高一数学试卷
考试时间：100 分钟；命题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题)
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一、单选题
1．已知 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
2．已知函数 满足 ，求 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，可将
的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
5．设函数 ，若函数 恰有三个零点 ， ，
1
3
3 1
3
7 1 1log , ( ) , log2 4 5a b c= = = , ,a b c
a b c> > b a c> > c b a> > c a b> >
( )f x ( ) ( ) 32 1f x f x x
+ − = ( )3f
3
4
− 4
3
− 3
5-
5
3
−
2 3 4y x x= − − [0, ]m 25[ , 4]4
− − m
(0,4] 25[ , 4]4
− − 3[ ,3]2
3[ , )2
+∞
( ) sin(2 )(0 )f x x ϕ ϕ π= + < < ( ) sin 2g x x= ( )f x
6
π
12
π
12
π
6
π
( ) πsin 4 4f x x = +
9π0, 16x
∈
( ) ( )y f x a a R= + ∈ 1x 2x ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最小值称为函数 的“下
确界”.若函数 ， 的“下确界”为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7． 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列命题：
（1）存在实数 使 .
（2）直线 是函数 图象的一条对称轴.
（3） 的值域是 .
（4）若 都是第一象限角，且 ，则 .
其中正确命题的题号为（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
9．函数 在区间（ ， ）内的图象是( )
A． B．
C． D．
3x 1 2 3( )x x x< < 1 2 32x x x+ +
2
π 3π
4
5π
4
π
( )f x ( )f x M≥ M M ( )f x
( ) 3cos 2 13f x x
π = − + ,6x m
π ∈ −
1
2
− m
,6 2
π π − ,6 2
π π −
5,6 6
π π −
5,6 6
π π −
( )cos 405tan300 sin765
− °° + °
1 3+ 1 3− 1 3− − 1 3− +
α 5sin cos 3
α α+ =
2019
2x
π= cosy x=
( )( )cos siny x x R= ∈ [ ]cos1,1
,α β sin sinα β> tan tanα β>
tan sin tan siny x x x x= + − −
2
π 3
2
π10．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间 上单调递增
C． 为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
11．已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使得 成立的 的最小值
是（ ）
A．11 B．12 C．21 D．22
12．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）
A． B． C．2 D．3
第 II 卷（非选择题)
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二、填空题
13．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是______．
14．已知定点 ， 是圆 上的动点，则当 取到最大值时， 点
的坐标为______.
15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前 n 项和为，则使不等式成立的最大正整数 n 的
值是_______．
16．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列 的“好
数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的
取值范围是______.
三、解答题
17．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
2tan(2 )3y x
π= +
7( , )12 12
π π
( ,0)12
π− π
{ }na n nS 11
12
1 0a
a
− < < 0nS > n
y x b= + 23 4y x x= − − b
( )0, 5A − P ( ) ( )2 22 3 2x y− + + = PA P
{ }na
1
1 22 2n
n
n
a a aA n
−+ + += { }na { }na
12n
nA += { }na kn− n nS 7nS S≤ *n N∈ k
{ }na 2 4a = 3 2a + 2a 4a
{ }na（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18．如图，在三棱柱 中，侧面 是正方形， 分别是 ， 的中点，
平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若三棱柱 的体积为 10，求三棱锥 的体积.
19．正项数列 的前 n 项和 Sn 满足：
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)令 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜ .
20．已知点 ， ，直线 ： ，设圆 的半径为 ，圆心 在直线 上．
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ， 为坐标原点，求圆心 的横坐标 的取值范围．
21．已知函数 , 的部分图象如
图所示.
(1)求 的解析式,并说明 的图象怎样经过 2 次变换得到 的图象;
22log 1n nb a= − { }n na b n nT
1 1 1ABC A B C− 1 1B BCC ,M N 1 1A B AC
AB ⊥ BCM
1 1B BCC ⊥ 1 1A ABB
1A N BCM
1 1 1ABC A B C− 1 1C BB M-
{ }na 2 2 2( 1) ( ) 0n nS n n S n n− + − − + =
{ }na na
2 2
1
( 2)n
n
nb n a
+= +
5
64
(4,4)A (0,3)B l 1y x= − C 1 C l
C 3 7y x= − A C
C M 2MB MO= O C a
( ) sin 2 6f x x
π +
=
( ) ( )sin 0 0 2g x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > 1 1a =
( ) ( ) ( )11n n nf a f a g a ++ − = { }nb ( )1log nn ab a+= 0a > 1a ≠
*n N∈
{ }1na + { }na
1
nb
2a = ( )
1
1n
n n
c a b
= + ⋅ *n N∈ { }nc n nT 1
nb
n
nR *n N∈ 2 321 1
n
n
n n
RnT na a
λ λ + < + + +
λ参考答案
1．D2．B3．C4．A5．B6．A7．B8．C9．D10．C11．D12．D
13．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是______．
【答案】
14．已知定点 ， 是圆 上的动点，则当 取到最大值时， 点
的坐标为______.
【答案】
15．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前 n 项和为，则使不等式成立的最大正整数 n 的
值是_______．
【答案】6
16．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列 的“好
数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的
取值范围是______.
【答案】
三、解答题
17．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （ ）；（2） ．
解：（1）设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， ．
因为 是 和 的等差中项，所以 ．
y x b= + 23 4y x x= − − b
1 2 2,3 −
( )0, 5A − P ( ) ( )2 22 3 2x y− + + = PA P
( )3, 2−
{ }na
1
1 22 2n
n
n
a a aA n
−+ + += { }na { }na
12n
nA += { }na kn− n nS 7nS S≤ *n N∈ k
9 16,4 7
{ }na 2 4a = 3 2a + 2a 4a
{ }na
22log 1n nb a= − { }n na b n nT
2n
na = *n N∈ ( ) 16 2 3 2n
nT n += + −
{ }na
2 4a = 3 4a q= 2
4 4a q=
3 2a + 2a 4a ( )3 2 42 2a a a+ = +即 ，化简得 ．
因为公比 ，所以 ．
所以 （ ）．
（2）因为 ，所以 ．
．
则 ，①
.②
①－②得，
，
所以 ．
18．如图，在三棱柱 中，侧面 是正方形， 分别是 ， 的中点，
平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若三棱柱 的体积为 10，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
( ) 22 4 2 4 4q q+ = + 2 2 0q q− =
0q ≠ 2q =
2 2
2 4 2 2n n n
na a q − −= = × = *n N∈
2n
na = 22log 1 2 1n nb a n= − = −
( )2 1 2n
n na b n= −
( ) ( )2 3 11 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − + −
( ) ( )2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n += × + × + × +⋅⋅⋅+ − + −
( )2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n
nT n +− = + × + × + ⋅⋅⋅+ × − −
( ) ( ) ( )
1
1 14 1 2
2 2 2 1 2 6 2 3 21 2
n
n nn n
−
+ +
−
= + × − − = − − −−
( ) 16 2 3 2n
nT n += + −
1 1 1ABC A B C− 1 1B BCC ,M N 1 1A B AC
AB ⊥ BCM
1 1B BCC ⊥ 1 1A ABB
1A N BCM
1 1 1ABC A B C− 1 1C BB M-
5
3
AB ⊥ BCM BC ⊂ BCM AB BC⊥在正方形 中， ，
∵ ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）设 中点为 ，连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，且 .
又点 是 的中点，∴ .
∵ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（3）连接 ，则 ，
∵ 为 的中点，
∴三棱锥 的体积 .
19．正项数列 的前 n 项和 Sn 满足：
(1)求数列 的通项公式 ；
1 1B BCC 1BB BC⊥
1AB BB BÇ = BC ⊥ 1 1A ABB
BC ⊂ 1 1B BCC
1 1B BCC ⊥ 1 1A ABB
BC Q ,NQ MQ
,N Q ,AC BC
NQ AB
1
2NQ AB=
M 1 1A B 1 1 1
1
2A M A B=
1 1/ /AB A B 1 1AB A B=
1/ /NQ A M 1NQ A M=
1A MQN 1 / /A N MQ
MQ Ì BCM 1A N ⊄ BCM
1 / /A N BCM
1A B 1 1 1 1 1 1
1 10
3 3B A B C ABC A B CV V- -= =
M 1 1A B
1 1C BB M- 1 1 1 1 1 1 1
1 5
2 3C BB M B B C M B A B CV V V- - -= = =
{ }na 2 2 2( 1) ( ) 0n nS n n S n n− + − − + =
{ }na na(2)令 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn＜ .
【答案】（1） （2）见解析
【详解】
（1）因为数列 的前 项和 满足： ，
所以当 时， ，
即
解得 或 ，
因为数列 都是正项，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为数列 都是正项，
所以 ，
当 时，有 ，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，符合
所以数列 的通项公式 ， ;
（2）因为 ，
所以
，
所以数列 的前 项和 为：
，
2 2
1
( 2)n
n
nb n a
+= +
5
64
2 ;na n=当 时，
有 ，
所以 ，
所以对于任意 ，数列 的前 项和 .
20．已知点 ， ，直线 ： ，设圆 的半径为 ，圆心 在直线 上．
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ， 为坐标原点，求圆心 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1） 或 .（2） 或 .
【详解】
(1)由 得： ，所以圆 C： ..
当切线的斜率存在时,设切线方程为 ，由 ，解得：
当切线的斜率不存在时，即 也满足
所以切线方程为： 或 .
(2)由圆心 在直线 l： 上，设
设点 ，由 得：
化简得： ，所以点 M 在以 为圆心，2 为半径的圆上.
又点 M 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有交点，则
即 ，解得： 或 .
21．已知函数 , 的部分图象如
图所示.
(4,4)A (0,3)B l 1y x= − C 1 C l
C 3 7y x= − A C
C M 2MB MO= O C a
4x = 3 4 4 0x y− + = 3 2 2
2 2a− ≤ ≤ − 2 3 2
2 2a≤ ≤
1
3 7
y x
y x
= −
= − ( )3,2C 2 2( 3) ( 2) 1x y− + − =
4 ( 4)y k x− = −
2
| 2 | 1
1
kd
k
−= =
+
3
4k =
4x =
4x = 3 4 4 0x y− + =
C 1y x= − ( , 1)C a a −
( , )M x y | | 2 | |MB MO= 2 2 2 2( 3) 2x y x y+ − = +
2 2( 1) 4x y+ + = (0, 1)D −
1 | | 3CD≤ ≤
2 21 3a a≤ + ≤ 3 2 2
2 2a− ≤ ≤ − 2 3 2
2 2a≤ ≤
( ) sin 2 6f x x
π +
=
( ) ( )sin 0 0 2g x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > 1 1a =
( ) ( ) ( )11n n nf a f a g a ++ − = { }nb ( )1log nn ab a+= 0a > 1a ≠
*n N∈
{ }1na + { }na
1
nb
2a = ( )
1
1n
n n
c a b
= + ⋅ *n N∈ { }nc n nT 1
nb
n
nR *n N∈ 2 321 1
n
n
n n
RnT na a
λ λ + < + + +
λ
2 1n
na = − log 2a [1, )+∞
( ) 2 1f x x= + ( )g x x= ( ) ( ) ( )11n n nf a f a g a ++ − =
2 2
1( 1) 1 1n n na a a ++ + − − = 1 2 1n na a+ = + 1 1 2( 1)n na a+ + = +
1 1 2a + = 1 1 21
n
n
a
a
+ + =+ { 1}na +
1 2n
na + = 2 1n
na = −
( )1log nn ab a+= 1 log ( 1)a n
n
ab
= +
1
1
1
11 1 log ( 1) log ( 1) log log 21 1
n
a n a n a a
n n n
aa ab b a
+
+
+
+− = + − + = =+ +
1
nb
log 2a
1
1 log 2ab
=（3）由 及（1）（2）得 ， ， ，
，
∴ ，
两式相减得： ，
∴ ，
∴不等式 为：
，整理得 对 恒成立，
令 ，
由 ，因此 递增，且大于 0，
所以 递增，当 时， ，且 ，故 ，
所以 的范围是 ．
2a = 1
n
nb
=
2n n
nc = ( 1)
2n
n nR
+=
2 3
1 2 3
2 2 2 2n n
nT = + + + +
2 3 4 1
1 1 2 3 1
2 2 2 2 2 2n n n
n nT +
−= + + + + +
2 3 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2n n n
nT += + + + + − 1
1 11 )2 2
1 21 2
n
n
n
+
−
= −
−
（
1
1 22 22 2 2n n n n
n nT −
+= − − = −
2 321 1
n
n
n n
RnT na a
λ λ + < + + +
2 ( 1) 3(2 ) 2( )2 2 2n n n
n n nn nλ λ+ +− + < +
2
2
6
2
n n
n n
λ + −> + *n N∈
2
2 2
6 6( ) 12 2
n n nf n n n n n
+ − += = −+ +
2
1 11 1 242 ( 6) 1066
n n n nn
= − = −+ + + −++
6 7n + ≥ 24( 6) 106y n n
= + + −+
( )f n n → +∞ ( ) 1f n → ( ) 1f n < 1λ ≥
λ [1, )+∞
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