2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有
一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合 ， ，且 ，则实数 a 的值为( )
A. 1 或-1 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由 A 与 B 的交集，得到元素 3 属于 A，且属于 B，列出关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的
值，经检验即可得到满足题意 a 值．
【详解】∵A∩B＝{3}，
∴3∈A 且 3∈B，
∴a+2＝3 或 a2+2＝3，
解得：a＝1 或 a＝﹣1，
当 a＝1 时，a+2＝3，a2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去；
则 a＝﹣1．
故选 B
【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题
的关键．
2.已知 AB 是抛物线 一条焦点弦， ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( )
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先设 两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.
【详解】设 ，C 的横坐标为 ，则 ，
的
}{ 1,2,3M = − { }22, 2N a a= + + }{3M N∩ =
2 2y x= 4AB =
3
2
1
2
5
2
A B，
( ) ( )1 1 2 2A , B ,x y x y， 0x 1 2
0 2
x xx +=因为 是抛物线 的一条焦点弦，所以 ，
所以 ，故 .
故选 B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即
可求解，属于基础题型.
3.已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值等于（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 由 于 是 等 比 数 列 ， ， ，
又 .故选 A.
考点：等比中项.
4.与双曲线 有共同的渐近线,且经过点 的双曲线的一个焦点到一条渐近
线的距离是 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离.
【详解】设双曲线方程为 ，
将点 代入双曲线方程，
解得 .
AB 2 2y x= 1 2 1 2 1 4AB x x p x x= + + = + + =
1 2 3x x+ = 1 2
0
3
2 2
x xx += =
{ }na 0na > 2 4 3 5 4 62 25a a a a a a =＋ ＋ 3 5a a＋
{ }na ( )2
4 6 5a a a=
( )2
2 4 3 5 4 6 3 52 25,a a a a a a a a∴ + + = + =
0na > 3 5+ 5a a∴ =
2 2
19 16
x y− = ( 3, 2 3)−
2 2
9 16
x y λ− =
( 3, 2 3)−
2 21 4, 14 9 4
x yλ = ⇒ − =从而所求双曲线方程的焦点坐标为 ,一条渐近线方程为 ，
即 4x-3y=0，
所以焦点到一条渐近线的距离是 ，
故选 B.
【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，
点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析： , , ．
由题意知 ．
． ．故 D 正确．
考点：1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直．
【此处有视频，请去附件查看】
6.存在函数 满足，对任意 都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5 ,02
4
3y x=
10 2
9 16
=
+
C∆ΑΒ 2 a b 2aΑΒ = C 2a bΑ = +
1b = a b⊥ 1a b⋅ =
( )4 Ca b+ ⊥ Β
2 , 2AB a AC a b= = +
AC AB b∴ = + b AC AB BC∴ = − =
12, cos120 1 2 12b a b a b = ⋅ = ⋅ = × × − = −
( ) ( ) 2
4 2 2a b BC AB BC BC AB BC BC∴ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ +
2 12 cos120 2 2 2 2 4 02AB BC = ⋅ + = × × × − + =
( )4a b BC∴ + ⊥
( )f x x R∈
(sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= +
2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = +【解析】
【详解】A：取 ，可知 ，即 ，再取 ，可知
，即 ，矛盾，∴A 错误；同理可知 B 错误，C：取 ，可知
，再取 ，可知 ，矛盾，∴C 错误，D：令 ，
∴ ，符合题意，故选 D.
考点：函数的概念
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为双曲线
右支上一点，且满足 ，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， 离 心 率 为 ，
， 可 得 ， ， ①
，② 由①②得
， 的周长为 ，故
选 C.
8.函数 为 上的可导函数，其导函数为 ，且 ，在
中， ，则 的形状为
A. 等腰锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰钝角
三角形
【答案】D
2
2
2 1( 0)x y aa
− = > 1F 2F 2 3
3
P
2 2
1 2 4 15PF PF− = 1 2PF F∆
2 5 2 5 2+ 2 5 4+ 2 3 4+
( )2
2
2 1 0x y aa
− = > 1F 2F 2 3
3
2 1 2 3
3
a
a
+∴ = 3, 2a c= = 1 2 2 2 3PF PF a− = =
( )( )2 2
1 2 1 2 1 2PF PF PF PF PF PF− = − +
( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 3 4 5, 2 5a PF PF PF PF PF PF= + = + = + =
1 25 3, 5 3PF PF= + = − 1 2PF F∴∆ 1 2 1 2 4 2 5PF PF F F+ + = +
R ( )f x′ ( ) 3 sin cos6f x f x x
π = ⋅ +
′
ABC∆ ( ) ( ) 1f A f B= ′ = ABC∆【解析】
【分析】
求函数的导数，先求出 ，然后利用辅助角公式进行化简，求出 A，B 的大小即可判
断三角形的形状．
【详解】函数的导数 ，
则 ，
则 ，则 ，
则 ，
，
，
，即 ，
则 ，得 ，
，即 ，
则 ，则 ，
则 ，
则 ，
即 是等腰钝角三角形，
故选 D．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数 和 的解析式
是解决本题的关键．
' 16f
π =
( )' 3 ' cos sin6f x f x x
π = −
3 1 3 1' 3 ' cos sin 3 ' '6 6 6 6 2 6 2 2 6 2f f f f
π π π π π π = − = × − = −
1 1'2 6 2f
π = ' 16f
π =
( )' 3cos sin 2cos 6f x x x x
π = − = +
( ) 3sin cos 2cos 3f x x x x
π = + = −
( ) ( )' 1f A f B= =
( )' 2cos 16f B B
π ∴ = + =
1cos 6 2B
π + =
6 3B
π π+ =
6B
π=
( ) 2cos 13f A A
π = − =
1cos 3 2A
π − =
3 3A
π π− = 2
3A
π=
2
3 6 6C
π π ππ= − − =
B C=
ABC
( )f x ( )'f x9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱
锥的主视图可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图 P-ABC 所示：
顶点 P 在以 BA 和 BC 为邻边的平行四边形 ABCD 上的射影为 CD 的中点 O，
故该锥体的正视图是：A
考点：三视图
10.已知 的最大值为 ，若存在实数 、 ，使
得对任意实数 总有 成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
( ) sin 2019 cos 20196 3f x x x
π π = + + − A 1x 2x
x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x−
2019
π 4
2019
π 2
2019
π
4038
π【分析】
先化简 ，得 ，根据题意即求半个周期的 A 倍．
【 详 解 】 解 ： 依 题 意
,
，
， ，
，
的最小值为 ，
故选 C．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
11.已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，上顶点为 ．过
作圆 ，其中圆心 的坐标为 ．当 时，椭圆离心率的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出线段 FA 与 AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标 P，利用 m+n＞0，与离心率计
算公式即可得出．
【详解】如图所示，
( ) 2sin 2019 3f x x
π = + 2A =
( ) sin2019 cos cos2019 sin cos2019 cos sin2019 sin6 6 3 3f x x x x x
π π π π= + + +
3sin2019 cos2019x x= +
2sin 2019 6x
π = +
2A∴ = 2
2019T
π=
1 2| | 2 2019min
Tx x
π∴ − = =
1 2A x x∴ − 2
2019
π
( )2
2
2 1 0 1yx bb
+ = < < F A C， B
F B C， ， P P ( )m n， 0m n+ >
20 2
， 10 2
， 30 2
， 60 5
，线段 的垂直平分线为： ，
线段 的中点 ．
∵ ，
∴线段 的垂直平分线的斜率 ．
∴线段 的垂直平分线方程为： ，
把 代入上述方程可得： ．
∵ ，
∴ ．
化为： ，又 ，
解得 ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形
外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.
12.设 ,其中 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
FC
21 1
2
bx
− −=
BC 1
2 2
b
，
BCk b=-
BC 1k b
=
BC 1 1
2 2
by xb
− − =
21 1
2
bx m
− − ==
2 21
2
b by nb
− −= =
0m n+ >
2 2 21 1 1 02 2
b b b
b
− − − −
+ >
21b b−> 0 1b< <
2 12 b< <
2 21 0 2
ce c ba
− ∈
= = = ，
( ) ( )22D 2 2xx a e a a= − + − + + 2.71828e ≈ D
2 3 2 1+ 3 1+【答案】C
【解析】
分析：由 表示两点 与点 的距离，而点 在抛物线
上，抛物线的焦点 ，准线为 ，则 表示 与 的距离和 与准线的
距离的和加上 1，由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和加上 1，画出图象，当
三点共线时，可求得最小值.
详解：由题意 ， ，
由 表示两点 与点 距离，
而点 在抛物线 上，抛物线的焦点 ，准线为 ，
则 表示 与 的距离和 与准线的距离的和加上 1，
由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和加上 1，
由图象可知 三点共线时，且 为曲线 的垂线，此时 取得最小值，
即 为切点，设 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 递增，且 ，可得切点 ，
即有 ，则 的最小值为 ，故选 C.
点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线
的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，
属于中档试题.
的
2( ) ( 2 )xx a e a− + − ( , )xC x e ( ,2 )A a a A
2 4y x= (1,0)F 1x = − D A C A
D A C , ,F A C
0a ≥ 2( ) ( 2 ) 2xD x a e a a= − + − + +
2( ) ( 2 )xx a e a− + − ( , )xC x e ( ,2 )A a a
A 2 4y x= (1,0)F 1x = −
D A C A
D A C
, ,F A C QF xy e= D
Q ( , )mm e
0 11
m
me em
− ⋅ = −−
2 1mm e+ =
( ) 2mg m m e= + ( )g m (0) 1g = (0,1)Q
1 1 2FQ += = D 2 1+二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的
研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差
降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依
等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为 d，根据题意和等差数列的前 n 项
和公式列出方程组，求出公差 d 即可得到答案．
【详解】设第十等人得金 斤，第九等人得金 斤，以此类推，第一等人得金 斤，
则数列 构成等差数列，设公差为 ，则每一等人比下一等人多得 斤金，
由题意得 ，即 ，
解得 ，
所以每一等人比下一等人多得斤金 ．
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前 n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思
想，属于中档题．
14.已知直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 、 ，且 ，点
是弧 （ 为原点）上一动点，以 为圆心的圆与直线 相切，当圆 的面积最大时，圆
的标准方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线 的斜率，可得出直线 的方程，再利用当点
到直线 的距离最大时，圆 的面积最大，由此求出点 的坐标，并计算出点 到直线 的距
离，作为圆 的半径，由此可得出圆 的标准方程.
7
78
1a 2a 10a
{ }na d d
8 9 10
1 2 3 4
4
3
a a a
a a a a
+ + =
+ + + =
1
1
3 24 4
4 6 3
a d
a d
+ =
+ =
7
78d=
7
78
l
2
: 4
xC y = F A B 8A Bx x+ = D
AOB O D l D
D
( ) ( )2 24 4 5x y− + − =
AB l D
l D D D l
D D【详解】抛物线的标准方程为 ，抛物线的焦点坐标为 ，
直线 的斜率 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
当点 到直线 的距离最大时，圆 的面积最大，如下图所示：
设点 ， 点 在直线 的下方，则 ，
点 到直线 的距离为 ，当 时， 取最大值 ，
此时，点 的坐标为 ，因此，圆 的标准方程为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值
问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，
属于中等题.
15.如图（1），在等腰直角 中，斜边 ，D 为 的中点，将 沿 折叠
2 4x y= ( )0,1F
AB
( )2 21
4 24
A B
A B A B
A B A B
x xy y x xk x x x x
−− += = = =− −
l 2 1y x= + 2 1 0x y− + =
D l D
2
, 4
tD t
D l
2
2 1 02
tt − + >
D l
( )2 212 1 5 44 4
5 5
tt t
d
− + − −
= = 4t = d 5
D ( )4,4 D ( ) ( )2 24 4 5x y− + − =
( ) ( )2 24 4 5x y− + − =
ABC∆ 4AB = AB ACD∆ CD得到如图（2）所示的三棱锥 ，若三棱锥 的外接球的半径为 ，则
_________.
图（1） 图（2）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是 ，以及已有的边的长度和角度关系，分
析即可解决．
【详解】解：球是三棱锥 C﹣A'BD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面 A'BD，
取 CD 的中点 E，A'B 的中点 G，连接 CG，DG，
因为 A'D＝BD，CD⊥平面 A'BD，
所以 A'和 B 关于平面 CDG 对称，
在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图中
的 O 点位置，过
O 作直线 CD 的平行线，交平面 A'BD 于点 F，
则 OF⊥平面 A'BD，且 OF＝DE＝1，
因为 A'F 在平面 A'BD 内，所以 OF⊥A'F，
即三角形 A'OF 为直角三角形，且斜边 OA'＝R ，
∴A'F 2，
所以，BF＝2，
所以四边形 A'DBF 为菱形，
又知 OD＝R，三角形 ODE 为直角三角形，
C A BD′− C A BD′− 5
A DB′∠ =
2
3
π
5
5=
2 2 5 1R OF= − = − =∴OE 2，
∴三角形 A'DF 为等边三角形，
∴∠A'DF ，
故∠A'DB ，
故填： ．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档
题．
16.已知 的三边分别为 ， ， ，所对的角分别为 ， ， ，且满足
，且 的外接圆的面积为 ，则
的最大值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由 的三边分别为 ， ， 可得：
，
可知：
，
，
2 2 5 1R DE= − = − =
3
π=
2
3
π=
2
3
π
ABC∆ a b c A B C
1 1 3
a b b c a b c
+ =+ + + + ABC∆ 3π
( ) ( )cos2 4 sin 1f x x a c x= + + +
( ]12,24
ABC∆ a b c
1 1 3
a b b c a b c
+ =+ + + + 3a b c a b c
a b b c
+ + + ++ =+ +
1c a
a b b c
∴ + =+ +
( ) ( ) ( )( )c b c a a b a b b c+ + + = + +
2 2 2ac a c b= + −
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −∴ = =
3B
π=
2 3Rπ π= 3R =，
可知
可知当 时，
则 的最大值的取值范围为
点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练
运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅
助角公式进行化简，本题还是有一定难度．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．）
17.已知等差数列 满足： ，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2）
2sin sin sin
a b c RA B C
∴ = = =
2 3sina A∴ = 2 3sinc C=
( ) 2 3 32 3 sin sin 2 3 sin sin 2 3 sin cos3 2 2a c A C A A A Aπ + = + = + − = +
6sin 6A
π = +
20 3A
π<
OM ON⊥
( )
1 2
4: 4MN y xy y
= −+ ( )1AB y k x= −： C
1 22 2
1 11 4 1AB y yk k
= + − = + E E ( )0 0,x y
2 0
02
41· 1 16 yEM EN yk k
= + − +
· 4EM EN
AB
= 2 0
0
416 16yy k
− + =
P F y 12
p =
C 2 4y x=
0MNk ≠
( )2 2
1 2
1 2 2 1, , ,4 4
y yM y N y y y
>
OM ON⊥ 1 2 16y y = −，
整理可得 ，
直线 ①若斜率存在，设斜率为 ，与 联立得
，
，
若点 存在，设点 坐标为 ，
，
时， ，
解得 或 （不是定点，舍去）
则点 为 经检验，此点满足 ，所以在线段 上，
②若斜率不存在，则 ，
此时点 满足题意，
综合上述，定点 为 .
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解
决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不
存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，
先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
1 2
4:MN k y y
= +
2
1
1
1 2
4
4
yy y xy y
− = − +
( )
1 2
4 4y xy y
= −+
:AB ( ), 1k y k x= − C
2 4 4 0ky y k− − =
1 22 2
1 11 4 1AB y yk k
= + − = +
E E ( )0 0,x y
( ) ( )0 1 2 02 2
1 1· 1 1EM EN y y y yk k
= + − + −
( )( )2
1 2 0 1 2 02
11 y y y y y yk
= + − − + +
2 0
02
411 16 yyk k
= + − +
· 4EM EN
AB
= 2 0
0
416 16yy k
− + =
0 0y = 0
4y k
=
E ( )4,0 2 4y x< MN
4, · 4·4 16AB EM EN= = =
( )4,0E
E ( )4,020.椭圆 的离心率是 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭
圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时 ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0），使得△AMB 是以 AB 为底的等腰三角形，
若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的离心率为 得到 ，于是椭圆方程为 ．有根据题意得
到椭圆过点 ，将坐标代入方程后求得 ，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存
在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，则点 为线段 AB 的垂直平分线与
x 轴的交点．由题意得设出直线 的方程，借助二次方程的知识求得线段 的中点 的坐
标，进而得到线段 的垂直平分线的方程，在求出点 的坐标后根据基本不等式可求出
的取值范围．
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 ，
所以 ，整理得 ．
故椭圆的方程为 ．
由已知得椭圆过点 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆的 方程为 ．
( )2 2
2 2 1 0x yE a ba b
+ =： ＞ ＞ 5
3
3 3AB =
2 2
19 4
x y+ =
5
3
2 24
9b a=
2 2
2 2
14
9
x y
a a
+ =
3 3 ,12
2 9a =
( ),0M m AMB∆ AB M
AB AB C
AB M m
5
3
2
2
51 3
c b
a a
= − = 2 24
9b a=
2 2
2 2
14
9
x y
a a
+ =
3 3 ,12
2 2
927 1
4 4a a
+ = 2 9a =
E
2 2
19 4
x y+ =（Ⅱ）由题意得直线 的方程为 ．
由 消去 整理得 ，
其中 ．
设 ， 中点
则 ，
所以
∴ ，
∴点 C 的坐标为 ．
假设在 轴存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，
则点 为线段 的垂直平分线与 x 轴的交点．
①当 时，则过点 且与 垂直的直线方程 ，
令 ，则得 ．
若 ，则 ，
∴ ．
若 ，则 ，
∴ ．
②当 时，则有 ．
综上可得 ．
的
l 1y kx= +
2 2
1
19 4
y kx
x y
= + + =
y ( )2 24 9 18 27 0k x kx+ + − =
2 2 218 4 9( ) 4 27 ( ) 432(3 1) 0k k k∆ = + × × = + >+
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB ( )0 0,C x y
1 2 1 22 2
18 27,4 9 4 9
kx x x xk k
+ = − = −+ +
1 2
0 2
9
2 4 9
x x kx k
+ −= = + ，
0 0 2
41 4 9y kx k
= + = +
2 2
9 4,4 9 4 9
kC k k
−
+ +
x ( ),0M m AMB∆ AB
( ),0M m AB
0k ≠ C l 2 2
1 9 4
4 9 4 9
ky xk k k
= − + + + +
0y = 2
5 5
44 9 9
kx m k kk
= = − = −+ +
0k >
5 5 5
4 1249 2 9k kk k
≤ =
+ ×
5 012 m− ≤ <
0k <
5 5 5
4 4 129 9k kk k
= − ≥ −
+ − −
50 12m< ≤
0k = 0m =
5 5
12 12m− ≤ ≤所以存在点 满足条件,且 m 的取值范围是 .
【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数
式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，
此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调
性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理
利用变形、换元等方法进行求解．
21.设抛物线 的方程为 ，其中常数 ， 是抛物线 的焦点.
（1）若直线 被抛物线 所截得的弦长为 6，求 的值；
（2）设 是点 关于顶点 的对称点， 是抛物线 上的动点，求 的最大值；
（3）设 ， 、 是两条互相垂直，且均经过点 的直线， 与抛物线 交于点 、
， 与抛物线 交于点 、 ，若点 满足 ，求点 的轨迹
方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）当 时，代入抛物线方程，求得 ，可得弦长，解方程可得 ；
（2）求得 的坐标，设出过 的直线为 ， ，联立抛物线方程，若要使
取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为 0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（3）求得 ，设 ， ， ， ， ， ， ， ， ，设
，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1 的条件，结合向
量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程
【详解】（1）由 可得 ，可得 ，解得 ；
（2） 是点 ， 关于顶点 的对称点，可得 ， ，
M 5 5,12 12
−
Γ 2 2y px= 0p > F Γ
3x = Γ p
A F O P Γ | |
| |
PA
PF
2p = 1l 2l F 1l Γ A
B 2l Γ C D G 4FG FA FB FC FD= + + + G
3
2p = 2 2 3y x= −
3x = y p
A A ( )2
py k x= + tank α=
| |
| |
PA
PF
(1,0)F 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 3(C x 3 )y 4(D x 4 )y ( )G x y,
1 : ( 1)l y k x= −
3x = 6y p= ± 2 6 6p = 3
2p =
A ( 2
pF 0) O ( 2
pA − 0)设过 的直线为 ， ，
联立抛物线方程可得 ，
由直线和抛物线相切可得△ ，解得 ，
可取 ，可得切线的倾斜角为 ，
由抛物线的定义可得 ，而 的最小值为 ，
的最大值为 ；
（3）由 ，可得 ，设 ， ， ， ， ， ， ， ，
，
设 ，联立抛物线 ，可得 ，
即有 ， ，
由两直线垂直的条件，可将 换为 ，可得
， ，
点 满足 ，
可得 ， ， ，
即为 ①，
②，
联立①②式消元可得 ，
则 的轨迹方程为
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定
理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题
22.已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
A ( )2
py k x= + tank α=
2 2
2 2 2( 2 ) 04
k pk x k p p x+ − + =
2 2 4 2( 2 ) 0k p p k p= − − = 1k = ±
1k = 45°
| | 1 1
| | sin(90 ) cos
PA
PF α α= =° − α 45°
| |
| |
PA
PF 2
2 4y x= (1,0)F 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 3(C x 3 )y 4(D x 4 )y
( )G x y,
1 : ( 1)l y k x= − 2 4y x= 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
1 2 2
42x x k
+ = + 1 2 1 2
4( ) 2y y k x x k k
+ = + − =
k 1
k
−
2
3 4 2 4x x k+ = + 3 4 4y y k+ = −
G 4FG FA FB FC FD= + + +
4(x 1 2 3 4) ( 4y x x x x= + + + − 1 2 3 4 )y y y y+ + +
2
1 2 3 4 2
44 4 4x x x x x k k
= + + + − = +
1 2 3 4
44 4y y y y y k k
= + + + = − +
2 2 2
2
1 1( ) 2 2y k k xk k
= − = + − = −
G 2 2y x= −
( ) ( ) ( )2 21 12ln 1 ln 24 2f x x x ax x x= − − − −
( )f x（2）试问是否存在 ，使得 对 恒成立？若存在，
求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 存在； 的取值范围为 .
【解析】
【分析】
（1） ， ，
所以 得 ，所以通过对 与 的大小关系进行分类讨论得 的单
调性；
(2)假设存在满足题意的 的值，由题意需 ，所以由(1)的单调性求
即可；
又因为 对 恒成立，所以可以考虑从区间 内任取一个
值代入，解出 的取值范围，从而将 的范围缩小减少讨论.
【详解】解：（1） ， .
当 时， ， 在 上单调递增
当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
（2）假设存 ，使得 对 恒成立.
则 ，即 ，
设 ，则存在 ，使得 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 时 即 .
又因为 对 恒成立时，需 ，
在
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞
a
a ( ]2,e
( ) ( )( )ln ln ln 1f x x x a x a x x a x= − + − = − −′ ( )0,x∈ +∞
( ) 0f x′ = 1 2,x a x e= = a 0,e ( )f x
a ( )min
13 sin4 4
af x
π> +
( )minf x
( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ [ )1,+∞ x
a ( ],a e∈ −∞
( ) ( )( )ln ln ln 1f x x x a x a x x a x= − + − = − −′ ( )0,x∈ +∞
a e= ( ) ( )( )ln 1 0f x x e x′ = − − ≥ ( )f x ( )0, ∞+
0a ≤ 0x a− > ( )f x ( )0,e ( ),e +∞
0 a e< < ( )f x ( ),a e ( )0,a ( ),e +∞
a e> ( )f x ( ),e a ( )0,e ( ),a +∞
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞
( ) 3 11 2 3 sin4 4 4
af a
π= − > + 8 sin 15 04
aa
π− − >
( ) 8 sin 154
xg x x
π= − − ( ],x e∈ −∞ ( ) 0g x >
( ) 8 cos 04 4
xg x
π π=′ − > ( )g x ( ],x e∈ −∞
( )2 0g = ( ) 0g x > 2x > 2a >
( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ ( )min
13 sin4 4
af x
π> +所以由（1）得：
当 时， 在 上单调递增，所以 ，
且 成立，从而 满足题意.
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以
所以 （*）
设 ， ，则 在
上单调递增，
因为 ，
所以 的零点小于 2，从而不等式组（*）的解集为 ，
所以 即 .
综上，存在 ，使得 对 恒成立，且 的取值范围为
.
【点睛】求可导函数 的单调区间的一般步骤是：
（1）求定义域；
（2）求 ；
（3）讨论 的零点是否存在；若 的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在
定义域内；
（4）判断 在每个区间内的正负号，得 的单调区间.
当 在区间 上恒成立时，需 .
a e= ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( )min
3 31 =2 =24 4f x f a e= − −
3 12 3 sin4 4 4
ee
π− > + a e=
2 ea< < ( )f x ( ),a e [ )1,a ( ),e +∞
( )
( ) 2
11 3 sin ,4 4
13 sin ,4 4 4
af
e af e ea
π
π
> +
= − > +
2
2,
4 sin 12 04
a
aea e
π
> − − − >
( ) ( )24 sin 124 2xh x ex e x e
π= − − − < < ( ) 4 cos 04 4
xh x e
π π= −′ > ( )h x ( )2,e
( ) 22 8 13 0h e e= − − >
( )h x ( )2,+∞
2 x e< < 2 ea< <
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ a
( ]2,e
( )f x
( )f x′
( )f x′ ( )f x′
( )f x′ ( )f x
( )f x a> D ( )minf x a>
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