2020 届高三年级第二次教学质量检测
数学(理)卷
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知集合 M＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}，N＝{y|y＝2x}，则 M∩N＝
A.(0，5] B.(0，2] C.[2，5] D.[2，＋∞)
2.已知向量 m＝(1，2)，n＝(4，λ)，其中 λ∈R。若 m⊥n，则
A. B. C.2 D.2
3.设 ，则
A. B. C. D.
4.曲线 y＝(x3－3x)·lnx 在点(1，0)处的切线方程为
A.2x＋y－2＝0 B.x＋2y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.4x＋y－4＝0
5.2019 年 10 月 18 日－27 日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得 133
金 64 银 42 铜，共 239 枚奖牌。为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机
抽取了 500 名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示：
现有如下说法：
n
m
=
5 2 5
1 4
2
iz ii
+= +− z =
2 14
5 5 i+ 2 14
5 5 i− + 2 14
5 5 i− 2 14
5 5 i− −①在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 ；
②在犯错误的概率不超过 1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有
关”；
③没有 99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。
则正确命题的个数为
附： ，
P( ) 0.01 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
A.0 B.1 C.2 D.3
6.记双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 2，点 M 在 C 上，点 N
满足 ，若 ，O 为坐标原点，则|ON|＝
A.8 B.9 C.8 或 2 D.9 或 1
7.运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 258，则 n 的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
8.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝95，a8＝17，则
A.an＝5n－23 B. C. an ＝4n－15 D.
9.已知抛物线 C：x2＝4y 的准线为 l，记 l 与 y 轴交于点 M，过点 M 作直线 l'与 C 相切，切点
为 N，则以 MN 为直径的圆的方程为
1
2
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2K k≥
2 2
1( 0)16
x y mm
− = >
1 1
1
2F N F M=
1 10MF =
2 212 2nS n n= −
23 11
2n
n nS
−=A.(x＋1)2＋y2＝4 或(x－1)2＋y2＝4 B.(x＋1)2＋y2＝16 或(x－1)2＋y2＝16
C.(x＋1)2＋y2＝2 或(x－1)2＋y2＝2 D.(x＋1)2＋y2＝8 或(x－1)2＋y2＝8
10.函数 f(x)＝x－4－(x＋2)·( )x 的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
11.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于 y 轴对称，且 f(1＋x)＋f(1－x)＝0，则 ω 的值可
能为
A. B.2π C. D.3
12.体积为 216 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 是线段 D1C1 的中点，点 N 在线段 B1C1
上，MN//BD，则正方体 ABCD－A1B1C1D1 被平面 AMN 所截得的截面面积为
A. B. C. D.
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上)
13.若 tan(2α＋β)＝5，tan(α＋β)＝4，则 tanα 。
14.已知实数 x，y 满足 ，则 z＝－x＋y 的最大值为 。
15.“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥。现有“方锥”S－ABCD，其中 AB＝
4，SA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 ，则此“方锥”的外接球表面积为 。
16.已知首项为 3 的正项数列{an}满足(an＋1＋an)(an＋1－an)＝3(an＋1) (an－1)，记数列{log2(an2－
1)}的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn>440 成立的 n 的最小值为 。
三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
已 知 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， a ＝ ， 且
。
(1)求△ABC 外接圆的半径；
2
3
5
2
π 3
2
27 17
2
21 17
2
15 17
2
13 17
2
3 4 0
2 0
3 0
x y
x y
x y
− − ≤
+ ≥
+ − ≤
3 2
4
13
sin cos cos sin sin sinA C A C C A
c b a a b
+ +=+ − −(2)若 c＝3，求△ABC 的面积。
18.(本小题满分 12 分)
四棱锥 S－ABCD 的底面为正方形，SC＝CD＝2，SA＝2 ，AC 与 BD 交于 E，M，N 分别
为 SD，SA 的中点，SC⊥MN。
(l)求证：平面 SAC⊥平面 SBD；
(2)求直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小。
19.(本小题满分 12 分)
随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作
为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示。
(1)求图中 a 的值；
(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数；(结果用小数表示，小数点后
保留两位有效数字)
(3)以频率估计概率，现从所有投资者中随机抽取 4 人，记年龄在[20，40)的人数为 X，求 X
的分布列以及数学期望 E(X)。
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且
点 M 满足 。
(1)若点 M(1， )，求直线 l 的方程；
(2)若直线 l 过点 F2 且不与 x 轴重合，过点 M 作垂直于 l 的直线 l'与 y 轴交于点 A(0，t)，求实
数 t 的取值范围。
3
2 2
14 3
x y+ =
PM MQ=
3
421.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝x2ex，其中 e＝2.718…为自然对数的底数。
(l)求函数 f(x)在[－5，－1]上的最值；
(2)若函数 g(x)＝ －alnx，求证：当 a∈(0，2e)时，函数 g(x)无零点。
(二)请从下面所给的第 22、23 两题中选定一题作答，如果多答，则按做的第一题记分。
22.(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程]
已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，以原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ－ )＝1。
(1)求曲线 C 的极坐标方程以及直线 l 的直角坐标方程；
(2)若直线 l'：y＝ 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 O，N，若 A(4， )，求△AMN 的
面积。
23.(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f(x)＝|x＋3|＋|2x－5|。
(1)求不等式 f(x)>3x 的解集；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≥m 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围。
( )
1
f x
x +
2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
3
π
3
3
5
12
π
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