2019-2020 学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)
一、选择题
1.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数
的值为（ ）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 在点 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出 的值.
【详解】由题意， ， ，则曲线 在点
处的切线斜率为 4，由于切线与直线 垂直，则 ，解得 .
故选 C.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基
础题.
2.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列且 ，
则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： ，
，则： .
本题选择 C 选项.
3.对于函数 ，若存在区间 使得 则称函数 为“同域
函数”，区间 A 为函数 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
① ；② ；③ ；④ .
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ）
( ) cos 3f x x x x= + ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + =
a
( )f x ( )( )0, 0f a
( ) cos sin 3f x x x x′ = − + ( )0 cos0 3 4f ′ = + = ( )f x
( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = 4 14
a− × = − 1a =
{ }na 2
5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a=
2 12b b
4
9
3
2
9
4
2
3
( ) ( )2 2 2
5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − =
7 7
30, 2a a≠ ∴ =
2 2
2 12 7 7
9
4b b b a= = =
( )f x [ , ]A m n= { | ( ), }y y f x x A A= ∈ = ( )f x
( )f x
( ) cos 2f x x
π= 2( ) 1f x x= − 2( ) | 1|f x x= − 2( ) log ( 1)f x x= −A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①②④
【答案】A
【解析】
① ， x∈[0 ， 1] 时 ， f （ x ） ∈[0 ， 1] ， 所 以 ① 存 在 同 域 区 间 ；
② ， x∈[-1 ， 0] 时 ， f （ x ） ∈[-1 ， 0] ， 所 以 ② 存 在 同 域 区 间 ；
③ ， x∈[0 ， 1] 时 ， f （ x ） ∈[0 ， 1] ， 所 以 ③ 存 在 同 域 区 间 ；
④ ，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数 y=x 是否有两个交
点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为
①②③．
点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的
求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数 f（x）和函
数 y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．
4.设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1，下列说法正确
的是（ ）
A. 若 确定，则 唯一确定 B. 若 确定，则 唯一确定
C. 若 确定，则 唯一确定 D. 若 确定，则 唯一确定
【答案】B
【解析】
【分析】
对式子 平方转化成关于 的二次函数，再利用最小值为 1，得到 ，进
而判断 与 之间的关系．
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 ，所以 ，即 .所以 确定， 唯一确定.
( ) cos 2f x x
π=
( ) 2 1f x x= −
( ) 2 1f x x= −
( ) ( )2log 1f x x= −
θ ,a b t b ta+
θ a θ b
a θ b θ
b ta+ t ( )2 21 cos 1b θ− =
θ b
2 2 22 22 22 2 cosb ta b ta b t a a t a b t bθ+ = + ⋅ + = + ⋅ ⋅ +
min
1b ta+ = ( )
2 2 2 2 2
2 2
2
4 4 cos
1 cos 1
4
a b a b
b
a
θ
θ
⋅ − ⋅
= − =
2 2sin 1b θ = sin 1b θ = 1
sinb θ= θ b故选 B.
【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，
求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把 看成实数．
5.已知点 是直线 上一动点， 与 是圆 的两
条切线， 为切点，则四边形 的最小面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用当 与直线 垂直时， 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出
的最小值，然后利用勾股定理计算出 、 的最小值，最后利用三角形的面积公
式可求出四边形 面积的最小值．
【详解】如下图所示：
由切线的性质可知， ， ，且 ，
，
当 取最小值时， 、 也取得最小值，
显然当 与直线 垂直时， 取最小值，且该最小值为点 到直线
2 2| | ,| |a b
( ),P x y 2 2 4y x= − PM PN ( )22: 1 1C x y+ − =
,M N PMCN
4
3
2
3
5
3
5
6
CP 2 2 4y x= − PC
PC PM PN
PMCN
CM PM⊥ CN PN⊥ PCM PCN∆ ≅ ∆
2 2 2 1PM PN PC CM PC= = − = −
PC PM PN
CP 2 2 4y x= − PC ( )0,1C的距离，即 ，
此时， ，
四边形 面积的最小值为 ，故选 A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解
切线长的最小值时，要抓住以下两点：
（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；
（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．
6.已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像最低点求得 ，根据函数图像上两个特殊点求得 的值，由此求得函数 解
析式，进而求得 的值.
【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 ， 函 数 图 像 最 低 点 为 ， 故 ， 所 以
2 2 4y x= − ( ) ( )min 2 2
1 4 5
32 2 1
PC
− −= =
+ −
2
2
min min min
5 41 13 3PM PN PC = = − = − =
∴ PMCN min
1 1 4 42 2 12 2 3 3PM CM× ⋅ = × × × =
( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A
πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f
π =
2
2
− 1
2
− 1− 2
2
A ,ω ϕ ( )f x
3π
4f
7π , 212
− 2A =，将点 代入 解析式得 ，
解得 ，故 ，所以 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档
题.
7.已知函数 ，若 恒成立，则实数 a 的最小正值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简 f(x),分析出 f(x)本身的最小正周期 T，再根据 分析出用 a 表示 f(x)
的最小正周期，最后根据两者相等，求得 a 的最小正值．
【详解】由 ，则 ，所以 f(x) 最小正周期 T=
因为 ，则 ，这 f(x)的最小正周期 T=
,所以 = ，所以实数 a 的最小正值是 ，故答案选 D
【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析
函数周期
8.设 为数列 的前 项和， ， ，则数列 的前 20 项和为（ ）
A. B. C. D.
的
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212
−
( )f x
2sin 3
7π2sin 212
ϕ
ω ϕ
= + = −
2
π
3
ω
ϕ
= =
( ) π2sin 2 3f x x = +
3π 3π π2sin 2 14 4 3f = × + = −
1( ) 4sin cos2f x x x= − ( ) ( )f x a f x a− = − +
2π π
2
π
4
π
( ) ( )f x a f x a− = − +
1( ) 4sin cos2f x x x= − 1( ) 2sin 22f x x= − π
( ) ( )f x a f x a− = − + ' , ( ) ( 2 )x x a f x f x a= + = − +‘ ，令 则 ，
4 a 4 a π
4
π
nS { }na n 1 1a = 1 2n na S+ = 1{ }
na
19
3 1
2 2 3
− × 19
7 1
4 4 3
− × 18
3 1
2 2 3
− ×
18
7 1
4 4 3
− ×【答案】D
【解析】
， 相减得 由 得出
， =
=
故选 D
点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注
意 n 的范围，有的时候要检验 n=1 的时候，本题就是检验 n=1,不符合，通项是分段的.
9.椭圆 的左右焦点分别是 、 ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且
与椭圆交于点 P，若直线 恰好与圆 相切于点 P，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知 ，又 恰好与圆 相切于点 P，可知 且
，即可列出方程求椭圆的离心率.
【详解】由 恰好与圆 相切于点 P，可知 ，且 ，
又 ，可知 ，
在 中， ，
1 2n na S+ = ∴ 12n na S −= ( )1 3 2n na a n+ = ≥ 1 1a = 2 2 12, 3a a a= ≠
( ) 2
1, 1
2 3 , 2nn
n
a
n−
== ≥
1
na
2
1, 1
1 1 , 22 3
n
n
n
−
=
≥
0 1 18
1 2 20
1 1 1 1 1 1 1...... 1 ......2 3 3 3a a a
∴ + + + = + + + +
19
19
111 1 3 131 1 112 2 2 31 3
− = + = + ⋅ − −
18
7 1
4 4 3
− ×
na nS
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F 2F
1PF 2F
3 1
2
+
3 1− 2
2
5 1
2
−
1 2| || | 2PF PF a+ = 1PF 2F 2| |PF c=
1 2PF PF⊥
1PF 2F 2| |PF c= 1 2PF PF⊥
1 2| || | 2PF PF a+ = 1| | 2PF a c= −
1 2Rt PF F∆ 2 2 2(2 ) 4a c c c− + =即
所以 ，
解得 ，
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.
10.已知函数 的图像的一条对称轴为直线 ，且
，则 的最小值为( )
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用辅助角公式，化简函数 的解析式，由对称轴的方程，求得 的值，得出函数
的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数 为辅助角 ，
由于函数的对称轴的方程为 ，且 ，
即 ，解得 ，所以 ，
又由 ，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设 ， ，
所以 ，
当 时， 的最小值 ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化
简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和
解答问题的能力，属于中档试题.
2 22 2a ac c− =
2 2 2 0, (0,1)e e e+ − = ∈
2 12 3 12e
− += = −
( ) sin 3 cosf x a x x= − 5
6x
π=
1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+
3
π−
3
π 2
3
π
( )f x a ( )f x
2( ) sin 3 cos 3sin( )(f x a x x a x θ θ= − = + + )
5
6x
π= 5 3( )6 2 2
af
π = +
23 32 2
a a+ = + 1a = ( ) 2sin( )3f x x
π= −
1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = −
1 1 1
52 ,6x k k Z
ππ= + ∈ 2 2 22 ,6x k k Z
ππ= − ∈
1 2 1 2
22 2 ,3x x k k k Z
ππ π+ = + + ∈
1 2 0k k= = 1 2x x+ 2
3
π11.若函数 只有一个极值点，则 k 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数求导函数 f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），只有一个极值点时 f′
（x）＝0 只有一个实数解，有 ex﹣kx≥0，设新函数设 u（x）＝ex，v（x）＝kx，等价转化数
形结合法即可得出结论，
【详解】解：函数 f（x）＝ex（x﹣3）﹣ kx3+kx2 只有一个极值点，
f′（x）＝ex（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（ex﹣kx），
若函数 f（x）＝ex（x﹣3）﹣ kx3+kx2 只有一个极值点，f′（x）＝0 只有一个实数解，
则：ex﹣kx≥0，
从而得到：ex≥kx，
当 k＝0 时，成立．
当 k≠0 时，设 u（x）＝ex，v（x）＝kx
如图：
当两函数相切时，k＝e，此时得到 k 的最大值，但 k＜0 时不成立．
故 k 的取值范围为：（0，e]
综上：k 的取值范围为：[0，e]
故选 B．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − + ()
( , )e−∞ (0, ]e ( ,2)−∞ (0,2]
1
3
1
3形结合法，考查了推理能力，属于中档题．
12.双曲线 左右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交曲线左支于 A，
B 两点，△F2AB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为
e，则 e2＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，根据 是以 为直角顶点的直角三角形，且 ，以及双曲线
的性质可得 ，再根据勾股定理求得 的关系式，即
可求解.
【详解】由题意，设 ，如图所示，
因为 是以 为直角顶点的直角三角形，且 ，
由 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ， ，
在直角 中， ，即 ，
整理得 ，所以 ，
故选 D.
的( )2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
− = ＞ ， ＞
11 4 3+ 13 5 3+ 16 6 3−
19 10 3−
2 2BF m= 2F AB∆ A 2 30AF B∠ =
2 12 (3 3), 2 (2 3)AF a AF a= − = − ,a c
2 2BF m=
2F AB∆ A 2 30AF B∠ =
2 1 2AF AF a− = 1 3 2AF m a= −
2 1 2BF BF a− = 1 2 2BF m a= −
1 1AF BF AB+ = 3 2 2 2m a m a m− + − =
2 ( 3 1)m a= −
2 3 2 ( 3 1) 2 (3 3)AF a a= ⋅ − = − 1 2 (3 3) 2 2 (2 3)AF a a a= − − = −
1 2F AF∆ 2 2 2
1 2 4AF AF c+ = 2 2 2 2 24 (3 3) 4 (2 3) 4a a c− + − =
2 2(19 10 3)a c− =
2
2
2 19 10 3ce a
= = −
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求
双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一
个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程，即可得
的值(范围)．.
二、填空题
13.已知向量 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】
把 平方，将 代入，化简即可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
，故答案为 .
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有
两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向
量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投
影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.
14.已知抛物线 E： 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线 m 与 E 交于 A，B 两点，过 A
,a c ce a
=
, ,a b c ,a c e e
, , 1, 2a b a b= = 2 10a b+ = a b⋅ =
1
2
2 10a b+ = 1, 2a b= =
1, 2a b= =
2 22 4 4 8 4 10a b a a b b a b+ = + ⋅ + = + ⋅ =
1
2a b∴ ⋅ = 1
2
cosa b a b θ⋅ =
1 2 1 2a b x x y y⋅ = +
cos a b
a b
θ =
a b
a b
a b
b
⋅
,a b 0a b⋅ = ma nb+ a b⋅
2 12y x＝作 ，垂足为 M，AM 的中点为 N，若 ，则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意画出图形，得到直线 的斜率，进一步求得直线 的方程，与抛物线方程联立求解
即可得答案．
【详解】 ， 为 的中点，且 ，
，则直线 的倾斜角为 ，斜率为 ．
由抛物线 ，得 ，则直线 的方程为 ．
联立 ，得 ．
则 ，
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，
属于中档题．
15.已知函数 ，若当 时， 有解，则 m 的取值
范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
先求导数，判断函数 的单调性，可得 时大致图象，利用数形结合
AM l⊥ AM FN⊥ AB ＝
AB AB
AF AM= N AM FN AM⊥
30AFN∴∠ = ° AB 60° 3
2 12y x= (3,0)F AB 3( 3)y x= −
2
3( 3)
12
y x
y x
= − =
2 10 9 0x x− + =
10A Bx x+ =
| | 16A BAB x x p∴ = + + =
2 1( ) ( )2 xf x x x e −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤
( 1, )− +∞
2 1( ) ( )2 xf x x x e −= − 1x >求解.
【详解】
过定点
当 时， 有解
当 时,存在 在 的下方，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上递减，在 上递增，
当 时， ，
又 ，
作函数 ， 的大致图象：
由图象可知： 时满足条件，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，
属于难题.
16.数列 为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出 ，接
着复制该项后，再添加其后继数 2，于是 ， ，然后再复制前面所有的项 1，1，2，
再添加 2 的后继数 3，于是 ， ， ， ，接下来再复制前面所有的项 1，
( ) 1 0f x mx m− + +
( ) ( 1) 1f x m x∴ − −
( 1) 1y m x= − − (1, 1)−
1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤
∴ 1x > ( )y f x= ( 1) 1y m x= − −
( )2 1( ) 2 xf x x e −′ = −
( ) 0f x′ = 2x =
1 2x< < ( ) 0f x′ < 2x > ( ) 0f x′ >
( )f x∴ (1, 2) ( 2, )+∞
2x > ( ) 0f x >
(1) 1, ( 2) 1, (2) 0f f f= − < − =
( )y f x= ( 1) 1y m x= − −
1m > −
( 1, )− +∞
{ }na 1 1a =
2 1a = 3 2a =
4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a =1，2，1，1，2，3，再添加 4，…，如此继续，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据数列构造方法可知： ，即 ；根据变化规律可得
，从而得到结果.
【详解】由数列 的构造方法可知 ， ， ， ，可得：
即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列
各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.
三、解答题
17.如图为一块边长为 的等边三角形地块 ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化
改造，计划从 的中点 出发引出两条成 角的线段 和 ，与 和 围成四边
形区域 ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设 ．
（1）当 时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
2019a =
2 1na n−
= ( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 2a a=
{ }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a =
2 1na n−
=
( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = =
1
2km ABC
BC D 60 DE DF AB AC
AEDF BDE α∠ =
60α =
( )S α
23
2 km 3 3 3,8 2
【分析】
（1）根据角度可确定四边形 为平行四边形，则 和 均为边长为 的等
边三角形；利用 即可求得结果；（2）利用正弦定理，用 表示出
和 ， 利 用 两 角 和 差 公 式 、 二 倍 角 公 式 和 辅 助 角 公 式 可 将 化 简 为
，利用 可求得 的范围；从而将所求面积表示为
，进而得到所求范围.
【详解】（1）当 时， ，
四边形 为平行四边形，则 和 均为边长为 的等边三角形
又 ，
绿化面积为：
（2）由题意知：
在 中， ，由正弦定理得：
在 中， ，
由正弦定理得：
AEDF BDE∆ CDF∆ 1km
ABC BDE CDFS S S∆ ∆ ∆− − α BE
CF BE CF+
( )
31
2sin 2 30 1α
+
− + 30 90α<
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
( )h x 3(1) 1 0h e
= − <
1x e
= 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e
− + −= − − + − − − = >
( )h x 1( ,1)e
x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e
= − + − − >
( )h x (1, )e
2 1
1x x e e
− < − 1 2
1x e x e
+ > +用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范
围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过定点 .
（1)求椭圆 的方程；
（2)已知直线 与椭圆 交于 两点，试问在 轴上是否存在定点 ，
使得以弦 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标和 的面积的最大值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量
的方程组，求解即可．
（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦 为直径的圆
恒过点 ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．
【详解】解：（1)由已知 ，椭圆 的方程为
.
（2)由 得 .①
设 ，则 方程①的两根，
C
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > > 2
2
2(1, )2M
C
1: ( )3l y kx k R= − ∈ C ,A B y P
AB P P PAB∆
2 22 4 15 5
y x+ =
, ,a b c
AB
P
2
2 2 2
2
2 2
2 52 2
51 1 1 42
ce a a
b c a
b
a b
= = = + = ⇒
= + =
C
2 22 4 15 5
y x+ =
2 2
1
3
2 4 15 5
y kx
y x
= −
+ =
2 29(2 4) 12 43 0k x kx+ − − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2,x x
1 2 1 22 2
12 43,9(2 4) 9(2 4)
kx x x xk k
∴ + = = −+ +设 ，则 ，
假设在 y 轴上存在定点 P，使得以弦 为直径 圆恒过点 P，
则 ，即 ，
即 对任意 恒成立，
此方程组无解，∴不存在定点满足条件．
【点睛】本题的关键是将条件“以弦 为直径的圆恒过点 ”，几何关系代数化，和联立方
程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数 的方程．
的
(0, )P p 1 1 2 2( , ), ( , )PA x y p PB x y p= − = −
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2( ) ( )( ) ( )3 3 3
pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p⋅ = + − + + = + − − − + + +
2 2 2
2
(18 45) 36 24 39
9(2 4)
p k p p
k
− + + −= +
AB
PA PB⊥ 0PA PB⋅ =
2 2 2(18 45) 36 24 39 0p k p p− + + − = k ∈R
2
2
18 45 0
36 24 39 0
p
p p
− =∴ + − =
AB P
p
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