河北衡水中学 2020 届全国高三第一次联合考试
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法依次表示出集合 ，再求出交集，再判断元素个数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，有 3 个元素，
故选：C．
【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题．
2.已知复数 z 满足 z（1+i）＝1+3i，其中 i 是虚数单位，设 是 z 的共轭复数，则 的虚部是
（ ）
A. i B. 1 C. ﹣i D. ﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据复数代数形式的除法运算求出 ，再根据共轭复数的定义写出 ，从而得出 的虚
部．
【详解】解：∵ ，
{ }6A x N x= ∈ < { }2 ,xB y y x A= = ∈ A B
,A B
{ }6A x N x= ∈ <
{ }0,1,2,3,4,5A =
{ }2 ,xB y y x A= = ∈
{ }1,2,4,8,16,32B =
{ }1,2,4A B =
z z
z z z
( )1 1 3z i i+ = +∴ ，
∴ ，则 虚部为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于
易错题．
3.等差数列{an}中，Sn 为{an}的前 n 项和，若 a2，a4 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+2＝0 的
两个根，则 S5＝（ ）
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
由韦达定理得 ，再利用等差数列的性质即可得出结论．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个根，
∴由韦达定理得 ，
由等差数列的性质得，
，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前 项和的计算，属于基础题．
4.若 f（x）＝ex+ae﹣x 是定义在 R 上的奇函数，则曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方
程是（ ）
A. y＝﹣x B. y＝x C. y＝﹣2x D. y＝2x
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数 是定义在 上的奇函数得 ，求出函数 的解析式，再求出 ，
的
1 3
1
iz i
+= =+
( )( )
( )( )
1 3 1
1 1
i i
i i
+ −
+ −
4 2
2
i+= 2 i= +
2z i= − z 1−
2 4 4a a+ =
2 4,a a x 2 4 2 0x x− + =
2 4 4a a+ =
1 5 2 4 32 4a a a a a+ = + = =
5 4 4 2 10S = + + =
n
( )f x R (0) 0f = ( )f x '( )f x从而可求出切线方程．
【详解】解：∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方
程，属于基础题．
5.已知⊙O 的半径为 1，A，B 为圆上两点，且劣弧 AB 的长为 1，则弦 AB 与劣弧 AB 所围成图
形的面积为（ ）
A. sin1 B. cos1 C. sin D. cos
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△ 的面积，从而得出结论．
【详解】解：设 的半径为 ，劣弧所对的圆心角为 ，弧长为 ，
由弧长公式 得 ，
∴弦 与劣弧 所围成图形的面积 ，
( )f x R
(0) 1 0f a= + = 1a = −
( ) x xf x e e−= −
'( ) x xf x e e−= +
(0) 0f = '(0) 2f =
( )y f x= ( )0, (0)f 2y x=
1 1
2 2
− 1 1
2 2
− 1 1
2 2
− 1
2
1 1
2 2
−
1
2
OAB
O r α l
l rα= 1 11
l
r
α = = =
AB AB 21 1 sin2 2S lr r α= − 1 1 sin12 2
= −故选：A．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题．
6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体
能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整
数）现从该班测验成绩为 94 和 95 的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）
成绩/分 班内排名
甲 95 9
乙 94 11
丙 93 14
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得出成绩为 95 分的有 2 人，94 分的有 3 人，本题是古典概型，求出事件包含的基本
事件数以及基本事件的总数，从而求出答案．
【详解】解：由表格可知，该班成绩为 95 分的有 2 人，94 分的有 3 人，
∴从这 5 名同学中随机抽取 2 名同学，
基本事件总数为 ，
这两位同学成绩相同包含的基本事件数是 ，
∴这两位同学成绩相同的概率 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题．
7.已知双曲线 的左，右焦点分别为 F1，F2，若以 F1F2 为直径的圆
和曲线 C 在第一象限交于点 P，且△POF2 恰好为正三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
2
5
5 4 102C
×= =
2 2
2 3 1 3 4C C+ = + =
4 2 0.410 5p = = =
( )2 2
2 2 1 0, 0x yC a ba b
− = > >：A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设 ，由题意知△ 是直角三角形，利用且 恰好为正三角形，求出
、 ，根据双曲线的定义求得 ， 之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【详解】解：连接 ， 设 ，
则由题意可得 是直角三角形，
由 恰好为正三角形得， ，
∴ ，∴ ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题．
8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动
中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知 1 班不选“农耕”“采摘”；2 班不选“农耕”“酿
酒”；如果 1 班不选“酿酒”，那么 4 班不选“农耕”；3 班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5 班选
择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ）
A. 2 班 B. 3 班 C. 4 班 D. 5 班
【答案】B
1 3
2
+ 1 5
2
+
1 3+ 1 5+
1 2| | 2F F c= 1 2F F P 2POF∆
1| |PF 2| |PF a c
1PF 1 2| | 2F F c=
1 2PF F∆
2POF∆ 2 1 60PF F °∠ =
2| |PF c= 2 2
1| | 4 3PF c c c= − =
1 2| | | | 3 2PF PF c c a∴ − = − =
2 3 1
3 1
ce a
∴ = = = +
−【解析】
【分析】
本题的关键是找出 1，2，3，5 班都不选农耕，则只有 4 班选农耕，再根据逆否命题的真假性，
可得 1 班选酿酒，所以 5 班只有选采摘，逐一选择可得出结果．
【详解】解：由题意，1，2，3，5 班都不选农耕，则只有 4 班选农耕，
根据逆否命题，1 班选酿酒，所以 5 班只有选采摘，
只剩下“野炊”和“饲养”，
因 3 班既不选“野炊”，
故选择“饲养”的班级是 3 班．
故选：B．
【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题．
9.下列关于函数 的说法，正确的是（ ）
A. 是函数 f（x）的一个极值点
B. f（x）在区间[0， ]上是增函数
C. 函数 f（x）在区间（0，π）上有且只有一个零点
D. 函数 f（x）的图象可由函数 y＝2sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可．
【详解】解：函数 ，
当 时， ，所以 不是函数 的一个极值点，所以 A 不正确；
当 时，函数 取得最大值，所以函数在区间 上不是增函数，所以 B 不正确；
由 得 ，则 ，所以在区间 上有
两个零点 ， ，所以 C 不正确；
( ) 22 3 2 1f x cos x sin x= + −
3x
π=
2
π
5
12
π
12
π
2( ) 2cos 3sin 2 1f x x x= + − cos2 3sin 2x x= + 2sin(2 )6x
π= +
3x
π= 12sin(2 )6 2x
π+ =
3x
π= ( )f x
6x
π= ( )f x [0, ]2
π
2sin(2 ) 06x
π+ = 2 ,6x k k Z
π π+ = ∈ ,2 12
kx k Z
π π= − ∈ (0, )π
5
12
π 11
12
π由函数 的图象向左平移 个单位长度得到 ，所以
正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题．
10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含
在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数 V、棱数 E 及面数 F 满足
等式 V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之
一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是
由 12 块黑色正五边形面料和 20 块白色正六边形面料构成的．20 世纪 80 年代，化学家们成功
地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球
（Buckyball）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）
A. 180 B. 120 C. 60 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
设巴克球顶点数 、棱数 及面数 ，计算出面数和棱数即可求出顶点数．
【详解】解：依题意，设巴克球顶点数 、棱数 及面数 ，
则 ，
每条棱被两个面公用，故棱数 ，
所以由 得： ，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题．
11.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，E，F 是线段 AC1 上的点，且 AE＝EF＝FC1，分别过点 E，
F 作与直线 AC1 垂直的平面 α，β，则正方体夹在平面 α 与 β 之间的部分占整个正方体体积的
（ ）
2sin 2y x=
12
π
2sin(2( )) 2sin(2 )12 6y x x
π π= + = +
D
V E F
V E F
20 12 32F = + =
5 12 6 20 902E
× + ×= =
2V E F− + = 90 32 2V − + = 60V =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造平面 ，平面 ，设正方体边长为 1，根据等体积法计算 到平面 的距离
，从而可得出 ， 分别为 与平面 和平面 的交点，计算中间几何体的
体积得出答案．
【详解】解：
构造平面 ，平面 ，则 平面 ， 平面 ，
设正方体边长为 1，则 ， ， ，
，
设 到平面 的距离为 ，则 ，解得 ，
平面 ，同理可得 平面 ，
正方体夹在平面 与 之间的部分体积为 ，
∴体积之比是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
知识，考查运算求解能力，属于中档题．
1
3
1
2
2
3
3
4
1A BD 1 1CB D A 1A BD
3
3h = E F 1AC 1A BD 1 1CB D
1A BD 1 1CB D 1AC ⊥ 1A BD 1AC ⊥ 1 1CB D
1 1 2A B A D BD= = = 1 3AC = 1
3
3AE EF FC∴ = = =
1 1 1 1
1 1 113 2 6A ABD C B C DV V− −∴ = = × × =
A 1A BD h 1 1
21 3 1( 2)3 4 6A AB DV h− = =
3
3h =
E∴ ∈ 1A BD F ∈ 1 1CB D
∴ α β 1 21 26 3
− × =
2
312.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上且异于长轴端点．点 M，
N 在△PF1F2 所围区域之外，且始终满足 ， ，则|MN|的最大值为
（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ， 的中点分别为 ， ，则 ， 在分别以 ， 为圆心的圆上，直线 与
两圆的交点 △ 所围区域之外）分别为 ， 时， 的最大，可得 的最大
值为 即可．
【详解】解：设 ， 的中点分别为 ， ，
， ，则 ， 在分别以 ， 为圆心的圆上，
∴直线 与两圆的交点 △ 所围区域之外）分别为 ， 时， 最大，
∴ 的最大值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知非零向量 满足 ， ，则 与 的夹角为__________．
【答案】
2 2
116 12
x yC + =：
1 0MP MF⋅ =
2 0NP NF⋅ =
1PF 2PF C D M N C D CD
( 1 2PF F M N | |MN | |MN
1 2
2
PF PF CD a c
+ + = +
1PF 2PF C D
1 0MP MF =
2 0NP NF =
M N C D
CD ( 1 2PF F M N | |MN
| |MN 1 2 4 2 62
PF PF CD a c
+ + = + = + =
,a b | | | |a b= 3a b b− = a b
120°【解析】
由题意， ，得 ，所以 ，
所以夹角是 ．
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】
由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥 ，其中， 底面 ，
是正方形，边长为 3， ，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．
【详解】解：由题意几何体的直观图如图，
其中， 底面 ， 是正方形，
边长为 3， ， ，
所以 ， ，
所以最长的棱长为 4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基
础题．
15.已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝4，且
2 2 22 3a b a b b + − ⋅ = 2 2
2 cos ,b a b b− = 1cos , 2a b = −
120°
P ABCD− PO ⊥ ABCD ABCD
2PO =
PO ⊥ ABCD ABCD
2PO = 1
2AO AC=
24 (2 2) 4PC = + = 2 2 22 2 1 3PB PD= = + + =，则 b+c 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知等式和余弦定理，可推出 ，即 ， ，又知 ，所以 ；
因 为 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 ， 所 以 角 为 锐 角 ， ； 由
，设 ，用 表示出 ，并求出 的取值范围，进而得
的取值范围．
【详解】解： ，且 ，
，即 ，
又 由余弦定理可得 ，
可得 ，即 ，
， ，又 为锐角， ，
， ，
设 ，由余弦定理知 ，
，
， ， ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题．
16.已知曲线 y＝|lnx|与直线 y＝m 有两个不同的交点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设直
线 l1，l2 分别是曲线 y＝|lnx|在点 P1，P2 处的切线，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B．△P2AB
为等边三角形，则实数 m 的值为_____．
【答案】
【解析】
2 22 2
aa bcosB b c − + =
(4 2, )+∞
cos cosB C= B C= b c= 4a = 4b c+ >
ABC A cos (0,1)A∈
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − b c x= = cos A x x
2b c x+ =
4a =
2 22 ( cos )2
aa b B b c− + =
2 2 22 cosa ab B b c∴ − + = 2 2 2 2 cosa b c ab B+ − =
2 2 2 2 cosa b c ab C+ − =
∴ 2 cos 2 cosab B ab C= cos cosB C=
B C∴ = b c= A cos (0,1)A∴ ∈
4a = 4b c∴ + >
b c x= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 216 2 2 cos 2 (1 cos )x x A x A∴ = − = −
∴ 2 8 81 cosx A
= >−
∴ 2 2x > 2 4 2x >
4 2b c+ >
(4 2, )+∞
ln 3【分析】
由对数的运算性质可得 ， ，分别求得 和 的导数，可得切
线的斜率和切线的方程，以及 ， 的坐标，可得等边三角形的边长，可得 ，进而得到
的值．
【详解】解：由曲线 与直线 有两个不同的交点，可得 ，即有
， ，
由 的导数为 ，可得切线 的斜率为 ，切线的方程为
，
令 得 ，即 ，
由 的导数为 ，可得切线 的斜率为 ，切线的方程为 ，
令 得 ，即 ，则 ，
由△ 为等边三角形，可得 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题．
三、解答題：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答.
（一）必考题：共 60 分．
17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者
走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种
类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示．
表一：
价格/（元/千克） [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35）
种类数 4 12 16 6 2
1 2 1=x x 1 20 1x x< < < y lnx= y lnx= −
A B 2x m
| ln |y x= y m=
1 2ln lnx x- =
1 2 1=x x 1 20 1x x< < <
lny x=− 1y x
′ = − 1l
1
1
x
−
1 1
1
1( ln ) ( )y x x xx
− − = − −
0x = 11 lny x= − 1(0,1 ln )A x−
lny x= 1y x
′ = 2l 1
2
1 xx
=
2 1 2ln ( )y x x x x− = −
0x = 2 1 2 1ln ln 1y x x x x= − = − − 1(0, ln 1)B x− − | | 2AB =
2P AB 2
3 2 32x = =
2| ln | ln 3m x= =
ln 3在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了
蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，
记者随机对 100 名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二．
表二：
喜欢传统馅料粽 喜欢特色馅料粽 总计
40 岁以下 30 15 45
40 岁及以上 50 5 55
总计 80 20 100
（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据表二信息能否有 95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？
参考公式和数据： （其中 为样本容量）
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25 元/千克（2）有 95%的把握认为顾客的粽子口
味偏好与年龄有关
【解析】
【分析】
（1）根据表一的数据计算平均数即可；
（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论．
【详解】解：（1）根据表一的数据，
，
估计该商场粽子的平均销售价为 21.25；
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + ， n a b c d= + + +
1 (12.5 4 17.5 12 22.5 16 27.5 6 32.5 2) 21.2540x = × × + × + × + × + × =（2）根据表二信息，
，
所以有 的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．
【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题．
18.已知{an}是等比数列， ，且 成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【答案】（1）an＝（ ）n（2）
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为 ，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和
公比 的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得 ，再由数列的裂项相消求和．
【详解】解：（1）设 是公比为 的等比数列， ，且 成等差数列，
可得 ， ，即 ，
解得 ，
则 ；
（2） ，
∴ ．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，
以及化简运算能力，属于中档题．
19.如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ABC＝60°，AC 与 BD 交于
点 O，PO⊥平面 ABCD，E 为 CD 的中点连接 AE 交 BD 于 G，点 F 在侧棱 PD 上，且 DF
PD．
2
2 100 (30 5 50 15) 100 9.091 3.84180 20 45 55 11K
× × − ×= = ≈ >× × ×
95%
3
1
8a = 1 2 3
1
16a a a+， ，
1 2 1 1 2 1
2 2
2
n
n n
b
log a log a− +
=
1
2
2
2 1
n
n +
q
q
2
(2 1)(2 1)nb n n
= − +
1 1
2 1 2 1n n
= −− +
{ }na q 3
1
8a = 1 2 3
1, ,16a a a+
2
1
1
8a q = 1 3 2
12( )16a a a+ = + 2
1 1 1
12( )16a a q a q+ = +
1
1
2a q= =
1
1
1( )2
n n
na a q −= =
1 2 1 1 2 1
2 2
2
(log )(log )n
n n
b a a− +
=
2 1 2 1
1 1
2 2
2
1 1( ) ( )2 2
n nlog log− +
=
2
(2 1)(2 1)n n
= − +
1 1
2 1 2 1n n
= −− +
1 1 11 3 3 5nT = − + − +… 1 1
2 1 2 1n n
+ −− +
11 2 1n
= − +
2
2 1
n
n
= +
1
3
=（1）求证：PB∥平面 AEF；
（2）若 ，求三棱锥 E﹣PAD 的体积．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法证明 平面 ；
（2）求出 ， ，由 ，求出 ，三棱锥
的体积 ，由此能求出结果．
【详解】（1）证明：四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
与 交于点 ， 平面 ，
为 的中点连接 交 于 ，点 在侧棱 上，且 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
2
4cos BPA∠ =
3
6
O OB x OC y OP z
//PB AEF
(0, 1, )PA a= − − ( 3,0, )PB a= − 2cos 4BPA∠ = 1PO =
E PAD− E PAD P ADEV V− −=
P ABCD− ABCD 60ABC∠ = °
AC BD O PO ⊥ ABCD
E CD AE BD G F PD 1
3DF PD=
O OB x OC y OP z设 ，则 ， ， ， ， ， ，
，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
， 平面 ，
平面 ；
（2）解： ， ，
， ，
由 ，解得 ， ，
三棱锥 的体积：
．
【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20.已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的极值；
(2)问：是否存在实数 ,使得 有两个相异零点？若存在,求出 的取值范围；若不存在,
请说明理由.
【 答 案 】 (1) ① 当 时 ， 函 数 无 极 值 .② 当 时 , 函 数 有 极 小 值 为
,无极大值；(2)存在,
【解析】
【分析】
(1)对函数 求导,根据 的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数 的极值；
PO a= (0,0, )P a (0, 1,0)A − ( 3,0,0)B (0,1,0)C ( 3,0,0)D − 3 1( , ,0)2 2E −
2 3( ,0, )3 3
aF −
( 3,0, )PB a= − 3 3( , ,0)2 2AE = − 2 3( ,1, )3 3
aAF = −
AEF ( , , )n x y z=
3 3· 02 2
2 3· 03 3
n AE x y
an AF x y z
= − + =
= − + + =
3x = 3( 3,1, )n a
=
3 0 3 0PB n = + − = PB ⊂/ AEF
//PB∴ AEF
(0, 1, )PA a= − − ( 3,0, )PB a= −
2cos 4BPA∠ = ∴ 2
2 2
| | 2
4| | | | 1 3
PA PB a
PA PB a a
= =
+ +
0a > 1a = 1PO∴ =
E PAD−
1
3E PAD P ADE ADEV V S PO− − ∆= = × × 1 1 1
3 2 2CD AE AO= × × × × × 1 12 4 1 16 2
= × × − × × 3
6
=
( ) xf x ae x a= − − e
( )f x
a ( )f x a
0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x
( ln ) ln 1f a a a− = − + (0,1) (1, )a∈ +∞
( )f x a ( )f x(2)根据 的不同取值范围,进行分类讨论,结合 、函数的极值的大小、(1)中的结论,最
后求出 的取值范围.
【详解】解：(1)因为 ,所以 .
①当 时， ，
所以 时, ,所以函数 在 上单调递减.
此时，函数 无极值.
②当 时,令 ，得 ,
当 时, ,所以函数 上单调递减；
当 时, ,所以函数 在 上单调递增.
此时,函数 有极小值为 ,无极大值.
(2)存在实数 ,使得 有两个相异零点.
由(1)知：①当 时,函数 在 上单调递减；
又 ,所以此时函数 仅有一个零点；
②当 时，
因为 ,则由（1）知 ；
取 ,令 ,
易得 ,所以 在 单调递减,
所以 ,所以 .
此时,函数 在 上也有一个零点.
所以,当 时,函数 有两个相异零点.
③当 时, , ，
此时函数 仅有一个零点.
④当 时, ,因为 ,则由(1)知 ；
在
a (0) 0f =
a
( ) xf x ae x a= − − ( ) 1xf x ae′ = −
0a ≤ ( ) 1 0xf x ae′ = − <
( , )x∈ −∞ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )−∞ +∞
( )f x
0a > ( ) 1 0xf x ae′ = − = lnx a= −
( , ln )x a∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , ln )a−∞ −
( ln , )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ln , )a− +∞
( )f x ( ln ) ln 1f a a a− = − +
a ( )f x
0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞
(0) 0f = ( )f x
0 1a< < ln 0a− >
(0) 0f = ( ln ) 0f a− <
1( 2ln ) 2ln (0 1)f a a a aa
− = + − < < 1( ) 2lng a a aa
= + −
2
2 2
1 2 ( 1)( ) 1 0ag a a a a
−′ = − + − = − < ( )g a (0,1)
( ) (1) 0g a g> = 1( 2ln ) 2ln 0f a a aa
− = + − >
( )f x ( ln , 2ln )a a− −
0 1a< < ( )f x
1a = ln 0a− = ( ) (0) 0f x f≥ =
( )f x
1a > ln 0a− < (0) 0f = ( ln ) 0f a− 1( ) 1 0( 1)h a aa
′ = − > >
( ) (1) 0h a h> = lna a> lna a− < −
( ) 0af a ae−− = > ( )f x ( , ln )a a− −
1a > ( )f x
(0,1) (1, )a∈ +∞ ( )f x
l y x t= + y 1(A x 1)y 2(B x 2 )y
p
2
2
xy p
= A B A B
A B
S
l y x t= + 2: 2 ( 0)C x py p= >
2 2 2 0x px pt− − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2x x p+ =
(1,2)M AB 2 2p = 1p =
2 2x y=
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y (1,2)M AB可得 ， ，
由 的导数为 ，可得抛物线在 处的切线斜率为 ，切线方程为
，
由 ，可得 ，①
同理可得 ，②
① ②可得 ，
即为 ，即 ．
可得交点 在一条定直线 上．
【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，
属于中档题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 2223 题中任选一题作答．如果多做则按所
做的第一题计分．
22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点 O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 相切，求 m 的值．
【答案】（1）直线l 的普通方程为 x+2y﹣4﹣2m＝0；曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4x﹣1
＝0（2）m 或
【解析】
【分析】
（1）由消参法可得直线的普通方程；由 ， ， ，代入化
简可得曲线 的直角坐标方程；
（2）求得曲线 表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件： ，运用点到直线的
距离公式，解方程可得所求值．
1 2 2x x+ = 1 2 4y y+ =
2
2
xy p
= xy p
′ = A 1x
p
1
1 1( )xy y x xp
− = −
2
1 12x py= 1 1( )x x p y y= +
2 2( )x x p y y= +
+ 1 2 1 2( ) (2 )x x x p y y y+ = + +
2 (2 4)x p y= + 2 0x py p− − =
S 2 0x py p− − =
4
1
2
x t
y m t
= − = +
3
2
= 7
2
−
2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ=
C
C d r=【详解】解：（1）直线 的参数方程为 ， 为参数），
可得 ，
即直线 的普通方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
即为 ，
由 ， ， ，
可得 ；
（2）由（1）可得曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆，
由直线 与曲线 相切，可得圆心到直线的距离为半径，
即为 ，解得 或 ．
【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，
考查化简运算能力，属于中档题．
23.已知函数 f（x）＝|x+4m|+|x+2m+1﹣3|．
（1）当 m＝1 时，求不等式 f（x）≥7 的解集；
（2）试证明 f（x）≥2．
【答案】（1）{x|x≥1 或 x≤﹣6}（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将 代入 中，然后将 写为分段函数的形式，再根据 分别解不等式
可得解集；
（2）由绝对值三角不等式可得 ，从而证明结
论．
【详解】解：（1）当 时， ．
l
4
1
2
x t
y m t
= − = +
(t
2 4 2 4 2x y t m t m+ = − + + = +
l 2 4 2 0x y m+ − − =
C 2 2( 2cos ) 5 4sinρ θ θ− = −
2 2 24 cos 4cos 5 4sinρ ρ θ θ θ− + = −
2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 2 4 1 0x y x+ − − =
C (2,0) 5
l C
| 2 0 4 2 | 5
1 4
m+ − − =
+
3
2m = 7
2
−
1m = ( )f x ( )f x ( ) 7f x
1 2( ) | ( 4 ) ( 2 3) | | (2 1) 2 | 2m m mf x x x ++ − + − = − +
1m =
2 5, 1
( ) 4 1 3, 4 1
2 5, 4
x x
f x x x x
x x
+ > −
= + + + = − −
− − < −
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以不等式的解集为 或 ；
（2）证明：
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和
转化思想，属于中档题．
( ) 7f x
2 5 7
1
x
x
+
> −
2 5 7
4
x
x
− −
< −
1x 6x −
{ | 1x x 6}x −
1 1( ) | 4 | | 2 3| | ( 4 ) ( 2 3) |m m m mf x x x x x+ += + + + − + − + −
1 2| 4 2 3| | (2 1) 2 | 2m m m+= − + = − +
2 1m = 0m =
( ) 2f x
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