张家口市 2019-2020 学年第一学期阶段测试卷
高三数学（文科）
考试说明：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.
2.考试时因为 120 分钟，满分 150 分.
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，用图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合 ，阴影部分表示 ，根据补集的定义，即可得结果.
【详解】 ， ，
，
图中阴影部分所表示的集合 .
故选:D
【点睛】本题考查集合的韦恩图，以及集合间的运算，属于基础题.
2.已知向量 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
{ }2| 9A x N x= ∈ ≤ {1,2,4,8}B =
{ 3, 2, 1,3,4,8}− − − { 3, 2, 1,0,3,4,8}− − −
{3,4,8} {0,3,4,8}
A ( )A BC A B
{ }2| 9 {0,1,2,3}A x N x= ∈ ≤ = {1,2,4,8}B =
{ }0,1,2,3,4, , {1,28 }A B A B∴ = =
( ) {0,3,4,8}A BC A B =
( )1, ,a x= ( )2,4b = − ( )/ /a a b− x =
2− 1− 3 1先求出 的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出 .
【详解】 由 得，
解得 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示．
3.设数列 满足 且 ，则 （ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得 是等差数列，求出通项，即可得出结果.
【详解】 ，
数列 是公差为 的等差数列， ，
.
故选:A
【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，属于基础题.
4.已知 ，对任意 ， ，都有
，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得 在 上单调递减， 在区间 都是减函数，且左段的
最低点不低于右段的最高点,得到关于 a 的不等式组，即可求出 a 的取值范围.
a b− x
(3, 4)a b x− = −
( )/ /a a b− 1 ( 4) 3 0x x× − − =
2x = −
{ }na ( )*
1
5 3
5
n
n
aa n+
+= ∈N 2 1a = 17a =
{ }na
1 1
5 3 3 3,5 5 5
n
n n n n
aa a a a+ +
+= = + =−
∴ { }na 3
5 2 1a =
17
3 1 3 1, 17 105 5 5 5na n a∴ = − ∴ = × − =
2 4 2, 1( )
log , 1a
x ax xf x
x x
− + 0y >
2 2 2log log log 1x y xy+ = = 2xy = 0x > 0y >
2 2 2 4x y xy∴ + ≥ = 2x y=
D
( )f x R 3
1log 10a f = −
( )2log 9.1b f=
( )0.82c f=
a b c> > b a c> > c b a> >
c a b> >
( )3lo 10ga f= ( )f x R
, ,a b c
( )f x
3 3 3
1 1log ( log ) (log1 11 0 0)0a f f f = − = − =
3 2
0.8 2 log 10 3 log 9 12 .< < < <
( )f x R
( )0.8
3 22 (log 10) (log 9.1)f f f> >
c a b> >【点睛】本题考查用函数 性质比较数的大小，属于基础题.
10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，
且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有
一如图所示的“堑堵” ， ，若 ，当“阳马”
体积最大时，则“堑堵” 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件可得 ， ，由 ，勾股定理
结合基本不等式求出面积最大时 的值，即可求出表面积.
【详解】 ， ，
平面 ，
，
，
，
当且仅当 时等号成立，
的
1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 2 2AA BA ==
1 1B A ACC− 1 1 1ABC A B C−
6 8 2+ 8 8 2+ 12 8 2+
12 6 2+
1 1BC A ACC⊥ 平面
1 1
1
3 AB ACC BCA BCV S∆− = × 2 2AB =
,AC BC
11 ,CC ABC CC BC∴ ⊥⊥ 平面 AC BC⊥
1 1,AC CC C AC CC= ⊂ 、 1 1A ACC
1 1BC A ACC∴ ⊥ 平面
1 11 1 1
1 1 2 2
3 3 3A ACCB A ACC BC S BC CC AC BCV AC− = × = × × = ×矩形
2 2 2, 8 2AC BC AB AC BC AC BC⊥ ∴ = = + ≥ ×
4AC BC∴ × ≤
1 1
8 2
3B A ACCV −∴ ≤
2AC BC= =此时 的表面积为
故选:C
【点睛】本题考查多面体的体积、表面积，考查线面垂直和基本不等式，属于中档题.
11.关于函数 有下述四个结论：① 是偶函数；②最小正周期为
；③ 在区间 单调递减；④ 的值域为 .其中所有正确结论的编号是
（ ）
A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义可判断①正确，作出图像判断②④错误， 化简 可判断③正
确.
【详解】 ，
故①正确；
作出函数的图像如下图所示，②④不正确；
， 为单调递减，故③正确.
故选:B
【点睛】本题考查函数的性质，涉及奇偶性、周期性、单调性、值域，考查数形结合思想，
是中档题.
12.已知函数 ， ，若 ，则 的最大值是（ ）
1 1 1ABC A B C−
12 2 2 (2 2 2 2) 2 2 12 8 22
× × × + + + × = +
( ) sin | | | sin |f x x x= + ( )f x
2π ( )f x ,2
π π
( )f x [ 2,2]−
,2x
π π ∈ ( )f x
( ) sin | | | sin( ) | sin | | | sin | ( )f x x x x x f x− = − + − = + =
,2x
π π ∈ ( ) 2sinf x x=
( ) xf x e= ( )g x x= ( ) ( )f m g n= m n−A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令 用 表示，转化为求关于 的函数最大值，用求导方法，即可得出结
果.
【详解】令 ，
则 ，令 ，
，令 （舍去），
，
当 时， 取得极大值，亦为最大值，
所以 最大值为 ，
最大值为 .
故选:A
【点睛】本题考查用导数的方法求函数的最值，关键在于把所求的量转化为函数关系，属于
中档题.
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分.请把正确答案填写在答题纸
相应的位置上.
13.已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】
2 1ln 2 2
− 1 1ln 2 4
− 1 1 ln 22 2
+ 1e −
( ) ( ) , ,f m g n t m n= = t t
2( ) ( ) , , ln ,mf m g n t e t m t n t n t= = = ∴ = = ∴ =
2lnm n t t− = − 2( ) ln , 0h t t t t= − >
21 1 2( ) 2 th t tt t
−′ = − = 2 2( ) 0, ,2 2h t t t′ = = = −或
2 2(0, ), ( ) 0, ( , ), ( ) 02 2t h t t h t′ ′∈ > ∈ +∞ <
2
2t = ( )h t
( )h t 2 1ln 2 2
−
m n− 2 1ln 2 2
−
( ) ( )2 4 C 1 3AB A= = ， ， ， AB BC⋅ =
6−【分析】
利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．
【详解】由题意，向量 ，
则 ， ，
所以 ．
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中
熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
基础题．
14.已知 x、y 满足约束条件 ，则 的最小值为________.
【答案】－3
【解析】
【分析】
作出可行域，目标函数过 点时，取得最小值.
【详解】作出可行域如图表示：
目标函数 ，化为 ，
当 过点 时， 取得最大值，
则 取得最小值，
由 ，解得 ，即 ，
( ) ( )2 4 C 1 3AB A= = ， ， ，
2 1 4 3 14AB AC⋅ = × + × = 2 2 22 4 20AB = + =
( ) 2
14 20 6AB BC AB AC AB AB AC AB⋅ = ⋅ − = ⋅ − = − = −
6−
1 0
1 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥ −
2z x y= −
A
2z x y= − 2y x z= −
2y x z= − A z−
z
1
1
y x
y
= +
= −
2
1
x
y
= −
= − ( 2, 1)A − −的最小值为 .
故答案为:
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.
15.大学生甲某利用业余时间在网上开了一家文具店，为积累客户，甲某决定开展一次促销活
动：每个订单总价达到 100 元，客户就少付 x 元.已知根据网站协议，每笔订单客户网上支付
成功后，店家会得到支付款的 80%.现为保证甲某每笔订单得到的支付款金额不低于促销前总
价的七折，则 x 的最大值为________.
【答案】12.5
【解析】
【分析】
求出每笔订单得到 支付款金额，即可列出不等式.
【详解】依题意，甲某每笔订单得到的支付款金额为 ，
，解得 .
所以 x 最大值为 12.5.
故答案为:12.5
【点睛】本题考查利用一元一次不等式解决实际问题，读懂题目意思，找到问题中的不等量
关系是解题的关键，属于基础题.
16.在四面体 中， 与 都是边长为 2 的等边三角形，且平面 平面
，则该四面体外接球的体积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.
【详解】取 的外心为 ，设 为球心，连接 ，则 平面 ，取 的
中点 ，连接 ， ，过 做 于点 ，易知四边形 为矩形，连
接 ， ，设 ， .连接 ，则 ， ， 三点共线，易知
的
的
2z x y∴ = − 3−
3−
(100 ) 0.8x− ×
(100 ) 0.8 100 0.7,0.8 10x x− × ≤ × ≤ 0 12.5x< ≤
ABCD ABD∆ BDC∆ ABD ⊥
BDC
20 15
27
π
BDC∆ 1O O 1OO 1OO ⊥ BDC BD
M AM 1O M O OG AM⊥ G 1OO MG
OA OC OA R= 1OO MG h= = MC 1O M C， 所 以 ， . 在 和 中 ，
， ， 即 ，
，所以 ， ，得 .所以 .
【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确
定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径
是其对角线的一半.
三、解答题：本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，其他每题 12 分，共计 70 分.
17.已知等差数列 前 n 项和为 ， ，且 ， ， 构成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的的 n 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据 与 的关系，求出 ，由已知条件求出 ，进而求出公差，即可求出数
列 的通项公式；
（4）求出 的通项公式，证其为等比数列，按等比数列的前 n 项和公式，即可求出结论.
【详解】（1）设 的公差为 ， ，
，
3MA MC= = 1
3
3OG MO= = 1
2 3
3CO = Rt AGO∆ 1Rt OO C∆
2 2 2GA GO OA+ = 2 2 2
1 1O C O O OC+ = ( ) 2
2 233 3h R
− + =
2
2 22 3
3 h R
+ =
3
3h = 2 5
3R = 15
3R = 34 20 15= =3 27OV Rπ π球
{ }na nS 2
nS n nλ= + 1a 4 1a − 8 1a +
{ }na
2 na
nb = { }nb nT
2 3na n= + ( )32 4 1
3
n
nT
−
=
nS na 1 4 8, ,a a a λ
{ }na
{ }nb
{ }na d 1 1 1a S λ= = +
4 4 3 7a S S λ= − = + 8 8 7 15a S S λ= − = +则 ，得 ，
所以 ， ，得公差 .
所以 .
（2） ，所以 ，且 ，
所以数列 是以 32 为首项，以 4 为公比的等比数列，
所以 .
【点睛】本题考查数列的前 n 项和与通项的关系，考查等差数列通项、等比数列的性质、等
比数列的前 n 项和，考查计算能力，属于中档题.
18.已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（2）若角 A 为 的一个内角，且 ，求角 A 的大小.
【答案】（1） ， ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）化简 ，根据周期公式求出最小正周期，结合 的单调递增区间，即可求出
的单调递增区间；
（2） 结合角 A 的范围，可求出角 A.
【详解】（1）由题意得
.
2(6 ) (1 )(16 )λ λ λ+ = + + 4λ =
1 5a = 4 11 5 3a d= = + 2d =
2 3na n= +
2 32 8 4n n
nb += = × 1 4n
n
b
b
+ =
1 32b =
{ }nb
( ) ( )32 1 4 32 4 1
1 4 3
n n
nT
− −
= =−
23 3( ) sin cos sin cos2 2f x x x x x
= − +
x∈R
( )f x
ABC
1( ) 2f A = −
5 ,12 12k k
π ππ π − + k Z∈ 5
12A π= 3
4
π
( )f x siny x=
( )f x
1( ) 2f A = −
2 23 3( ) sin cos sin cos2 2f x x x x x= − +
1 3sin 2 cos2 sin 22 2 3x x x
π = + = + 可得：函数 的最小正周期
由 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间 ， .
（2） ，
，所以 或
解得 或 .
【点睛】本题考查三角函数化简，涉及到二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数的性质，
以及特殊角的三角函数值，属于中档题.
19.在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，
结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得 ；
（2）根据题设条件以及第一问 结论可以求得 ，之后在
中，用余弦定理得到 所满足的关系，从而求得结果.
的
( )f x 2 2
| | 2T
π π πω= = =
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈
5
12 12k x k
π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈
( )f x 5 ,12 12k k
π ππ π − + k Z∈
1sin 2 3 2A
π + = − (0, )A π∈
72 ,3 3 3A
π π π + ∈
72 3 6A
π π+ = 11
6
π
5
12A π= 3
4
π
ABCD 90ADC∠ = 45A∠ = 2AB = 5BD =
cos ADB∠
2 2DC = BC
23
5
5
sin sin
BD AB
A ADB
=∠ ∠
2sin 5ADB∠ =
2 23cos 1 25 5ADB∠ = − =
2cos sin 5BDC ADB∠ = ∠ =
BCD∆ BC【详解】（1）在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 ；
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
所以 .
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关
系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于
正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
20.如图，已知 是正三角形，EA，CD 都垂直于平面 ABC，且 ，二面角
的平面角大小为 ，F 是 BE 的中点，求证：
（1） 平面 ABC；
（2） 平面 EDB；
（3）求几何体 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）取 BA 的中点 M，连结 CM，通过证明四边形 FMCD 是平行四边形，证得 ，
从而证得结论；
ABD∆
sin sin
BD AB
A ADB
=∠ ∠
5 2
sin45 sin ADB
= ∠
2sin 5ADB∠ =
90ADB∠ < 2 23cos 1 25 5ADB∠ = − =
2cos sin 5BDC ADB∠ = ∠ =
BCD∆
2 2 2 22 cos 25 8 2 5 2 2 255BC BD DC BD DC BDC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × =
5BC =
ABC 2EA AB= =
D AB C− − 30°
FD∥
AF ⊥
ED BAC−
3
FD MC∥（2）先证 面 EAB， ，得到 ，再由已知可得 ，即可得
出结论；
（3）几何体 为四棱锥 ，取 AC 中点 N，连接 BN，可证 平面 ACDE，
即可求出体积.
【详解】（1） 平面 ABC， ，
取 BA 的中点 M，连结 CM，DM，
， 平面 ，
为二面角 的平面角，
所以 ，
∵ ， ，则 .
∵F，M 分别是 BE，AB 的中点，
∴ ，
∵EA、CD 都垂直于平面 ABC，∴ ，
∴ ，又
∴四边形 FMCD 是平行四边形，∴ ，
平面 ABC， 平面 ABC，∴ 平面 ABC.
（2）因 M 是 AB 的中点， 是正三角形，所以
又 EA 垂直于平面 ABC∴ ，
又 ，所以 面 EAB，∵ 面 EAB
∴ ，又 ，从而 ，
因 F 是 BE 的中点， 所以 .
EB，FD 是平面 EDB 内两条相交直线，所以 平面 EDB.
（3）几何体 的体积等于
CM ⊥ CM FD∥ FD AF⊥ AF EB⊥
ED BAC− B ACDE− BN ⊥
CD ⊥ CD AB∴ ⊥
CM AB⊥ AB ⊥ ,CDM DM AB∴ ⊥
DMC∠ D AB C− −
30DMC °∠ =
2AB = 3MC∴ = 1CD =
FM EA∥ 1 12FM EA= =
CD EA∥
CD FM∥ CD FM=
FD MC∥
FD ⊄ MC ⊂ FD∥
ABC CM AB⊥
CM AE⊥
AE AB A= CM ⊥ AF ⊂
CM AF⊥ CM FD∥ FD AF⊥
EA AB= AF EB⊥
AF ⊥
ED BAC− B ACDEV −N 为 AC 中点，连接 BN
， 平面 ACDE
，
所以几何体 的体积为 .
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，以及多面体的体积，关键要对空间中有关平
行、垂直判断定理要熟练掌握，属于中档题.
21.如图 1，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ，O
为 BE 中点，F 为 BC 中点.将 沿 BE 折起到 的位置，如图 2.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 BCDE，求点 F 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先证 ，接着证 ，根据已知条件得 ，即可得结论；
（2）点 F 到平面 的距离转化为点 B 到平面 的距离的一半，取 的中点记为 H，
证明 平面 ，求出 ，即可得结论.
【详解】（1） ，∴ ，即 ，
∵ ，∴
O 为 BE 中点，F 为 BC 中点.∴ ，∴
∵ ，O 为 BE 中点，∴ ，∴
而 ，∴ 平面 .
NB AC⊥ BN AE BN⊥ ⇒ ⊥
1 1 (1 2) 2 3 33 3 2B ACDE ACDEV S BN−
+ ×= × = × × =
ED BAC− 3
AD BC∥ 2AB AE BE CD= = = = 4BC ED= =
ABE△ A BE′
CD ⊥ AOF′
A BE′ ⊥ A EC′
3
2
CD EC⊥ CD OF⊥ AO CD′ ⊥
A EC′ A EC′ A E′
BH ⊥ A EC′ BH
2 3EC = 2 2 2BE EC BC+ = BE EC⊥
CD BE CD EC⊥
OF EC∥ CD OF⊥
A B A E′ ′= AO BE′ ⊥ AO CD′ ⊥
AO OF O′ ∩ = CD ⊥ AOF′（2） ∴点 F 到平面 AEC 的距离即为点 O 到平面 的距离，
即点 B 到平面 的距离的一半.
取 的中点记为 H，连结 BH，则
∵平面 平面 BCDE，且交线为 BE，
由（1）知 ，
∴ 平面 ，∴ ，
又
∴ 平面 ， ，
∴B 到平面 的距离为 ，
∴点 F 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以
及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.
22.已知函数 ， 为 的导数.
（1）求函数 在 的切线方程；
（2）若 时， ，求 a 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对函数求导求出 ，即可求出切线方程；
（2）构造函数 , ，转化为 , ，用求导数的
OF EC∥ A EC′
A EC′
A E′ BH A E′⊥
A BE′ ⊥
EC BE⊥
EC ⊥ A BE′ EC BH⊥
EC A E E′∩ =
BH ⊥ A EC′ 3BH =
A EC′ 3
A EC′ 3
2
( ) 2sin cosf x x x x= − ( )f x′ ( )f x
( )f x 0x =
0, 2x
π ∈ ( )f x ax≥
y x= ( ,1]−∞
( ), (0), (0)f x f f′ ′
( ) ( )g x f x ax= − 0, 2x
π ∈ min( ) 0g x ≥ 0, 2x
π ∈ 方法结合对 a 分类讨论，通过讨论 单调性，即可求出 a 的取值范围.
【详解】（1）
，
∴ 在 处的切线方程为
（2）令
则 ，
令
则
∴ 在 单调递增，
（i）若 ，即 ，则 ，
在 单调递增，则 ，
满足 ，符合条件；
（ii）若 ，即 ， ，
而 在 单调递增，∴必存在 ，
使得 时， ，此时 在 单调递减，
，不符合条件.
综上所述：
【点睛】本题考查了切线方程的求法，考查了利用导数研究函数的单调区间和函数恒成立问
题，将问题转化为函数的最值是关键，属于中档题.
( )g x
( ) 2cos cos sin cos sinf x x x x x x x x′ = − + = +
(0) 1f ′ = (0) 0f =
( )f x 0x = y x=
( ) ( ) 2sin cosg x f x ax x x x ax= − = − −
( ) cos sing x x x x a′ = + −
( ) ( ) cos sinh x g x x x x a′= = + −
( ) cos 0 0, 2h x x x x
π′ = ≥ ∈
( ) ( ) cos sinh x g x x x x a′= = + − 0, 2
π
(0) 1h a= −
1 0a− ≥ 1a ≤ ( ) 0g x′ ≥
( )g x 0, 2
π
( ) (0) 0g x g≥ =
( )f x ax≥
1 0a− < 1a > (0) 1 0g a′ = − <
( )g x′ 0, 2
π
0 0, 2x
π ∈
( )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )00, x
( ) (0) 0g x g< =
( ,1]a ∈ −∞
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