2019-2020 学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共 12 小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在
答题纸上将该项涂黑）
1.若 ，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，即可得解．
【详解】由题意，知 ，且 ，
所以 ，则 ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答
中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能
力，属于基础题.
2.设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.
【详解】由于 ，
，
3cos 5x = −
2 x
π π< < tan sinx x+ ( )
32
15
− 8
15
− 8
15
32
15
sinx tanx
3cosx 5
= − π x π2
< <
2 4sinx 1 cos x 5
= − = sinx 4tanx cosx 3
= = −
4 4 8tanx sinx 3 5 15
∴ + = − + = −
30.2a = 2log 0.3b = 3log 2c =
a b c> > a c b> >
b a c> > c a b> >
30 0.2 0.2< <
2 2log 0.3 log 1 0< =，
则 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常
用手段，属基础题.
3.已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用周期性和奇函数的性质可得， ，再根据
指数运算和对数运算即可求得结果.
【详解】由题意 ，故函数 是周期为 4 的函数，
由 ，则 ，即 ，
又函数 是定义在 R 上的奇函数，
则 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，
属中档题.
4.已知圆 与 轴正半轴的交点为 ，点 沿圆 顺时针运动 弧长达到点
，以 轴的正半轴为始边， 为终边的角即为 ，则 （ ）
A. B.
3 3
1log 2 log 3 2
> =
3
2 3log 0.3 0.2 log 2< < c a b> >
( )f x ( ) ( 4)f x f x= + (0,1)x∈ ( ) 2xf x = ( )2log 12f =
4
3
− 23
32
3
4
3
8
−
( ) ( ) ( )2 2 2log 12 log 12 4 4 log 12f f f= − = − −
( ) ( 4)f x f x= + ( )f x
23 log 12 4< < 21 log 12 4 0− < − < 20 4 log 12 1< − <
( )f x
( ) ( ) ( ) 2
2
4
4 log 12
2 2 2 log 12
2 4log 12 log 12 4 4 log 12 2 2 3f f f −= − = − − = − = − = −
2 2: 4O x y+ = y M M O 3
π
N x ON α sinα =
3
3
1
2C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出 的值，从而得到结果.
【详解】由题意得 M(0,2)，并画出图象如图所示.
由点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧长到达点 N，则旋转的角的弧度数为 ，
即以 ON 为终边的角 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
5.函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】A
2
2
3
2
α
3
π
3
2 6
π
π=
3
πα = 3sin 2
α =
( ) , ,0 0,2s ( ) ( )in
x xe ef x xx
π π
−+= ∈ − 【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可排除 B，再根据 时 的符号可排除 D，再根据 时，
可排除 C，从而得到正确的选项.
【详解】函数的定义域关于原点对称，且 ，
故 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除 B.
又当 时， ，所以 ，故排除 D.
又当 时， ，故排除 C ，
综上，选 A.
【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到
函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大
小或取值范围．
6.如图是函数 在区间 上的图象，将该图象向右
平移 个单位长度后，所得图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根 据 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 求 出 ， 再 根 据 右 移 得 到 函 数
( )0,x π∈ ( )f x x π→
( ) +f x → ∞
( ) ( ) ( )
2sin
x xe ef x f xx
− +− = = −−
( )f x
( )0x π∈ ， sin 0, 0x xx e e−> + > ( ) 0f x >
x π→ ( ) +f x → ∞
sin( ) 0,0 2y x
πω ϕ ω ϕ = + > <
4x
π= m
12
π
6
π
4
π
3
π
( ) sin 2 3f x x
π = + ，利用对称轴的性质，得到 m 的表达式，从而求得 m 的最小值.
【详解】令 ，由三角函数图象知， ，所以 ，
所以 .因为函数 过点 ，且 ，则 ，
即 ，所以 ，
将该函数图象向右平移 m 个单位后，所得图象的解析式是 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
解得 ，又 m>0，所以 m 的最小值为 .
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，
并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题.
7.已知函数 ，对于实数 ，“ ”是“ ”的
( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断出函数为奇函数，且为 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条
件的定义判断即可.
【详解】因为 ，
所以 为奇函数，
时， ， 在 上递增，
所以函数 在 上为单调增函数，
( ) sin 2 23g x x m
π = + −
( ) sin( )f x y xω ϕ= = + 5
6 6T
ππ π= + = 2π πω =
2ω = ( )f x ,06
π − 0 2
πϕ< < 2 06
π ϕ− × + =
3
πϕ = ( ) sin 2 3f x x
π = +
( ) sin 2 23g x x m
π = + −
( )g x
4x
π= 2 2 ( )4 3 2m k k Z
π π π π× + − = + ∈
( )6 2
km k Z
π π= − ∈
6
π
( ) ( )x xf x x e e−= − a b， 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ >
R
( ) ( ) ( ) ( )x x x xf x x e e x e e f x− −− = − − = − − = −
( )f x
0x > ( ) 1x
xf x x e e
= −
( )f x ( )0, ∞+
( )f x R对于任意实数 和 ，
若 ，则 ，
函数 为奇函数， ，
，充分性成立；
若 ，则 ，
函数在 上为单调增函数， ，
，必要性成立，
对于任意实数 和 ，“ ”，是“ ”的充要条件，
故选 C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题.
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、
定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想
化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的
等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
8.已知 ， ，且 ，则 （ ）
A. －1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利 用 二 倍 角 公 式 和 三 角 函 数 的 商 数 关 系 对 进 行 化 简 变 形 ， 从 而 可 得
，再根据 ， ， ，结合正切函数
的单调性，则 ，代入所求表达式从而可求得结果.
【详解】
a b
0a b+ > ( ) ( ),a b f a f b> − ∴ > −
( )f x ( ) ( )f a f b∴ > −
( ) ( ) 0f a f b∴ + >
( ) ( ) 0f a f b+ > ( ) ( ) ( )f a f b f b> − = −
R a b∴ > −
0a b∴ + >
∴ a b 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ >
p q
,p q q p⇒ ⇒
0, 2
πα ∈ 0, 2
πβ ∈
sin 1 cos2
cos 2cos sin 2
β α
β α α
+= + tan 2 4
πα β + + =
2 2
3
2 2
3
−
1 cos2
2cos sin 2
α
α α
+
+
tan tan 4 2
π αβ = − 0, 2
πα ∈ 0, 2
πβ ∈ 0,4 2 4
π α π − ∈
4 2
π αβ = −
2sin 1 cos2 2cos
cos 2cos sin 2 2cos 2sin cos
β α α
β α α α α α
+= =+ +，
故 ，又 ， ，
，故 ，
则 .
故选：A.
【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一
定的计算化简能力，属中档题.
9.已知函数 ， 是 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）
①函数 的值域与 的值域相同；
②若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点；
③把函数 的图像向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像；
④函数 和 在区间 内都是增函数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
分析】
求出函数 f(x)的导函数 g(x)，再分别判断 f(x)、g(x)的值域、极值点和零点，图象平移和单调性
问题即可一一做出判断，从而得到答案.
【详解】 ，
，
【
2 2
2
cos sin cos sin 1 tancos 2 2 2 2 2 tan1 sin 4 2sin cos 1 tansin cos 2 2 22 2
α α α α α
α π α
α α αα α α
− − − = = = = = − + + ++
tan tan 4 2
π αβ = − 0, 2
πα ∈ 0,4 2 4
π α π − ∈
4 2
π αβ∴ = − 2 2
πβ α= −
3tan 2 tan 14 4
π πα β + + = = −
( ) sin cosf x x x= − ( )g x ( )f x
( )f x ( )g x
0x ( )f x 0x ( )g x
( )f x
2
π ( )g x
( )f x ( )g x ,4 4
π π −
2 2( ) sin cos 2 sin cos 2 sin2 2 4f x x x x x x
π = − = − = −
2 2( ) sin +cos 2 sin + cos 2 sin +2 2 4g x x x x x x
π = = = ①， ， ，两函数的值域相同，都是 ，
故①正确；
②，若 是函数 的极值点，则 ， ，解得 ， ，
， 也是函数 的零点，故②正确；
③，把函数 的图象向右平移 个单位，得
，故③错误；
④， 时， ， 是单调增函数， ， 也
是单调增函数，故④正确.
综上所述，以上结论中错误的个数是 1.
故选：B.
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，
熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.
10.已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，且
， ， ，则 的最
小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由 余 弦 函 数 的 有 界 性 可 得 ， 对 任 意 xi ， xj(i ， j=1 ， 2 ， 3 ， … ， n) ， 都 有
，要使 n 取得最小值，尽可能多让 xi （i=1，2，
3，…，n）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小 n 值．
【详解】∵ 对任意 xi，xj(i，j=1，2，3，…，n)，
( ) 2 sin 4f x x
π = − ( ) 2 sin 4g x x
π = + [ 2, 2]−
0x ( )f x 0 4 2x k
π π π− = + k Z∈ 0
3
4x k
ππ= + k Z∈
( )0
32 sin 04 4g x k
π ππ = + + = 0x∴ ( )g x
( )f x
2
π
sin cos cos sin ( )2 2 2f x x x x x g x
π π π − = − − − = − − ≠
,4 4x
π π ∈ − ,04 2x
π π − ∈ − ( )f x 0,4 2x
π π + ∈ ( )g x
( ) cosf x x= 1 2, , , nx x x 1 20 4nx x x π≤ < < < ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 8n nf x f x f x f x f x f x−− + − + + − = 2n ≥ n ∗∈N n
( ) ( ) max min( ) ( ) 2i jf x f x f x f x− − =
( ) cosf x x=都有 ，
要使 n 取得最小值，尽可能多让 xi(i =1，2，3，…，n)取得最高点和最低点，
考虑 0≤x1＜x2＜…＜xn≤4π， ，
按下图取值即可满足条件，
则 n 的最小值为 5.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出
图象是解决本题的关键，属中档题.
11.设函数 ，则函数 的零点的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
试题分析： ，转化为 如图，画出函数 和 的图像，
当 时，有一个交点，
当 时， ， ，此时 ， 是函数的一个零点，
， ，满足 ，所以在 有两个交点，
同理 ，所以在 有两个交点，
，所以在 内没有交点，
当 时，恒有 ，所以两个函数没有交点
所以，共有 6 个．
( ) ( ) max min( ) ( ) 2i jf x f x f x f x− − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 8n nf x f x f x f x f x f x−− + − + + − =
1 1 , ( ,2)
( ) {1 ( 2), [2, )2
x x
f x
f x x
− − ∈ −∞
=
− ∈ +∞ ( ) ( ) 1F x xf x= −考点：1．分段函数；2．函数的零点．3 数形结合求函数零点个数．
12.已知 ， ，在函数 ， 的图象的交点中，
相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 时，函数 的图象恒在 轴的
上方，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 F（x）＝ ﹣ ＝0 求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝
对值为 得 值，然后根据当 时，f(x)>0 恒成立即可得到 的取值范围.
【详解】由题意，函数 ， 的图象中相邻两个交点的
横坐标之差的绝对值为 ．
令 F（x）＝ ﹣ ＝0，可得 sin（ ）＝0，
即 ＝kπ，k∈Z．
当 k＝0 时，可得一个零点 x1＝
当 k＝1 时，可得二个零点 x2＝ , ω＞0，
0>ω
2
πϕ ≤ ( ) sin( )f x xω ϕ= + ( ) cos( )g x xω ϕ= +
2
π
( , )6 4x
π π∈ − ( )f x x
ϕ
( , )6 3
π π ,6 3
π π
( , )3 2
π π
,3 2
π π
( )sin xω ϕ+ ( )cos xω ϕ+
2
π ω ,6 4x
π π ∈ −
ϕ
( ) ( )sinf x xω ϕ= + ( ) ( )cosg x xω ϕ= +
2
π
( )sin xω ϕ+ ( )cos xω ϕ+ 2 4x
πω ϕ+ −
4x
πω ϕ+ −
4
π
ω
−∅
5
4
π
ω
−∅那么|x1﹣x2|＝| ，可得 ,则 ，
又当 时，函数 的图象恒在 轴的上方，
当 f(x)>0 时 解得 ,
只需 即
又 ，则当 k=0 时， 的取值范围是
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本题共 4 小题）
13.已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则 ______.
【答案】－1
【解析】
【分析】
求出函数的导数，代入 x0 求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于 x0 的方程，解
方程即可得到所求值，注意检验.
【详解】 的导数为 ，
即在点 处的切线斜率为 ，
由切线平行于直线 ，
则 ，即 ，
解得 或 .
若 ，则切点为 ，满足直线 ，不合题意.
5
4 4 | 2
π π
π π
ω ω ω
−∅ −∅
− = = ω 2= ( ) ( )sin 2f x x ϕ= +
,6 4x
π π ∈ −
( )f x x
2kπ 2x φ 2kπ π,< + < + kπ x kπ2 2 2
ϕ π ϕ− < < + −
2 6
2 2 4
k
k
ϕ ππ
π ϕ ππ
− ≤ −
+ − ≥
2kπ 2 ,3 2k
π πϕ π+ ≤ ≤ +
2
πϕ ≤ ϕ ,3 2
π π
3y x x= − ( )0 0,x y 2 2 0x y− − = 0x =
3y x x= − 23 1y x′ = −
( )0 0,x y 2
03 1k x= −
2 2 0x y− − =
2k = 2
03 1 2x − =
0 1x = 1−
0 1x = (1,0) 2 2 0x y− − =若 ，则切点为 ，不满足直线 ，符合题意.
故答案为： .
【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，
同时考查两直线平行的问题，属基础题.
14.设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数 F（x） ，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】设 F（x） ，
则 F′（x） ，
∵ ，
∴F′（x）＞0，即函数 F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴ ，即 F（x）＜F（2x ）
∴ ，即 x＞1
∴不等式 的解为
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
15.如图，阴影部分是由曲线 和 及 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面
积为______.
0 1x = − ( 1,0)− 2 2 0x y− − =
1−
R ( )f x ( ) ( )f x f x′ > ( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
(1, )+∞
( )
x
f x
e
=
( )
x
f x
e
=
( ) ( )'
x
f x f x
e
−=
( ) ( )f x f x′ >
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
( ) ( )
2 1
2 1
x x
f x f x
e e −
−
＜ 1−
x 2x 1−＜
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < − ( )1,+∞
( )1,+∞
22y x= 2 2 3x y+ = x【答案】
【解析】
【分析】
首先求出曲线的交点，然后求直线 与 围成的面积 ，利用扇形的面积公式，
求得扇形 AOB 的面积 ，则阴影部分的面积为 ，计算即可求得结果.
【详解】曲线 和圆 的在第一象限的交点为 ，
则直线 OA 的方程为： ， 如图，
则直线 OA 与抛物线 所围成的面积
，
又扇形 AOB 圆心角为 ，则扇形 AOB 的面积 ，
所以阴影部分的面积 .
3
2 8
π −
3y x= 22y x= 1S
2S 2 1S S S= −
22y x= 2 2 3x y+ = 3 3,2 2A
3y x=
22y x=
( )
33
22
2 2 3
1
0 0
3 2 3 3 2 3 3 33 2 2 3 2 4 3 8 8S x x dx x x
= − = − = × − × =
∫
3
πα = 2
2
1 1 32 2 3 2S r
π πα= = × × =
2 1
3
2 8S S S
π= − = −故答案为： .
【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，
属中档题.
16.设 的内角 的对边长 成等比数列， ，延
长 至 ，若 ，则 面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，由 成等比数列，结合正弦定理
可得 ，两式相减，可求得 ，从而得 为正三角形，
设正三角形边长为 ， ，利用基本不等式可得结果.
【详解】 ，
，①
又 成等比数列， ，
由正弦定理可得 ，②
①-②得
，
，解得 ，
由 ，
得 ，
， 为正三角形，
设正三角形边长为 ，
3
2 8
π −
ABC∆ A B C， ， a b c， ， ( ) 1cos cos 2A C B− − =
BC D 2BD = ACD∆
3
4
( ) 1cos cos 2A C B− − = 1cos cos 4A C = , ,a b c
2sin sin sinB A C=
3B
π= ABC∆
a ACDS∆ ( )3 24 a a= −
( )cos cosA C B− − ( ) ( ) 1cos cos 2A C A C= − + + =
1cos cos 4A C∴ =
, ,a b c 2b ac∴ =
2sin sin sinB A C=
21 sin cos cos sin sin4 B A C A C− = −
( )cos cosA C B= + = −
21 cos 1 cos4 B B∴ + − = − 1cos ,2 3B B
π= =
( ) 1cos cos 2A C B− − =
( ) 1cos cos 12A C B− = + =
0,A C A B− = = ABC∆
a则 ，
， 时等号成立。
即 面积的最大值为 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，
首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最
小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义
域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.将函数 的图像向左平移 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来
的 倍（纵坐标不变），得到 的图像.
（1）求 的单调递增区间；
（2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】
(1)本题首先可通过题意中函数 图像的转化得到 ，然后通过
正弦函数的相关性质即可计算出函数 的单调递增区间；
(2)首先通过 计算出函数 的最大值以及最小值，然后将 转化
2CD a= − 1 sin1202ACDS AC CD ∆ = ⋅
( ) ( )1 3 32 22 2 4a a a a= − × = −
( ) 223 3
4 4 4
a a + − ≤ × = 1a =
ACD∆ 3
4
3
4
≥ ≤
3sin 2y x=
6
π
2 ( )f x
( )f x
,2 2x
π π ∈ − ( ) 3f x m- < m
52 ,2 ,6 6k k k
π ππ π − + ∈ Z 30, 2
3sin 2y x= ( ) 3sin 3f x xæ öç ÷= +ç ÷è ø
p
( )f x
,2 2x
π π ∈ −
( )f x ( ) 3f x m- -ïî
3sin 2y x=
6
π 3sin 2 + 3y xæ öç ÷= ç ÷è ø
p
3sin 2 + 3y xæ öç ÷= ç ÷è ø
p 2 ( ) 3sin 3f x xæ öç ÷= +ç ÷è ø
p
2 2 ,2 3 2k x k k
π π ππ π− + + ∈Z
52 ,2 ,6 6x k k ké ùÎ - + Îê úê úë û
Zp pp p
( )f x 52 ,2 ,6 6k k ké ù- + Îê úê úë û
Zp pp p
,2 2x
π π ∈ −
5
6 3 6x
π π π− +
( )f x ,2 2
π π − 3 3 2x
π π+ =
6x
π=
3
2
−
3 6x
π π+ = −
2x
π= −
,2 2x
π π ∈ − ( ) 3f x m- <
3 ( ) 3m f x m− < < + ( )
( )
max
min
3
3
f x m
f x m
ì < +ïí > -ïî
3 3
3 32
m
m
ì < +ïí - > -ïî
30 2m< < m 30, 2
siny xω= n
( )sin ωy x né ù= +ë û
ABC∆ A B C a b c 2 2sin sin sin sinA B A C+ =
sin sin2cos
C AA
=
B ABC∆ S 2( sin )S b A= A【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 及 正 弦 定 理 ， 得 ， 根 据 余 弦 定 理 可 得
，再将 化简变形即可证明结论；（2）由 和面积公
式 可 得 ， 结 合 （ 1 ） 可 得 ， 根 据 条 件 ， ，
，代入 中进行化简变形即可求得角 .
【详解】（1）由 及正弦定理，得 ，即 ，
则 ，
则 ，
其中 为 的外接圆半径，即证得 ；
（2）由题意得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
又 为钝角，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
8A
π=
2 2sin sin sin sinA B A C+ = 2 2c a ab− =
sin sincos 2sin
B AA C
+= sin
2cos
C
A
2( sin )S b A=
sinsin 2 2sin
c CA b B
= = cos sinA B=
2B A
π= +
22C A
π= − sin
2cos
C
A A
2 2sin sin sin sinA B A C+ = 2 2ab a c+ = 2 2c a ab− =
2 2 2 2 sin sincos 2 2 2 2sin
b c a b ab b a B AA bc bc c C
+ − + + += = = =
( )
2
22 2 22sin sin 1 1 sin2cos sin sin 2 2 2
2 2
c
RC C c ab a a Ab aA B A R b a R b a R
R R
+= = = ⋅ = ⋅ = =+ + ++
R ABC∆ sin sin2cos
C AA
=
2 21 sin sin2 bc A b A=
sinsin 2 2sin
c CA b B
= =
sincos 2sin
CA A
=
sin sin
cos sin
A A
A B
= cos sinA B=
B 2B A
π= + A B C π+ + =
2A A C
π π + + + = 22C A
π= −
sin 2sin cos22 sin2cos 2cos 2cos
AC A AA A A
π − = = =
cos2 sin2A A= tan2 1A =又 为锐角，所以 ，
则 ，所以 .
【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换，根据正余弦定理和三角恒等变换公式对式子进
行化简变形是解决本题的关键，属中档题.
19.设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）如果 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得 ，利用导数证明 在区间 上单调递增， 从而可得
；（Ⅱ）讨论三种情况：当 时，由（Ⅰ）知符合题意；当 时，因
为 ，先证明 在区间 上单调递增，可得 符合题意；当
时，存在唯一 使得 ，任意 时， ，不合题
意，综合即可得结果.
【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 .
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，
所以 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
①当 时，由（Ⅰ）知， 对 恒成立；
A ( )2 0,A π∈
2 4A
π=
8A
π=
( ) sin cos , [0, ]2f x a x x x x
π= − ∈
1a = ( ) 0f x ≥
( ) 0f x ≥ a
( ) sinf x x x′ = ( )f x 0, 2
π
( ) ( )0 0f x f≥ = 1a = 1a >
0, 2x
π ∈
( )f x 0, 2
π
( ) ( )0f x f≥ 1a <
0 0, 2x
π ∈
( )0 0g x = ( )00,x x∈ ( ) ( )0 0f x f< =
1a = ( ) sin cos ,f x x x x= − ( ) sinf x x x′ =
0, 2x
π ∈
( ) 0f x′ ≥ ( )f x 0, 2
π
( ) ( )0 0f x f≥ =
( ) sin cos , 0, 2f x a x x x x
π = − ∈
( ) ( )1 cos sinf x a x x x= +′ −
1a = ( ) 0f x ≥ 0, 2x
π ∈ ②当 时，因为 ，所以 .
因此 在区间 上单调递增，
所以 对 恒成立；
③当 时，令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，
因此 在区间 上单调递增，
且 ，
所以存在唯一 使得 ，即 .
所以任意 时， ，所以 在 上单调递减.
所以 ，不合题意.
综上可知， 的最小值为 1.
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等
式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不
等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；
二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，
并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
20.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ， 的面积为 ，求 ， 的值；
（2）若 ，且 为钝角三角形，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 或 ， ；（2）
1a > 0, 2x
π ∈
( ) 0f x′ >
( )f x 0, 2
π
( ) ( )0 0f x f≥ = 0, 2x
π ∈
1a < ( ) ( )g x f x= ′ ( ) ( )2 sin cosg x a x x x= +′ −
0, 2x
π ∈
( ) 0g x′ ≥
( )g x 0, 2
π
( )0 1 0 02 2g a g， π π = − =
0 0, 2x
π ∈
( )0 0g x = ( )0 0f x′ =
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x
( ) ( )0 0f x f< =
a
ABC∆ A B C a b c 4 cos cos cosa A c B b C= +
4a = ABC∆ 15 b c
sin sin ( 0)B k C k= > ABC∆ k
4b = 2c = 2b = 4c = 10, (4, )4
∪ +∞ 【解析】
【分析】
（1）由 及正弦定理可求 和 ，从而利用余弦定理和面
积公式建立关于 b 和 c 的两个方程即可求出结果；（2）由 ，得 ，
由余弦定理可得 ，分别从角 B 是钝角和角 C 是钝角两种情况列不等式求
解即可求出 k 的范围.
详解】（1）由 及正弦定理得：
，
，所以 ，所以 ，
由余弦定理得 ，①
又 的面积 ，所以 .②
由①②得 ， 或 ， ；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
若 为钝角则 ，即 ，解得 ，
若 为钝角，则 ，即 ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及求满足三角形形状的参数范围，熟
练掌握三角形中钝角的等价条件是解决第二问的关键，属中档题.
21.已知函数 ， .
（1）若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
【
4 cos cos cosa A c B b C= + cosA sin A
sin sin ( 0)B k C k= > b kc=
2 2 21 12a k k c − +
=
4 cos cos cosa A c B b C= +
( )4sin cos sin cos sin cos sin sinA A C B B C C B A= + = + =
sin 0A ≠ 1cos 4A = 2 15sin 1 cos 4A A= − =
2 2 2 2 2 12 cos 162a b c bc A b c bc= + − ⋅ = + − =
ABC∆ 1 1 15= sin 152 2 4ABCS bc A bc∆ = ⋅ = 8bc =
4b = 2c = 2b = 4c =
sin sin ( 0)B k C k= > b kc=
( )22 2 2 2 2 21 12 cos 2 14 2a b c bc A kc c kc c k k c = + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ = − +
B 2 2 2a c b+ < 2 21 1 12k k k − + +
C 2 2 2a b c+ < 2 21 1 12k k k − + + ( ) 0g x′ > ( )g x 1 ,2
+∞
( )min
1 22g x g e = =
2ea ≤ a ( ],2e−∞
2a e≤ ( )f x ( )0, ∞+
2ea > 1 1 ln2 2 2
a< 1ln ln2 2
aa >
( ) 22 2xf x e ax′ = − ( ) ( )h x f x= ′ ( ) 24 2xh x e a′ = −
( ) 0h x′ = 1 ln2 2
ax =则易知函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增.
又 ， ，
（易证明 ），
故存在 ，使得 ，
存在 ，使得 ，
则当 时， ；当 时 ；当 时， ，
故 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
所以当 时， 取得极大值，即 .
由 ，得 ， ，
由 ，得 ，
故 ，所以 .
【点睛】本题考查已知单调性求参数的范围和利用导数证明不等式，其中恒成立问题通常转
化为求函数最值问题，极值点问题通常转化为导函数的零点问题，应熟练掌握零点存在性定
理的应用，属难题.
22.已知函数 的图像与 轴相切， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
( )f x′ 10, ln2 2
a
1 ln ,2 2
a +∞
( )0 2 0f ′ = > 1 2 02f e a = − ln 0a a− >
1
10, 2x ∈
( ) 12
1 12 2 0xf x e ax′ = − =
2
1 ,ln2x a ∈
( )2 0f x′ =
( )10,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )1 2,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )10, x ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞
1x x= ( )f x 12 2
1
xM e ax= −
1
10 2x< < 11 0x− > 1 11x x≠ −
12
12 2 0xe ax− = 12
1
xe ax=
( )1
2
2 2 2 1 1
1 1 1 1 1
11 2 4
x x x aM e ax ax ax ax x a
+ − = − = − = − < = 4
aM <
1( ) (ln 1)f x a x x
= − + x
2 1( ) ( 1)log 2b
xg x b x
−= − −
2( 1)( ) xf x x
−≤
21 x b< <
2( 1)0 ( ) 2
bg x
−< ( )h x
2 1 1
ln ln
x b
x b
− −< ( ) 0>g x ( )f x
1
ln
b bb
− <
( ) 2
1af x x x
−′ = ( )f x x ( )0 ,0x
( )
( )0
0
0
0
f x
f x
= =′
( )0
0
2
0 0
1ln 1 0
1 0
a x x
a
x x
− + =
− =
0 1a x= =
( ) 1ln 1f x x x
= − + ( ) ( )21xf x x
−≤ ln 1x x≤ −
( ) ln 1h x x x= − + ( ) 1 1h x x
′ = −
0 1x< < ( ) 0h x′ > ( )h x 1x > ( ) 0h x′ < ( )h x
( ) ( )1 0h x h = ln 1x x −
( ) ( )21xf x x
−
( ) 0g x > ( ) 1( 1)ln
xx xx
ϕ −= > ( ) ( )2
1ln 1
ln
x xx
x
ϕ
−
′
+
=
1x > 1ln 1 0x x
+ − > ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
21 x b< < ( ) ( )2x bϕ ϕ< 2
2
1 1
ln ln
x b
x b
− −<
( ) ( )2 1 ln1 1 log2 ln b
b xx b xb
−− < = − ( ) 0g x >再证 ，因为
，
又由（1）知， ，故 在 单调递增，
则 ，即 ，所以 .
又 ，所以 .
综上可知， .
【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明不等式的方法，利用导数研究函数的单调
性和最值，以及构造函数证明不等式，综合性强，其中，选择合适函数进行构造是解决本题
的关键，属难题.
( ) ( )21
2
bg x
−< ( ) ( ) ( )2 21 ln1 11 log 2 ln 2b
b xx xg x b x b
−− −= − − = −
( ) ( )2 2 2 2 2ln 1 1 1 1 11 1 12ln 2 2ln 2 2 ln
x x x x x bb bb b b
− − − − − = − ⋅ − < − ⋅ − = ⋅ −
( ) 2
1 1 0( 1)f x xx x
′ = − > > ( )f x ( )1,+∞
( ) 1ln 1 (1) 0f x x fx
= − + > = 1ln 1b b
> − 1
ln
b bb
− <
21 x b< < ( ) ( )( ) ( )22 1 1 1
2 2
x b bg x
− − −< <
( ) ( )210 2
bg x
−<
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