八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元测试卷4（北师大版）

1 第一章《三角形的证明》单元测试卷 4 一、选择题 1．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18 2．如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分 别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合．过角尺顶点 C 作射线 OC．由此做 法得△MOC≌△NOC 的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 4．如图，△AEB、△AFC 中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　） A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 5．已知一等腰三角形的腰长为 5，底边长为 4，底角为 β．满足下列条件的三角形不一定与已知三 角形全等的是（　　）2 A．两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 β B．两个角是 β，它们的夹边为 4 C．三条边长分别是 4，5，5 D．两条边长是 5，一个角是 β 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠ EAC，则添加的条件不能为（　　） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 　 二、填空题 7．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　． 8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是 60°，则另两个角是唯一确定的 （60°，60°），已知一个角是 90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是 120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已 知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是　　的．（填“正确”或“错 误”） 9．如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于点 F，DE⊥a 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为　　． 10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所3 对的角的关系是　　． 　 三、解答题 11．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，作∠EAB=∠BAD，AE 边交 CB 的延长线于 点 E，延长 AD 到点 F，使 AF=AE，连结 CF． 求证：BE=CF． 12．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？ 13．在△ABC 中，AB=AC，D 是线段 BC 的延长线上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE，使 AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接 CE． （1）如图 1，点 D 在线段 BC 的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=　　． （2）设∠BAC=α，∠DCE=β： ①如图 1，当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点 D 在直线 BC 上（不与 B、C 重合）移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请直接写出你的 结论．4 　5 《第 1 章 三角形的证明》 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：①当 3 为底时，其它两边都为 6， 3、6、6 可以构成三角形， 周长为 15； ②当 3 为腰时， 其它两边为 3 和 6， ∵3+3=6=6， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有 15． 故选 B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要 想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也 是解题的关键． 　 2．如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（　　） A．18° B．24° C．30° D．36°6 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC 的度数． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72° ∵BD 是 AC 边上的高， ∴BD⊥AC， ∴∠DBC=90°﹣72°=18°． 故选 A． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角 形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 　 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分 别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合．过角尺顶点 C 作射线 OC．由此做 法得△MOC≌△NOC 的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图． 【分析】利用全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA、SSS 对△MOC 和△NOC 进行分析，即可作出正确 选择． 【解答】解：∵OM=ON，CM=CN，OC 为公共边， ∴△MOC≌△NOC（SSS）． 故选 D． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 　 4．如图，△AEB、△AFC 中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　）7 A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可证明△AEB≌△AFC，利用全等三角形的性质进行判断． 【解答】解：∵在△AEB 和△AFC 中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF， ∴△AEB≌△AFC（AAS）， ∴BE=CF，∠EAB=∠FAC， ∴∠EAM=∠FAN，故选项 A、B 正确； ∵∠EAM=∠FAN，∠E=∠F，AE=AF， ∴△ACN≌△ABM，故选项 C 正确； 错误的是 D． 故选 D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是根据已知条件确定全等三角形． 　 5．已知一等腰三角形的腰长为 5，底边长为 4，底角为 β．满足下列条件的三角形不一定与已知三 角形全等的是（　　） A．两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 β B．两个角是 β，它们的夹边为 4 C．三条边长分别是 4，5，5 D．两条边长是 5，一个角是 β 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 β，可以利用“边角边”证明三角形与已知 三角形全等，故本选项错误； B、两个角是 β，它们的夹边为 4，可以利用“角边角”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错8 误； C、三条边长分别是 4，5，5，可以利用“边边边”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误； D、两条边长是 5，角 β 如果是底角，则顶角为（180°﹣2β），则转化为“角边角”，利用 ASA 证明三角形与已知三角形全等；当角 β 如果是顶角时，底角为（180°﹣β）÷2，此时两三角形不 一定全等．故本选项正确． 故选 D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有 边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠ EAC，则添加的条件不能为（　　） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、添加 BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对 应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误； B、添加 AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误； C、添加 DA=DE 无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确； D、添加 BE=CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠ DAB=∠EAC，故本选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关9 键． 　 二、填空题 7．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　40°　． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B 的度数，再根据三角形外角的性 质可求出∠ADC 的度数，再由三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B= = =80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C= = =40°． 【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题 目． 　 8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是 60°，则另两个角是唯一确定的 （60°，60°），已知一个角是 90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是 120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已 知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是　错误　的．（填“正确” 或“错误”） 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是 180 度计算即可． 【解答】解：如已知一个角=70°． 当 70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣70°）÷2=55°，10 当 70°为底角时，另外一个底角也是 70°，顶角是 180°﹣140°=40°． 故答案为：错误． 【点评】主要考查了等腰三角形的性质．要注意分两种情况考虑，不要漏掉一种情况． 　 9．如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于点 F，DE⊥a 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为　13　． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后 由全等三角形的对应边相等推知 AF=DE、BF=AE，所以 EF=AF+AE=13． 【解答】解：∵ABCD 是正方形（已知）， ∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°； 又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°， ∴∠FBA=∠EAD（等量代换）； ∵BF⊥a 于点 F，DE⊥a 于点 E， ∴在 Rt△AFB 和 Rt△AED 中， ∵ ， ∴△AFB≌△AED（AAS）， ∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等）， ∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将 EF 的长度转化为与已 知长度的线段 DE 和 BF 数量关系． 　11 10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所 对的角的关系是　相等或互补　． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另 一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形． 【解答】解：当两个三角形同为锐角或同为钝角三角形时， 易得两三角形全等，则第三边所对的角是相等关系； 当一个钝角三角形和一个锐角三角形时（如图）， 则第三边所对的一个角与另一个角的邻补角相等，即这两个角是互补关系． 故填“相等或互补”． 【点评】本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考 虑． 　 三、解答题 11．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，作∠EAB=∠BAD，AE 边交 CB 的延长线于 点 E，延长 AD 到点 F，使 AF=AE，连结 CF． 求证：BE=CF．12 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAD=∠BAD，由等量关系可得∠CAD=∠EAB，有 SAS 可证△ACF ≌△ABE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【解答】证明：∵AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ∴∠CAD=∠BAD． 又∵∠EAB=∠BAD， ∴∠CAD=∠EAB． 在△ACF 和△ABE 中， ∴△ACF≌△ABE（SAS）． ∴BE=CF． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度中等，注意掌握数 形结合思想的应用． 　 12．如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？ 【考点】全等三角形的判定与性质．13 【分析】（1）根据 AAS 即可推出△ABE 和△DCE 全等； （2）根据三角形全等得出 EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC， 代入求出即可． 【解答】（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中 ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25°． 【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能 力． 　 13．在△ABC 中，AB=AC，D 是线段 BC 的延长线上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE，使 AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接 CE． （1）如图 1，点 D 在线段 BC 的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=　30°　． （2）设∠BAC=α，∠DCE=β： ①如图 1，当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点 D 在直线 BC 上（不与 B、C 重合）移动时，α 与 β 之间有什么数量关系？请直接写出你的 结论． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．14 【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； （2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②α+β=180°或 α=β，根据三角形外角性质求出即可． 【解答】（1）解：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中 ∵ ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE， ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE， ∵∠BAC=30°， ∴∠DCE=30°， 故答案为：30°； （2）解：当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，α 与 β 之间的数量关系是 α=β，理由是： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中 ∵ ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE， ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE， ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β；15 （3）解：当 D 在线段 BC 上时，α+β=180°，当点 D 在线段 BC 延长线或反向延长线上时， α=β． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，题目比较典型，是一 道证明过程类似的题目．