ / /BC AD则 AD 平面 SDC， 平面 SDC
SC AD
又在△SDC 中，SC=SD=2, DC=AB ，故 SC2+SD2=DC2
则 SC SD ，又
所以 SC 平面 SAD
（2）解：作 SO CD 于 O，因为 BC 平面 SDC,
所以平面 ABCD 平面 SDC，故 SO 平面 ABCD
以点 O 为原点，建立坐标系如图.
则 S(0,0, ),C(0， ,0), A(2，- ,0),B(2， ,0)
设 E(2,y,0),因为
所以 即 E((2, ,0)
令 ，则 ，
，令 ，则 ，
⊥ SC ⊂
⊥
=2 2
⊥ SD AD D=
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
2 2 2 2
1
2AE EB=
1 22 ( 2 ),2 3y y y+ = − ∴ = − 2
3
−
4 2=(0, 2,- 2), (2,- ,0), =(2,0,0)3SC CE CB=
=( , , ), =( ,b,c)SEC n x y z SBC m a 设平面 的法向量为 平面 的法向量为
2 2 =0· =0 ,4 2· =0 2 =03
y zSC n
CE n x y
− ∴ ⇒
−
3z = 3y = 2 3x =
=(2 2,3,3)n∴
· =0
· =0
SC m
CB m
∴ ⇒
2 2 0
2 0
b c
a
− = =
1b = 1c = 0a =
=(0,1,1)m∴ 所以所求二面角的正弦值为
【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，还考查了面面垂直的性质及转化能力，考查空间
思维能力及空间向量数乘的坐标运算，还考查了利用空间向量求二面角的正弦值，考查计算
能力，属于中档题。
20.已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 的图象总在 的图象下方(其中 为 的导函数)，求 的取值范
围．
【答案】（1）增区间 ，减区间 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时，利用 的导数求得函数的单调区间.
（2）原命题等价于 恒成立，分离常数得 恒成立，
利用导数求得 的最大值为 ，即 .
【详解】（1）当 时， ，故函数的递增区间为
，减区间为 .
（2）由题意得 恒成立，即 恒成立.令
，则 令 ，则
6 3 13cos< , >= = = 13| || | 18 8 2
m nm n
m n
∴
+
2 13
13
( ) ( ) ( )2 21= 2 1 ln , ln2f x x x a x g x x− + + =
4a = − ( )f x
( )g x ( )f x′ ( )f x′ ( )f x a
( )3,+∞ ( )0,3 0a >
4a = − ( )f x
212 lnax xx
+− + > 2 21 ln 2a x x x x+ > − +
2 2ln 2x x x x− + 1 1 1, 0a a+ > >
4a = − ( ) ( )23 3 32 0x xf x x xx x
− −= −′ − = >
( )3,+∞ ( )0,3
212 lnax xx
+− + > 2 21 ln 2a x x x x+ > − +
( ) 2 2ln 2h x x x x x= − + ( ) 2ln 2ln 2 2h x x x x= −′ + + ( ) ( )t x h x= ′，令 ，则 ，当 时， ，
递增；当 时， ， 递减，所以 ，所以 ，
所以 在 上递减， ，所以当 时， ， 递增，当
时， ， 递减.所以 ，故 .
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，
考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
21.在四棱锥 的底面是菱形， 底面 ， ， 分别是 的中点，
.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（III）在 边上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ，若存在，确定点
的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） ； （Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得 平面 ，据此证明题中 结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线 的方向向量与平面 的一个法向量，然后求解线
面角的正弦值即可；
的
( ) ( )2 ln +1x xt x x
−=′ ( ) ( )x h xϕ = ′ ( ) 1 xx x
ϕ′ −= ( )0,1x∈ ( ) 0xϕ′ >
( )xϕ ( )1,x∈ +∞ ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ ( ) ( )1 0xϕ ϕ≤ = ( ) 0t x′ ≤
( )h x′ ( )0, ∞+ ( )1 0h′ = ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( ) ( )max 1 1h x h= = 0a >
P ABCD— PO ⊥ ABCD O E ,AD AB
6, 5, 60AB AP BAD= = ∠ = °
AC PE⊥
PB POE
DC F BF PA 3 3
10 F
3 129
86
AC ⊥ POE
PB POE(Ⅲ)假设满足题意的点 存在，设 ，由直线 与 的方向向量得到
关于 的方程，解方程即可确定点 F 的位置.
【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得： ，结合三角形中位线的性质可知： ，故
，
底面 ， 底面 ，故 ，
且 ，故 平面 ，
平面 ，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知 ， ， ，
以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则： ，
设平面 的一个法向量为 ,
则： ，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
而 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
F (0 1)DF DCλ λ= < ( )f x
( )f x ( )f e e= −
( ) 2 lnf x x mx x< − −
2ln 2 lnx x x x mx x− < − −
0x >
lnln 2 xx x m x
− < − −
( ) lnF x x x= − ( ) 1' 1F x x
= −
( )0,1x∈ ( )' 0F x > ( )F x
( )1,x∈ +∞ ( )' 0F x < ( )F x
1x = ( )F x ( )1 1F = −
( ) ln2 xG x m x
= − − ( ) 2
1 ln' xG x x
−= −
( )0,x e∈ ( )' 0G x > ( )g x
( ),x e∈ +∞ ( )' 0G x > ( )G x
( )G x ( ) 12G e m e
= − −
1 2m< < 1 12 1m e e
− − > − > −所以 ，
所以 成立.
【点睛】利用导函数解不等式，
（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解；
（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题。
( ) ( )min maxG x F x>
( ) 2 lnf x x mx x< − −
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