山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一3月月考数学试题（PDF版）.pdf

试卷第 1 页，总 5 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … 绝密★启用前 2020 年高一数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷 I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计 80 分 ） 1. 设푖为虚数单位，则复数푧 = 2푖3 푖−1 的虚部为( ) A.푖 B.−푖 C.−1 D.1 2. 已知△ 퐴퐵퐶的内角퐴，퐵，퐶所对的边长分别是푎，푏，푐，设向量푚→ = (푎 + 푏, sin퐶)， 푛→ = (√3푎 + 푐, sin퐵 − sin퐴)，若푚→  // 푛→，则角퐵的大小为（ ） A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘ 3. 设푖是虚数单位，则(1−푖)3 (1+푖)2 =( ) A.1 − 푖 B.−1 + 푖 C.1 + 푖 D.−1 − 푖 4. 已知平面直角坐标系内的两个向量푎→ = (3,−2푚)，푏 → = (1, 푚 − 2)，且平面内的任一 向量푐→都可以唯一地表示成푐→ = 휆푎→ + 휇푏 →（휆，휇为实数），则实数푚的取值范围是（ ） A.(−∞,  2) B.(6 5 , +∞) C.(−∞, −2) ∪ (−2, +∞) D.(−∞, 6 5) ∪ (6 5 , +∞) 5. 设푚→ , 푛→是两个不共线的向量，若퐴퐵 → = 푚→ + 5푛→, 퐵퐶 → = −2푚→ + 8푛→,퐶퐷 → = 4푚→ + 2푛→，则 ( ) A.퐴，퐵，퐷三点共线 B.퐴，퐵，퐶三点共线 C.퐴，퐶，퐷三点共线 D.퐵，퐶，퐷三点共线 6. 在△ 퐴퐵퐶中，已知퐷是퐵퐶延长线上一点，点퐸为线段퐴퐷的中点，若퐵퐶 → = 2퐶퐷 → ，且 퐴퐸 → = 휆퐴퐵 → + 3 4 퐴퐶 → ，则휆＝（ ） 试卷第 2 页，总 5 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … A.− 1 4 B.1 4 C.− 1 3 D.1 3 7. 如图，푂是平面上一定点，퐴、퐵、퐶是平面上不共线的三个点，动点푃满足푂푃 → = 푂퐴 → + 휆( 퐴퐵 → |퐴퐵 → | + 퐴퐶 → |퐴퐶 → | )，휆 ∈ (0, +∞)，则点푃的轨迹一定通过△ 퐴퐵퐶的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 8. 在△ 퐴퐵퐶中，푎，푏，푐分别为∠퐴，∠퐵，∠퐶的对边，且푐 > 푏 > 푎，若向量푚→ = (푎 − 푏,  1)，푛→ = (푏 − 푐,  1)平行，且sin퐵 = 4 5，则当△ 퐴퐵퐶的面积为3 2时，b=( ) A.1+√3 2 B.2 C.4 D.2 + √3 9. 在△ 퐴퐵퐶中，(퐵퐶 → + 퐵퐴 → ) ⋅ 퐴퐶 → = |퐴퐶 → |2，则三角形퐴퐵퐶的形状一定是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷是正方形，延长퐶퐷至퐸，使得퐷퐸＝퐶퐷，若点푃为퐶퐷的中点， 且퐴푃 → = 휆퐴퐵 → + 휇퐴퐸 → ，则휆 + 휇＝（ ） A.3 B.5 2 C.2 D.1 11. 在△ 퐴퐵퐶中，若퐴 = 60∘，푏 = 1，푆△퐴퐵퐶 = √3，则 푐 sin퐶 = ( ) A.8√3 81 B.2√39 3 C.26√3 3 D.2√7 12. 已知单位向量푒1 → ，푒2 → 的夹角为휋 3，则2푒1 → + 푒2 → 与푒2 → 夹角的余弦值为（ ） A.2 3 B.3 4 C.√6 3 D.2√7 7试卷第 3 页，总 5 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 13. △ 퐴퐵퐶外接圆的半径为1，圆心为푂，且2푂퐴 → + 퐴퐵 → + 퐴퐶 → = 0 →，|푂퐴 → | = |퐴퐵 → |，则퐶퐴 → ⋅ 퐶퐵 → 等于（ ） A.3 2 B.√3 C.3 D.2√3 14. 向量푎→，푏 →均为单位向量，其夹角为휃，则命题“푝: |푎→ − 푏 → | > 1”是命题"푞: 휃 ∈ [휋 2 , 5휋 6 )" 的( )条件 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 15. 某观察站 B 在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25°. 现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑车以 40 km/h 的速度 向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为 8 10 km， 则此人到达 A 城还需要( ) A．40 min B．42 min C．48 min D．60 min 16. 已知点퐺是△ 퐴퐵퐶的重心，퐴퐺 → = 휆퐴퐵 + 휇퐴퐶 → (휆,  휇 ∈ 푅)，若∠퐴＝120∘，퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 → = −2，则|퐴퐺 → |的最小值是（ ） A.√3 3 B.√2 2 C.2 3 D.3 4 卷 II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ） 17. 已知点퐺是△ 퐴퐵퐶的重心，内角퐴、퐵、퐶所对的边长分别为푎、푏、푐，且푎 5 퐺퐴 → + 푏 7 퐺퐵 → + 푐 8 퐺퐶 → = 0 → ，则角퐵的大小是________． 18. 在△ 퐴퐵퐶中，角퐴，퐵，퐶所对应的边分别为푎，푏，푐，퐶 = 60∘，푐 = √3，则 푎+2√3cos퐴 sin퐵 =________. 19. △ 퐴퐵퐶的内角퐴, 퐵, 퐶的对边分别为푎, 푏, 푐．已知푏sin퐶 + 푐sin퐵 = 4푎sin퐵sin퐶，푏2 + 푐2 − 푎2 = 8，则△ 퐴퐵퐶的面积为________．试卷第 4 页，总 5 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 20. 如图所示，已知点푂为△ 퐴퐵퐶的重心，푂퐴 ⊥ 푂퐵，퐴퐵 = 6，则퐴퐶 → ⋅ 퐵퐶 → 的值为 ________． 三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，共计 50 分 ） 21.(12 分) 在△ 퐴퐵퐶中，푎, 푏, 푐分别为角퐴, 퐵, 퐶所对的边，已知2sin퐵cos퐶 = 2sin퐴 − sin퐶. (1)求角퐵的大小； (2)若△ 퐴퐵퐶外接圆的面积为4휋 3 ，且푎 + 푐 = 4，求퐴퐶边上的高퐵퐷的长. 22.(12 分) 若푎→、푏 →是两个不共线的非零向量， （1）若푎→与푏 →起点相同，则实数푡为何值时，푎→、푡푏 →、1 3 (푎→ + 푏 → )三个向量的终点퐴，퐵，퐶 在一直线上？ （2）若|푎→| = |푏 → |，且푎→与푏 →夹角为60∘，则实数푡为何值时，|푎→ − 푡푏 → |的值最小？ 23.(13 分) 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐷为퐴퐵边上一点，퐷퐴 = 퐷퐶，已知퐵 = 휋 4，퐵퐶 = 1． (1)若△ 퐴퐵퐶是锐角三角形，퐷퐶 = √6 3 ，求角퐴的大小； (2)若△ 퐵퐶퐷的面积为1 6，求边퐴퐵的长． 24. （13 分） 如图，在△ 퐴퐵퐶中，设퐴퐵 → = 푎→，퐴퐶 → = 푏 →，又퐵퐷 → = 2퐷퐶 → ，|푎→| = 2, |푏 → | = 1，向量푎→，푏 →的夹角为휋 3． (퐼)用푎→, 푏 →表示퐴퐷 → ； 试卷第 5 页，总 5 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … (퐼퐼)若点퐸是퐴퐶边的中点，直线퐵퐸交퐴퐷于퐹点，求퐴퐹 → ⋅ 퐵퐶 → ．