2019－2020 学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义，可得 A，B，D 是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论．
【详解】根据偶函数的定义 ，可得 A，B，D 是偶函数，B 在 上单调递
减，D 在 上有增有减，A 在 上单调递增，
故选 A．
【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，
比较基础．
2.等差数列 的前 项和为 ，已知 .则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设等差数列 的公差为 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故选 C.
3.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数
的值为（ ）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
( )0,+∞ ( )
lny x= 2y x= − xy e=
cosy x=
( ) ( )f x f x= − ( )0,+∞
( )0,+∞ ( )0,+∞
{ }na n nS 1 7 5100,5 7 70a S S= − − = 101S
100 50 0 50−
{ }na d 1 100a = −
7 5
7 6 5 45 7 5( 700 ) 7( 500 ) 702 2S S d d
× ×− = − + − − + = 2d =
101
101 100101 ( 100) 2 02S
×= × − + × =
( ) cos 3f x x x x= + ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + =
a【分析】
先求出 在点 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出 的值.
【详解】由题意， ， ，则曲线 在点
处的切线斜率为 4，由于切线与直线 垂直，则 ，解得 .
故选 C.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基
础题.
4.在 中， 是 边上一点， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，用基向量 表示 ，然后与题目条件对照，即可求出．
【详解】由在 中， 是 边上一点， ，
则 ，
即 ，故选 ．
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算．
5.已知双曲线离心率 ,与椭圆 有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
( )f x ( )( )0, 0f a
( ) cos sin 3f x x x x′ = − + ( )0 cos0 3 4f ′ = + = ( )f x
( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = 4 14
a− × = − 1a =
ABC∆ D AB 2AD DB= 2
3CD AC CBλ= + λ
1
4
1
4
− 1
3
1
3
−
2AD DB= ,AC CB CD
ABC∆ D AB 2AD DB=
1 1 1 2( )3 3 3 3CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB= + = + = + − = − +
1
3
λ = − D
2e =
2 2
124 8
x y+ =
1
3y x= ± 3
3y x= ± 3y x= ±
2 3y x= ±先求出椭圆 的焦点 和 ，所以双曲线方程可设为 ，所以
其渐近线方程为 ，由题意得双曲线的 ，再根据其离心率 ，求出 ，根据
，得到 ，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.
【详解】因为椭圆 ，其焦点为 和 ，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
所以设双曲线的方程为 ，则其渐近线方程为 ，
且双曲线中
因为双曲线的离心率 ，所以 ，
又因双曲线中
所以 ，即 ，
所以双曲线的渐近线方程为
故选 C 项.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求 ，双曲线的渐近线，属于简单题.
6.已知角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用诱导公式可求 ， ，再由二倍角公式
化简，即可得结果．
【详解】 ，
2 2
124 8
x y+ = ( )4,0 ( )4,0− 2 2
2 2 1x y
a b
− =
by xa
= ± 4c = 2e = a
2 2 2c a b= + b
2 2
124 8
x y+ = ( )4,0 ( )4,0−
2 2
2 2 1x y
a b
− = by xa
= ±
4c =
2ce a
= = 2a =
2 2 2c a b= +
2 2 2 12b c a= − = 2 3b =
3y x= ±
, ,a b c
α 1cos( )6 3
πα + = sin(2 )6
πα − =
4 2
9
− 4 2
9
7
9
− 7
9
1
3 3sin
π α − = sin 2 26 3cos
π πα α − = −
1
6 2 6 3 3cos sin sin
π π π πα α α + = − + = − =
．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础
题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的
值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给
值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
7.已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像最低点求得 ，根据函数图像上两个特殊点求得 的值，由此求得函数 解
析式，进而求得 的值.
【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 ， 函 数 图 像 最 低 点 为 ， 故 ， 所 以
，将点 代入 解析式得 ，
2sin 2 cos 2 cos 2 26 2 6 3 3cos
π π π π πα α α α ∴ − = − − = − = −
2 21 71 2 1 2 ( )3 3 9sin
π α = − − = − × =
( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A
πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f
π =
2
2
− 1
2
− 1− 2
2
A ,ω ϕ ( )f x
3π
4f
7π , 212
− 2A =
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212
−
( )f x
2sin 3
7π2sin 212
ϕ
ω ϕ
= + = − 解得 ，故 ，所以 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档
题.
8.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列且 ，
则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得： ，
，则： .
本题选择 C 选项.
9.已知点 P 为双曲线 右支上一点，点 F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，
点 I 是△PF1F2 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双
曲线的离心率取值范围是（ ）
A. （1， ） B. （1，2 ）
C. （1，2 ] D. （1， ]
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件和三角形的面积公式，求得 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答
案．
【 详 解 】 设 的 内 切 圆 的 半 径 为 ， 则
，
2
π
3
ω
ϕ
= =
( ) π2sin 2 3f x x = +
3π 3π π2sin 2 14 4 3f = × + = −
{ }na 2
5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a=
2 12b b
4
9
3
2
9
4
2
3
( ) ( )2 2 2
5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − =
7 7
30, 2a a≠ ∴ =
2 2
2 12 7 7
9
4b b b a= = =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1 2 1 2
2
2IPF IPF IF FS S S− ≥
2 2
2 2
,a c
1 2PF F∆ r
1 2 1 21 2 1 2
1 1 1, ,2 2 2IPF IPF IF FS PF r S PF r S F F r∆ ∆ ∆= ⋅ = ⋅ = ⋅因为 ，所以 ,
由双曲线 定义可知 ，
所以 ，即 ，
又由 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 ，
故选 D．
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，
常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐
次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程，即可得 的值(范围)．
10.函数 向右平移 个单位后得到函数 ，若 在
上单调递增，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求函数 ，再求函数的单调递增区间，区间 是函数单调递增区间的子集，
建立不等关系求 的取值范围.
【详解】 ,
令
解得 ，
若 上单调递增，
的
在
1 2 1 2
2
2IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≥ 1 2 1 2
2
2PF PF F F− ≥
1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = =
2
2a c≥ 2c
a
≤
1ce a
= > (1, 2]
,a c ce a
= , ,a b c
,a c e e
( ) sin 2 3f x x
π = +
( )0ϕ ϕ π≤ ≤ ( )g x ( )g x
,6 6
π π −
ϕ
0, 4
π 20, 3
π
2,4 3
π π
,12 4
π π
( )g x ,6 6
π π −
ϕ
( ) ( )sin 2 3g x x
πϕ = − +
2 2 2 22 3 2k x k
π π ππ ϕ π− + ≤ − + ≤ +
5
12 12k x k
π πϕ π ϕ π− + + ≤ ≤ + + k Z∈
( )g x ,6 6
π π − ,解得：
时， .
故选 D.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.
11.已知函数 ，若当 时， 有解，则 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数 ，得到函数 的单调性，以及 的
取值，再由导数的几何意义，即可求解．
【详解】由题意，函数 ，则导数 ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
当 时， ，又由 ， ， ，
当 时， 有解，即函数 和 的图象有交点，
如图所示，
又因为在点 的切线的斜率为 ，所以 ．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与
化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图
12 6{ 5
12 6
k
k
π πϕ π
π πϕ π
+ + ≥
− + + ≤ − 12 4k k
π ππ ϕ π− ≤ ≤ −
( )0,ϕ π∈
0k∴ =
12 4
π πϕ≤ ≤
2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ m
1m £ 1m < − 1m > − m 1≥
2 1( ) ( 2)exf x x −′ = − ( )f x ( ) ( )1 , ( 2), 2f f f
2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 2 1( ) ( 2)exf x x −′ = −
( )f x (1, 2) ( 2, )+∞
2x > ( ) 0f x > (1) 1f = − ( 2) 1f < − (2) 0f =
1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ( )y f x= ( 1) 1y m x= − −
(1, (1))f (1) 1f ′ = − 1m > −象的交点个数，结合图象求解．
12.在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ，点 ，动点
， 分别在圆 和圆 上，且 ， 为线段 的中点，则 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得 ，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点 的轨迹方程，
再利用点与圆的位置关系，即可求解 的最小值，得到答案．
【详解】设 ， ， ，
由 得 ，即 ，
由题意可知，MN 为 Rt△AMB 斜边上的中线，所以 ,
则
又由 ，则 ，
可得 ，化简得 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心、半径等于 的圆 C3，
∵M 在圆 C3 内，∴ MN 的最小值即是半径减去 M 到圆心 的距离，
即 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆
的性质，求得 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于中档试题．
xOy 1C 2 2 4x y+ = 2C 2 2 6x y+ = (1,0)M
A B 1C 2C MA MB⊥ N AB MN
MA MB⊥ 0MA MB⋅ = N
MN
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )N x y
MA MB⊥ 0MA MB⋅ =
1 2 1 2 1 2 1x x y y x x+ = + −
1
2
MN AB=
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 2AB x x y y x x x x y y y y= − + − = − + + − +
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0( ) ( ) 2( ) 10 2( 1) 12 4x y x y x x y y x x x= + + + − + = − + − = −
1
2
MN AB= 2 24AB MN=
2 2
0 0 012 4 4[( 1) ]x x y− = − + 2 2
0 0
1 9( )2 4x y− + =
0 0( , )N x y 1( ,0)2
3
2
1( ,0)2
min
3 1 12 2MN r d= − = − =
N二、填空题
13.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据 ， ，得 在 上的投影为 ， ，求出 ，
代入投影的公式计算即可．
【详解】 向量 ， ， ， ，
， ，
在 方向上的投影为 ， ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．
14.若函数 只有一个极值点，则 k 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利 用 函 数 求 导 函 数 ， 只 有 一 个 极 值 点 时
只有一个实数解有 ，设新函数设 ， ，等价转化数形
结合法即可得出结论，
【详解】函数 只有一个极值点，
，
若函数 只有一个极值点， 只有一个实数解，
则： ，
从而得到： ，
( 3, 1)a = − ( 3,1)b = a b
| || | cosa b a b a⋅ = a b | | cosa a=
a b⋅
( 3a = 1)− ( 3b = 1)
∴ 3 1 2a b⋅ = − = | | 2b =
∴ a b | | cosa a= = =
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − +
[0, ]e
2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − −
( ) 0f x′ = 0xe kx− ≥ ( ) xu x e= ( )h x kx=
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − +
2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − −
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − + ( ) 0f x′ =
0xe kx− ≥
xe kx≥当 时，成立．
当 时，设 ， ，
当两函数相切时， ，此时得到 的最大值，但 时不成立．
故 的取值范围为： ，
综上： 的取值范围为： .
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法，考查数形结合
思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属
于中档题．
15.已知抛物线 E： 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线 m 与 E 交于 A，B 两点，过 A
作 ，垂足为 M，AM 的中点为 N，若 ，则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意画出图形，得到直线 的斜率，进一步求得直线 的方程，与抛物线方程联立求解
即可得答案．
【详解】 ， 为 的中点，且 ，
，则直线 的倾斜角为 ，斜率为 ．
由抛物线 ，得 ，则直线 的方程为 ．
联立 ，得 ．
0k =
0k ≠ ( ) xu x e= ( )h x kx=
k e= k k 0<
k (0 ]e
k [0, ]e
[0, ]e
2 12y x＝
AM l⊥ AM FN⊥ AB ＝
AB AB
AF AM= N AM FN AM⊥
30AFN∴∠ = ° AB 60° 3
2 12y x= (3,0)F AB 3( 3)y x= −
2
3( 3)
12
y x
y x
= − =
2 10 9 0x x− + =则 ，
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，
属于中档题．
16.数列 为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出 ，接
着复制该项后，再添加其后继数 2，于是 ， ，然后再复制前面所有的项 1，1，2，
再添加 2 的后继数 3，于是 ， ， ， ，接下来再复制前面所有的项 1，
1，2，1，1，2，3，再添加 4，…，如此继续，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据数列构造方法可知： ，即 ；根据变化规律可得
，从而得到结果.
【详解】由数列 的构造方法可知 ， ， ， ，可得：
即：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列
各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.
10A Bx x+ =
| | 16A BAB x x p∴ = + + =
{ }na 1 1a =
2 1a = 3 2a =
4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a =
2019a =
2 1na n−
= ( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 2a a=
{ }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a =
2 1na n−
=
( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = =
1三、解答题
17.已知 的面积为 ，且 且 .
(1)求角 的大小；
(2)设 为 的中点，且 ， 的平分线交 于 ，求线段 的长度.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；
（2）先根据条件求出 ， ， ；再借助于面积之间的关系求出 ， 之间的比例关系，
结合题中条件即可求解．
【详解】（1） ，
又 ，即 ，
∴ ，
又 ，∴ .
（2）如下图所示：
在 中， 为中线，∴ ，
∴
∴ .
由（1）知： ，
又 ， ∴ ， ，
由余弦定理可得： ，
ABC∆ 3
2 1AB AC⋅ = − AB AC>
A
M BC 3
2AM = BAC∠ BC N AN
2
3
π 2
3
b c a CN BN
1AB AC⋅ = − | | | | cos cos 1AB AC A bc A⇒ ⋅ ⋅ = = −
1 3sin2 2ABCS bc A∆ = = sin 3bc A =
sin sin tan 3cos cos
bc A A Abc A A
= = = −
(0, )A π∈ 2
3A
π=
ABC∆ AM 2AM AB AC= +
2 2 2 2 2 24 | | ( ) | | 2 | |AM AB AC AB AB AC AC c b= + = + ⋅ + = +
2 2 5b c+ =
sin 3bc A = 2bc⇒ =
c b> 2c = 1b =
2 2 2 2 cos 5 2 7a b c bc A= + − = + = ⇒ 7a =，
，
又 ，
∴ ，又 ，∴ ，
在 中，有：
，
所以 .
【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结
合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
18.已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，
.
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求
【答案】（1） ；（2）5 或 .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 ，由已知条件求出 ，再写
出通项公式；（2）由 ，求出 的值，再求出 的值，求出 .
【详解】设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 有 ，即
.
（1）∵ ，结合 得 ，
∴ .
1 1sin sin2 2ANCS AN b CAN AN CAN= ⋅ ∠ = × ∠
1 csin sin2BANS AN BAN AN BAN= × ∠ = × ∠
CAN BAN∠ = ∠
1
2BAN
ANCS CN
S BN
= = 7CN BN a+ = = 7
3CN =
ACN∆
2 2 2 2 cosAN b CN b CN ACB= + − × × ∠
7 7 1+7 41 2 19 3 2 1 7
−= + − × × ×
× ×
7 4 41 9 3 9
= + − =
2
3AN =
{ }na n nS { }nb n nT 1 1a = 1 1b =
2 2 4a b+ =
3 3 7a b+ = { }nb
3 13T = 5S
12n
nb −= 75
{ }na d { }nb ( )0q q ≠ q
13 13T = q d 5S
{ }na d { }nb ( )0q q ≠ ( )1 4d q+ + =
3d q+ =
( ) 21 2 7d q+ + = 3d q+ = 2q =
12n
nb −=（2）∵ ，解得 或 3，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中
档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量
一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差
数列问题要注意应用等差数列的性质 （ ）与前
项和的关系.
19.已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且
．
（Ⅰ）求抛物线 方程；
（Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线 相
切的圆，必与直线 相切．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得 ．
因为 ，即 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 ．
的
2
3 1 13T q q= + + = 4q = −
4q = − 7d = 5
5 45 7 752S
×= + × =
3q = 0d = 5 15 5S a= =
n
1, , , , ,n na d n a S
2p q m n ra a a a a+ = + = 2p q m n r+ = + = n
F 2: 2 ( 0)E y px p= > (2, )A m E
3AF =
E
( 1,0)G − AF E B F GA
GB
2 4y x=
F 2 2
pΑ = +
F 3Α = 2 32
p+ = 2p = Ε 2 4y x=（Ⅱ）因为点 在抛物线 上，
所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
解得 或 ，从而 ．
又 ，
所以 ， ，
所以 ，从而 ，这表明点 到直线 ， 的距离相等，
故以 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 ．
因为点 在抛物线 上，
所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
解得 或 ，从而 ．
又 ，故直线 的方程为 ，
从而 ．
又直线 的方程为 ，
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
( )G 1,0−
( )G
2 2 0 2 2
2 1 3k Α
−= =− − ( )G
2 0 2 2
1 312
k Β
− −= = −
− −
G G 0k kΑ Β+ = GF GF∠Α = ∠Β F GΑ GΒ
F GΑ GΒ
F GΑ r
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
( )G 1,0− GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + =
2 2 2 2 4 2
8 9 17
r
+
= =
+
GΒ 2 2 3 2 2 0x y+ + =所以点 到直线 的距离 ．
这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切．
考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．
【此处有视频，请去附件查看】
20.已知数列 的各项均为正数，对任意 ，它的前 项和 满足
，并且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据 与 的关系，利用临差法得到 ，知公差为 3；再由 代入递推
关系求 ；
（2）观察数列 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前 项和.
【详解】（1） 对任意 ，有 ，①
当 时，有 ，解得 或 .
当 时，有 .②
①-②并整理得 .
而数列 的各项均为正数， .
当 时， ，
F GΒ 2 2 2 2 4 2
8 9 17
d r
+
= = =
+
F GΑ GΒ
{ }na *n∈N n nS
( )( )1 1 26n n nS a a= + + 2a 4a 9a
{ }na
( ) 1
11 n
n n nb a a+
+= − nT { }nb n 2nT
3 2na n= − *n∈N 218 6n n− −
na nS 1 3n na a −− = 1n =
1a
{ }nb 2n
*n∈N ( )( )1 1 26n n nS a a= + +
∴ 1a = ( )( )1 1 1 1
1 1 26S a a a= = + + 1 1a = 2
2n ≥ ( )( )1 1 1
1 1 26n n nS a a− − −= + +
( )( )1 1 3 0n n n na a a a− −+ − − =
{ }na 1 3n na a −∴ − =
1 1a = ( )1 3 1 3 2na n n= + − = −此时 成立；
当 时， ，此时 ，不成立，舍去.
， .
（2）
.
【点睛】已知 与 的递推关系，利用临差法求 时，要注意对下标与 分两种情况，即
；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.
21.已知函数 , .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）令 两个零点 ，证明： .
【答案】（Ⅰ） 在 上单调递减，在 上单调递增.（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数 ，且 ，进而利用导数的符号，即可求得
函数单调区间；
（Ⅱ）由 有两个零点，利用导数求得函数 的单调性与
最值，结合图象，即可得出证明．
【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ，则 ，且 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
2
4 2 9a a a=
1 2a = ( )2 3 1 3 1na n n= + − = − 2
4 2 9a a a=
3 2na n∴ = − *n∈N
2 1 2 2n nT b b b= + + + = 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1n na a a a a a a a a a +− + − + −
( ) ( ) ( )2 1 3 4 3 5 2 2 1 2 1n n na a a a a a a a a− += − + − + + −
2 4 26 6 6 na a a= − − − −
( )2 4 26 na a a= − + + +
( ) 24 6 26 18 62
n n n n
+ −= − × = − −
nS na na n
1, 2n n= ≥
( ) ( 1)lnf x x x= − 3( ) ln eg x x x= − −
( )f x
( ) ( ) ( )( 0)h x mf x g x m= + > 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2
1
ex e x+ > +
( )f x (0,1) [1, )+∞
1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − − ( )h x
( ) ( 1)lnf x x x= − 1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（Ⅱ）由 有两个零点可知
由 且 可知，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调增；
即 的最小值为 ，
因此当 时， ，
可知 在 上存在一个零点；
当 时， ，
可知 在 上也存在一个零点，
因此 ，即 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化
归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利
用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范
围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦距为 4，且过点
．
（1）求椭圆 的方程
（2）设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 、 两点，问是否存在直
线 ，使得 为 的垂心，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在直线 满足题设条件,详见解析
【解析】
分析】
（1）由已知列出关于 ， ， 的方程组，解得 ， ， ，写出结果即可；
【
( )f x (0,1) [1, )+∞
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − −
1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x
−′ = + + − 0m >
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
( )h x 3(1) 1 0h e
= − <
1x e
= 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e
− + −= − − + − − − = >
( )h x 1( ,1)e
x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e
= − + − − >
( )h x (1, )e
2 1
1x x e e
− < − 1 2
1x e x e
+ > +
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
(2, 2)
C
C B F l M N
l F BMN∆ l
2 2
18 4
x y+ = 8: 3l y x= −
a b c a b c（2）由已知可得， ， ．所以 ，因为 ，所以可设直线 的方程
为 ，代入椭圆方程整理，得 ．设 ， ， ，
，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即
可．
【详解】（1）由已知可得，
解得 ， ， ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）由已知可得， ，∴ .∵ ，
∴可设直线 的方程为 ，代入椭圆方程整理，
得 .设 ，
则 ，∵ .
即
∵
即 ，∵
∴ 或 .
由 ，得
又 时，直线 过 点，不合要求，∴ ，
故存在直线 满足题设条件.
(0,2)B (2,0)F 1BFk = − BF l⊥ l
y x m= + 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = 1(M x 1)y 2(N x
2 )y
2 2
2 2 2
2 4
4 2 1
c
a b
a b c
=
+ =
= +
2 8a = 2 4b = 2c = C
2 2
18 4
x y+ =
(0 2) (2 0)B F， ， ， 1BFk = − BF l⊥
l y x m= +
2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = ( ) ( )1 1 2 2M x y N x y， ， ，
2
1 2 1 2
4 2 8
3 3
m mx x x x
−+ = − =， 1 2
1 2
2 12
y yBN MF x x
−⊥ ∴ ⋅ = −−，
1 2 1 2 1 22 2 0y y x x y x+ − − =
( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 2 2 0y x m y x m x m x m x x x m x= + = + ∴ + + + − + − =，
( ) 2
1 2 1 22 ( 2) 2 0x x m x x m m+ − + + − = 2
22 8 42 ( 2) 2 03 3
m mm m m
− −⋅ + − ⋅ + − =
2 83 2 16 0 3m m m+ − = ∴ = −， 2m =
( )2 2 2(4 ) 12 2 8 96 8 0m m m∆ = − − = − > 2 12m <
2m = l B 8
3m = −
8: 3l y x= −【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应
用．意在考查学生的数学运算能力．
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